2008年数学中考试题分类汇编全等三角形

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全等三角形
一、选择
1、(2008 台湾)如图，有两个三角锥ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示ABC、ACD、 EFG、EGH。若ACB=CAD=EFG=EGH=70，BAC=ACD=EGF=EHG =50，则下列叙述何者正确？ ( )
(A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B) 甲、乙全等，丙、丁不全等
(C) 甲、乙不全等，丙、丁全等 (D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等
2．（2008年江苏省无锡市）如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（　　）
Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
3、（2008山东潍坊）如图, Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（ ）
A.AB=BF B.AE=ED C.AD=DC D.∠ABE=∠DFE，
二、填空
1.（2008佳木斯市3）如图，，请你添加一个条件： ，使（只添一个即可）．
2.（2008年江苏省南通市）已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.
3、(2008年荷泽市)如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
① AD=BE；
② PQ∥AE；
③ AP=BQ；
④ DE=DP；
⑤ ∠AOB=60°．
恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．
4.（2008海南省）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是 .
5、(2008 湖北 天门)如图，已知AE＝CF，∠A＝∠C，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件____________________(只需写一个)．
6. (08仙桃等)如图，中，点的坐标为（0，1），点的坐标为（4，3），如果要使与 全等，那么点的坐标是 .
三、解答题
1、（2008山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O。
（1）当旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，与的数量关系是 。
（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由。
（3）在图③中，连接BO，AD,探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明。
2、（2008浙江湖州）　如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及延长线上的点，
CF∥BE，
　（1）求证：△BDE≌△CDF
　（2）请连结BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由。
3．（2008山东泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：．
4.（2008四川达州市）（6分）含角的直角三角板（）绕直角顶点沿逆时针方向旋转角（），再沿的对边翻折得到，与交于点，与交于点，与相交于点．
（1）求证：．
（2）当时，找出与的数量关系，并加以说明．
5．（2008浙江金华）(本题6分)如图，在ΔABC和ΔDCB中，AC与BD相交于点。， AB = DC，AC = BD. (1)求证: ΔABC≌ΔDCB；(2) Δ0BC的形状是 。(直接写出结论，不需证明) 。
6.(2008泰安) 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：．
7．（2008年陕西省）已知：如图，三点在同一条直线上，，，．
求证：．
8.（2008年江苏省无锡市）已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为．
（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
9.（2008年江苏省苏州市）如图，四边形的对角线与相交于点，，．
求证：（1）；
（2）．
10.(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证： ；
11.(2008 重庆)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。
求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE
12.(2008 湖北 荆门)将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．
(1) 将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；
(2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点
C旋转的度数=______；
(3) 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．
13.(2008 四川 广安)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF=AD；
（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？
14.(2008 河北)如图1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；
（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
15.（2008 四川 泸州）如图4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，
求证：DE=BF
16.(2008 河南)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图①，已知，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC中内任意一点，将AP绕点A
顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连结BQ、CP则BQ＝CP。”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABC≌△ACP，从而证得BQ＝CP。之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其它条件不变，发现“BQ＝CP” 仍然成立，请你就图②给出证明。
17．（2008湖北黄石）如图，是上一点，交于点，，．
求证：．
18．(2008北京)已知：如图，为上一点，点分别在两侧．，，．
求证：．
19．(2008安徽)已知：点到的两边所在直线的距离相等，且．
（1）如图1，若点在边上，求证：；
（2）如图2，若点在的内部，求证：；
（3）若点在的外部，成立吗？请画图表示．
20、无图形（2008 西宁）如图9，一块三角形模具的阴影部分已破损．
（1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带
残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具的形状和大
小完全相同的模具？请简要说明理由．
（2）作出模具的图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．
21、（2008 四川 内江）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点，试判断的形状，并说明理由．
22、(2008 浙江 丽水)如图，正方形中，与分别是、上一点．在①、②∥、③中，请选择其中一个条件，证明．
（1）你选择的条件是 ▲ （只需填写序号）；
（2）证明：
23、（2008 山东 临沂）已知∠MAN，AC平分∠MAN。
⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC;
⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;
⑶在图3中：
①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC;
②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。
24、(2008年镇江)（本小题满分6分）作图证明
如图，在中，作的平分线，交于，作线段的垂直平分线，分别交于，于，垂足为，连结．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）
25、(2008年金华市) (本题6分)如图，在ΔABC和ΔDCB中，AC与BD相交于点。， AB = DC，AC = BD. (1)求证: ΔABC≌ΔDCB；(2) Δ0BC的形状是 。(直接写出结论，不需证明) 。
( http: / / www. / )
26、(2008黑龙江哈尔滨)已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．
求证：OA＝OD．
27.（2008齐齐哈尔）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
28.没有地方如图，在ABCD中，点E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)连结AC、DF，则四边形ACFD是下列选项中的（ ）．
A．梯形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
29、（2008年 南宁市）如图8，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF。
（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明。
（注意：在试题卷上作答无效）
解：（1）3对。分别是：
△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF。
（2）△BDE≌△CDF。
证明：因为DE⊥AB，DF⊥AC，
所以∠BED=∠CFD=90°
又因为D是BC的中点，
所以BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
所以△BDE≌△CDF。
30、(2008 江苏 常州)已知:如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE.
