4.7 相似三角形的性质 课件 北师大版九年级上册数学（25张PPT）

(共25张PPT)
第四章　图形的相似
7　相似三角形的性质
1.掌握相似三角形周长的比、对应边上的中线的比、对应边上的高线的比、对应角的角平分线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.
2.熟练运用相似三角形的性质进行相关图形的计算、证明与探究.
◎重点:掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.
游戏导入
　　利用“希沃白板5”中的知识配对功能设计了“连连看”的游戏情境，左边是相似三角形的三个判定定理的文字表达，右边是相应的判定定理的图形语言表达.
连连看，根据右边图形上的标记符号，把对应的相似三角形判定定理进行配对.
生:性质！
师:对！今天我们主要研究三角形中重要的三线在三角形相似后所具有的性质.
问题1:相似三角形可看作是一个三角形放大(或缩小)而得到，那么三角形中重要的三线(高、中线、角平分线)是否会随三角形的放大(或缩小)而一起放大(或缩小)呢？
师:按照我们研究图形的一般过程，有了定义和判定，下面我们该研究什么呢？
生:图形的形状不变，也就是这些三角形一定会相似，角度不变，但三角形的边及三线的长度会随着图形的放大(或缩小)变长(或变短).
师:如果我们放大的比例为2，那么在这个变化过程中哪些线段的比是2？
生:相似比是2，相应三线的比也是2.
师:如果我们放大的比例为k，那么在这个变化过程中哪些线段的比是k？
生众:相似比是k，相应三线的比也是k.
师:这个放大或缩小的过程可以转化成数学问题——如果相似三角形的相似比为k，那么相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和k之间有何关系呢？
猜想验证.
你能想办法对我们提出的数学猜想进行验证吗？
相似三角形的对应高、角平分线、中线之比等于相似比
阅读教材本课时“习题4.11”前的内容，回答以下问题.
相似三角形除了对应角，对应边外，还有一些特殊的相对应的线段.相似三角形对应高的比　、对应　角平分线的比　和对应　中线的比　都等于　相似比　.
角平分线的比　
中线的比　
相似比　
相似三角形的周长比与面积比
阅读教材本课时，“习题4.12”前的内容，回答下列问题.
相似三角形的性质:
(1)相似三角形的对应角相等，对应边　成比例　；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比等于　相似比　；
(3)相似三角形的周长比等于　相似比　；
(4)相似三角形的面积比等于　相似比的平方　.
成比例　
相似比　
相似比　
相似比的平方　
·导学建议·
教学中可对优生拓展知识，证明相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，只要连接多边形对角线，将多边形分割成三角形即可.
1.若相似三角形的相似比为1∶4，则面积比为(　A　)
A.1∶16 B.16∶1
C.1∶4 D.1∶2
A
2.在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6 cm变成了2 cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的(　A　)
A. B. C. D.
3.△ABC与△DEF相似且对应高之比为2∶3，已知△ABC的周长为40，则△DEF的周长是(　D　)
A.10 B.20 C.40 D.60
A
D
两个相似三角形对应高之比为1∶2，那么它们对应的中线之比为(　A　)
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.1∶8
A
若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为(　B　)
A.1∶4 B.1∶2
C.2∶1 D.1∶
B
已知两个相似三角形的面积的比是1∶3，则它们的相似比是(　C　)
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶ D.1∶9
C
已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.
(1)求△DEF的周长；
(2)求△DEF的面积.
解:(1)∵＝，
∴△DEF的周长＝12×＝8(cm).
(2)∵＝，
∴△DEF的面积＝30×()2＝13(cm2).
如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝80 cm，高AD＝60 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解:设正方形零件的边长为x cm.
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，
∴＝，∴＝，∴x＝(cm).
答:正方形零件的边长为 cm.
　猜想归纳:为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片.
(1)如图①，若截取△ABC的内接正方形DEFG，请你求出此正方形的边长.
(2)如图②，若在△ABC内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，请你求此正方形的边长.
(3)如图③，若在△ABC内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，请你求此正方形的边长.
(4)猜想:如图④，假设在△ABC内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于△ABC，则此正方形的边长是多少？
(已知AC＝40，BC＝30，∠C＝90°)
解:(1)如图，作△ABC的高CN交GF于点M，
设正方形的边长为x，则＝，解得x＝.即正方形的边长为.
(2)方法同(1)，略，边长为.
设正方形的边长为x，则＝，解得x＝.即正方形的
边长为.
(3)方法同(1)，略，边长为.
(4)方法同(1)，略，边长为.
1. 如图，△A'B'C'是由△ABC沿AD方向平移得到的，其中D为BC的中点，当△ABC的面积为18 cm2，△A'EF的面积为8 cm2，AA'＝1 cm时，A'D的长为(　A　)
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
A
2. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD∶AC＝2∶3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比.
解:∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC.
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF.
∵∠AGD＝∠CAF＋∠AED，∠AFC＝∠BAF＋∠ABC，
∴∠AGD＝∠AFC，
∴△AGD∽△AFC，
∴＝＝，
∴AG∶GF＝2∶1.