4.5 相似三角形判定定理的证明课件 北师大版九年级上册数学（20张PPT）

(共20张PPT)
第四章　图形的相似
*5　相似三角形判定定理的证明
1.知道三个相似三角形判定定理的证明方法和过程.
2.在不同的问题情境中，选取不同的相似三角形判定定理进行推理、证明与探究.
◎重点:运用三角形相似的判定定理解决问题.
　　在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，我们得出的结论是怎样的？你能证明它们一定成立吗？
证明两个三角形相似
阅读教材本课时相关内容，思考下列问题.
1.根据相似三角形的定义可知:若△ABC∽△A'B'C'，△A''B''C''∽△A'B'C'，则　△A''B''C''∽△ABC　，即相似三角形具有　传递性　.
△A''B''C''∽△ABC　
传递性　
2.证明三角形相似的问题，常见的判定方法有
①平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.
②三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似.
③两边及其夹角法:两组对应边的比相等且其夹角对应相等的两个三角形相似.
④两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.
1.本节相似三角形判定重在进一步验证与证明结论的正确性，以便进一步应用于相关计算与证明.
2.关键是引导理解如何添加辅助线将其中一个三角形借助全等转移与构建到另一个三角形内，进而借助平行线分线段成比例定理的推论得到两三角形相似.
3.在教学中注意实物演示、多媒体操作，把抽象问题直观化.
·导学建议·
如图，在 ABCD中，BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，∠BFE＝∠C.
(1)△ABF与△EAD相似吗？为什么？
(2)若AB＝3，AD＝2，∠BAE＝30°，求AE，BF的长.
理由:在平行四边形ABCD中，
∵∠D＋∠C＝180°，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED.
∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD.
解:(1)相似.
(2)∵△ABF∽△EAD，
∴＝.
∵AB＝3，∠BAE＝30°，
∴BE＝，AE＝2，
∴＝，
∴BF＝.
如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不．正．确．的是(　C　)
A.∠ABD＝∠C B.∠ADB＝∠ABC
C.＝ D.＝
C
变式训练　如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，这个条件为∠D＝∠C或∠E＝∠B或 ＝　.
＝
　
如图，已知＝＝，求证:∠BAD＝∠CAE.
证明:∵＝＝，
∴△ABC ∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE.
如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，试说明:△ABF∽△EAD.
证明:∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠BAF＝∠AED.
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD.
如图，AD∥BC，∠D＝90°，DC＝7，AD＝2，BC＝4.若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似，则存在多少个这样的点P？
解:∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝90°.
∵DC＝7，AD＝2，BC＝4，设PD＝x，
∴PC＝7－x.
①若PD∶PC＝AD∶BC，则△PAD∽△PBC，
∴＝，解得PD＝；
②若PD∶BC＝AD∶PC，则△PAD∽△BPC，
∴＝，解得PD＝.
∴存在3个这样的点P.
1.如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的任意一点，连接BE，过点E作BE的垂线交BC的延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形(　A　)
A.6对
B.5对
C.4对
D.3对
A
2. 如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN＝1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？
解:∵AE＝EB，∴AD＝2AE，
又△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，
∴当CM与AD是对应边时，CM＝2CN，
∴CM2＋CN2＝MN2＝1，
即CM2＋CM2＝1，
解得CM＝；
当CM与AE是对应边时，CM＝CN，
∴CM2＋CN2＝MN2＝1，
即CM2＋4CM2＝1，
解得CM＝.
∴当CM为或时，
△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.