能力微专训1——四大常考相似模型课件 北师大版九年级上册数学（32张PPT）

(共32张PPT)
第四章　图形的相似
能力微专训1——四大常考相似模型
图形的相似是平面几何中非常重要的内容，也是中考中常考的考点.三角形相似的判定方法有多种，解题时要合理选用判定方法.相似三角形的判定方法有平行法；三组对应边的比相等(类似于三角形全等的判定方法“SSS”)；两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等的判定方法“SAS”)；两角对应相等；直角三角形中斜边、直角边对应成比例(类似于直角三角形全等的判定方法“HL”).
本专题把相似三角形的基本图形归类成四大常考相似模型:A字型、X字型、旋转型和K字型(一线三等角型).
A字型
特征:有一个公共角.
(1)A字型
已知:DE∥BC.结论:＝＝.
(2)反A字型
已知:∠AED＝∠C.结论:＝＝.
(3)反A字型(共边共角)
已知:∠ABD＝∠C.结论:①＝＝；②AB2＝AD·AC.
(4)双垂直型
已知:△ABC是直角三角形，AD⊥BC.结论:①AB2＝BD·BC；②AC2＝CD·BC；③AD2＝BD·CD.
【例1】如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠ACP＝∠B，若AP＝2，BP＝3，则AC的长为 .
提示:∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ABC∽△ACP，
∴＝，
∴AC2＝AP·AB＝AP·(AP＋BP)＝2×(2＋3)＝10，
∴AC＝.故答案为.
方法归纳交流　判断两个三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角(等角)的余角(补角)相等.
变式训练　如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则的值为 　.
　
X字型
特征:有一组隐含的等角(即对顶角相等).
(1)X字型
已知:AB∥CD.结论:＝＝.
(2)反X字型
已知:∠A＝∠D.结论:＝＝.
【例2】如图，点E在平行四边形ABCD的边DC上，若DE∶EC＝2∶3，则△AFB与△CFE的面积之比为 .
提示:在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
∵DE∶EC＝2∶3，
∴EC∶AB＝3∶5.
∵AB∥CE，
∴△AFB∽△CFE，
∴＝＝.
故答案为.
方法归纳交流　平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形相似.
变式训练　如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥CD交BD于点F，AB∶CD＝2∶3，则EF∶AB＝　3∶5　.
3∶5　
旋转型
特征:有一个公共顶点的一组角相等.
(1)旋转不相交型
已知:∠BAC＝∠DAE(或∠BAD＝∠CAE)，∠B＝∠D.结论:△ABC∽△ADE.
(2)旋转相交型
已知:∠BAC＝∠DAE(或∠BAD＝∠CAE)，∠B＝∠D.结论:△ABC∽△ADE.
【例3】如图，∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.
(1)求证:△ADE∽△ABC.
(2)求证:＝.
证明:(1)∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAE＝∠BAC.
又∵∠ADE＝∠ABC，
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，∴＝.
∵∠DAB＝∠EAC，
∴△ADB∽△AEC，
∴＝.
方法归纳交流
由已知∠DAB＝∠EAC，根据角的和差可得∠DAE＝∠BAC是解题的关键，两组对应角相等，三角形相似可证.
变式训练
如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD、CE，∠EAC＝∠DAB.
(1)求证:△ABC∽△ADE.
(2)已知BC＝4，AC＝3，AE＝，将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，求BD的长.
解:(1)证明:∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠EAD.
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴△ABC∽△ADE.
(2)∵∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝＝＝5.
∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴AD＝＝.
∵∠EAC＝∠DAB，
∴△CAE∽△BAD，
∴∠AEC＝∠ADB.
如图，将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝.
K字型(一线三等角型)
特征:两个三角形的一条边在一条直线上，并且有一个顶点重合.
(1)一线三垂直型
已知:∠B＝∠ACE＝∠D＝90°.结论:①△ABC∽△CDE；②AB·DE＝BC·CD；③当C为BD中点时，△ABC∽△CDE∽△ACE.
(2)一线三等角型
已知:∠B＝∠ACE＝∠D＝α.结论:①△ABC∽△CDE；②AB·DE＝BC·CD；③当C为BD中点时，△ABC∽△CDE∽△ACE.
【例4】　如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.
(1)求证:△ABP∽△PCD.
(2)求证:AB·CD＝CP·BP.
证明:(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠APD＝∠B，
∴∠APD＝∠B＝∠C.
∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD.
(2)∵△ABP∽△PCD，
∴＝，
∴AB·CD＝CP·BP.
变式训练　如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，MN⊥AM，MN交CD于点N.
(1)求证:△ABM∽△MCN.
(2)若AB＝6，BM＝2，求DN的长.
解:(1)证明:∵∠B＝∠C＝∠AMN＝90°，
∴∠AMB＋∠CMN＝90°，∠CMN＋∠MNC＝90°，
∴∠AMB＝∠MNC，
∴△ABM∽△MCN.
(2)由(1)可知△ABM∽△MCN，
∴＝.
∵AB＝BC＝6，BM＝2，
∴CM＝4，
∴＝，∴CN＝，
∴DN＝6－＝.