求证:BC=DE.
31、(2008年福建省福州市)（1）如图，在等腰梯形中，，是的中点，求证：．
( http: / / www. )
32、 (2008年广东湛江市)如图7所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．
33、（2008新疆建设兵团）如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B．
求证：AB=AC+CD．
四、答案
一、选择
B D A
二、填空
1、或 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 或 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 或
2、120
3、 ①②③⑤．
4、答案不唯一（如：∠B=∠B1，∠C=∠C1，AC=A1C1）
5、AD=BC或∠D＝∠B或∠AFD＝∠CEB
6、
三、解答题
1、解：（1）（或相等）
（2）（或成立），理由如下
方法一：由，得
在和中
方法二、连接AD，同方法一，，所以AF=DC。
由。可证。
（3）如图，
方法一：由点B与点E重合，得，
所以点B在AD的垂直平分线上，
且
所以OA=OD，点O在AD的垂直平分线上，故。
方法二：延长BO交AD于点G。同方法一OA=OD，可证
则。
2证明：（1）∵CF∥BE∴EBD＝FCD
又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD
∴△BDE≌△CDF
（2）四边形BECF是平行四边形
由△BDE≌△CDF得ED＝FD
∵BD＝CD
∴四边形BECF是平行四边形
3、（1）解：图2中△ABE≌C△ACD
证明如下：
∵△ABC与AED均为等腰直角三角形
∴AB=AC ,AE=AD, ∠BAC=∠EAD=90°………………3分
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE
即∠BAE=∠CAD ………………4分
∴△ABE≌△ACD………………6分
(2)证明：由（1）△ABE≌△ACD知
∠ACD=∠ABE=45°………………7分
又∠ACB=45°
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°
∴DC⊥BE………………9分
4解（1）　证明：∵∠A=∠A′　AC＝A′C　
　∠ACM＝∠A′CN＝900－∠MCN
∴
（2）在Rt△ABC中
∵，∴∠A＝900－300＝600
　　　又∵，∴∠MCN＝300，
∴∠ACM＝900－∠MCN＝600
∴∠EMB′＝∠AMC＝∠A＝∠MCA＝600
　　　　∵∠B′＝∠B＝300
所以三角形MEB′是Rt△MEB′且∠B′＝300
所以MB′＝2ME
5、解(1)证明：在ΔABC和ΔDCB中
∴ΔABC≌ΔDCB(SSS)
(2)等腰三角形。
6（1）解：图2中△ABE≌C△ACD
证明如下：
∵△ABC与AED均为等腰直角三角形
∴AB=AC ,AE=AD, ∠BAC=∠EAD=90°………………3分
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE
即∠BAE=∠CAD ………………4分
∴△ABE≌△ACD………………6分
(2)证明：由（1）△ABE≌△ACD知
∠ACD=∠ABE=45°………………7分
又∠ACB=45°
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°
∴DC⊥BE………………9分
7证明：，
，．、）
又，
．
又，
． （6分
8解：（1）如图1；
（2）如图2；
（3）4． （8分）
9证明：（1）在和中
．
（2），．又，．
10证明： 四边形和四边形都是正方形
11证明：（1）平分，．
在和中，
．
（2）连结．
，
，
．
，．
．
，．
，．
．
又是公共边，．
．
12解：(1) 3-；
(2)30°；
　(3)证明：在△AEF和△D′BF中，
∵AE=AC-EC, D’ B=D’ C-BC，
又AC=D’ C,EC=BC，∴AE=D’ B．
又 ∠AEF=∠D’ BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD’E=30°，
∴△AEF≌△D’ BF．∴AF=FD’．
13（1）证明：∵AD∥BC
∴∠F＝∠DAE
又∵∠FEC＝∠AED
CE＝DE
∴△FEC≌△AED
∴CF＝AD
（2）当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上
其理由是：
∵BC＝6 ，AD＝2 ，AB＝8
∴AB＝BC＋AD
又∵CF＝AD ，BC＋CF＝BF
∴AB＝BF
∴点B在AF的垂直平分线上。
14解：（1）；．
（2）；．
证明：①由已知，得，，．
又，．．
在和中，
，，，
，．
②如图2，延长交于点．
，．
在中，，又，
．
．．
（3）成立．
证明：①如图3，，．
又，．．
在和中，
，，，
．．
②如图4，延长交于点，则．
，．
在中，，
．．
．
15证明：
16证明：∵∠QAP＝∠BAC
　　　∴∠QAP＋∠PAB＝∠PAB＋∠BAC
即∠QAB＝∠PAC　　　　　　　　　　　　
在△ABQ和△ACP中
AQ＝AP
∠QAB＝∠PAC
AB＝AC
17证明：，（2分）
又，，
．（5分）
． （6分）
18证明：，．
在和中，．．
19[证]（1）过点分别作，，分别是垂足，由题意知，，，，，从而．
（2）过点分别作，，分别是垂足，
由题意知，．在和中，
，，．，
又由知，，．
解：（3）不一定成立．
20解：（1）只要度量残留的三角形模具片的的度数和边的长，
因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
（2）按尺规作图的要求，正确作出的图形．
21简证：由条件可证，
故可证，
22解法一：（1）选 ① ；
（2）证明：∵是正方形，
∴，．
又∵，
∴△≌△．
∴．
解法二：（1）选 ② ；
（2）证明：∵是正方形，
∴∥．
又∵∥，
∴四边形是平行四边形
∴．
解法三：（1）选 ③ ；）
（2）证明：∵是正方形，
∴，．
又∵，
∴△≌△．
∴．
23解:⑴证明:∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，
∴∠CAB＝∠CAD＝60°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＝30°，
∴AB＝AD＝AC，
∴AB＋AD＝AC。
⑵成立。
证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。
∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ADC＋∠CDE＝180°,
∴∠CDE＝∠ABC,
∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,
∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE,由⑴知AF＋AE＝AC,
∴AB＋AD＝AC
证法二：如图，在AN上截取AG＝AC，连接CG.
∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠CBG＝180°,
∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,
∴BG＝AD,
∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC，
⑶①;
②.
证明：由⑵知，ED＝BF,AE＝AF，
在Rt△AFC中，,即,
∴,
∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE＝2，
24解（1）画角平分线，线段的垂直平分线． （3 ( http: / / www. / )分，仅画出1条得2分）
（2） HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 （4分，只要1对即可），证明全等．（6分）
25 (1)证明：在ΔABC和ΔDCB中
∴ΔABC≌ΔDCB(SSS)
(2)等腰三角形。
26证明：，，
1分
在与中 2分
1分
1分
27解：（1）成立． （2分）
如图，把绕点顺时针，得到，
则可证得三点共线（图形画正确） （3分）
证明过程中，
证得： （4分）
证得： （5分）
（6分）
（2） （8分）
28证明：(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BF，∴ ∠D=∠ECF． 3分
∵ E是CD的中点，∴ DE = CE．
又 ∠AED=∠FEC， 4分
∴ △ADE≌△FCE． 5分
(2) D．或填“平行四边形”． 8分
29解：（1）3对。分别是：
△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF。
（2）△BDE≌△CDF。
证明：因为DE⊥AB，DF⊥AC，
所以∠BED=∠CFD=90°
又因为D是BC的中点，
所以BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
所以△BDE≌△CDF。
30证明：∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠DAC =∠CAE+∠DAC即：∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，AC=AE∴△ABC≌△ADE
∴BC=DE
31证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AB=DC，∠A=∠D．因为M为AD的中点，所以AM=DM．在△ABM和△DCM中，，所以△ABM≌△DCM(SAS)，所以AM=MC．
32． 解：ABC≌DCB （2分）
证明：∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC
∴ABC=DCB （4分）
在ABC与DCB中
HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4
∴ABC≌DCB （7分）（注：答案不唯一）
33证明：
∵∠1=∠B
∴∠AED=2∠B，DE=BE
∴∠C=∠AED
在△ACD和△AED中
HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4
∴△ACD≌△AED∴AC=AE，CD=DE，∴CD=BE．
∴AB=AE+EB=AC+CD．
G
50
A
B
C
D
E
F
70
50
70
50
70
50
70
H
甲
乙
丙
丁
D
O
C
B
AB
A
B
C
E
D
O
P
Q
A
B
C
D
E
F
O
图1
图2
D
C
E
A
B
（第22题）
图1
图2
D
C
E
A
B
（第22题）
A
D
B
C
E
D
C
B
A
O
（第23题）
1
2
3
4
(2)
A
C
B
E
D’
E’′′′′′′′′′′′
A
C
B
E
D
l
(3)
l
D’
F’
A
C
B
E
D
(4)
A
C
B
E
D
l
E’
C’
D
(1)
A
E
B
C
F
D
A
（E）
B
C
（F）
P
l
l
l
A
A
B
B
Q
P
E
F
F
C
Q
图1
图2
图3
E
P
C
A
B
C
D
E
F
A
C
E
D
B
第22题图1
第22题图2
A
A
B
B
C
C
E
F
D
O
B
C
D
F
A
E
C
F
A
B
D
E
1
2
（第18题）
第25题图
A
B
C
B
B
M
B
C
N
C
N
M
C
N
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
图7
D
B
A
O
C
E
B
M
A
C
N
2cm
1cm
40°
2cm
1cm
40°
图1
图2
l
A
B
F
C
Q
图2
M
2
3
4
E
P
l
A
B
Q
P
E
F
图4
N
C
E
F
G
B
M
E
A
C
D
N
D
B
A
O
C
第23题图
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