湖南省株洲世纪星高中2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（含解析）

世纪星高级中学 2023-2024学年高一上学期期中数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合U 0,1,2,3,4,5,6 ，集合 A 2,3,4,5,6 ，则 =（ ）
A． 0,2,3,4,5,6 B． 2,3,4,5,6 C． 0,1 D．
2．下列函数中是偶函数的是（ ）
A． y x2 2x 1 B． y x
C． y
2
D． y 3x 1
x
3．命题“ x R, x2 1 0 ”的否定是（ ）
A． x R,x 2 1 0 B． x R, x 2 1 0
C． x R, x2 1 0 D． x R, x 2 1 0
x y 8 24．已知 0, 0，且 1，则 x y的最小值是（ ）x y
A．10 B．15 C．16 D．18
5．已知 x R，则“ x 9”是“ x2 81”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
6．函数 f x x 3 的定义域为（ ）
1 x
A． 3, B． 3,1 1,
C． 3, D． 3,1 1,
7．已知函数 f (x) ax
b
2 ，若 f (2019) 10 ，则 f ( 2019) （ ）
x
A． 14 B． 10 C．10 D．无法确定
8．已知定义域为 R的奇函数 f (x)在 (0, )上单调递减，且 f ( 5) 0，则满足 (x 3) f (x) 0
的 x的取值范围是（ ）
A． ( 5,0) (3,5) B． ( 5,0) (0,5) C． ( , 5) (0,5) D． ( 5, 3) (3,5)
答案第 1页，共 12页
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二、选择题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0
分．）
9．下列不等式的解集为R的是（ ）
A． x2 6x 10 0 B． x2 2 5x 5 0
C． x2 x 2 0 D． 2x2 3x 3 0
10．托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合
A 1,0,1 到集合 B 0,1 的函数关系的是（ ）
A． y＝2x B． y x
1
C． y x D． y = x
2
2
11．已知命题 p：关于 x的不等式 ≥0，命题q：a x a 1，若 p是q的必要非充分
x 1
条件，则实数 a的取值可以为（ ）
A． a 0 B．a 1
C． a 2 D． a 3
12．如果 a b 0，那么下列不等式正确的是（ ）
A． 1 1 2 2a b B． ac bc
C． a
1 1
b D． 2 2
b a a ab b
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13．若 f x 是R 上的奇函数，且当 x 0时， f x 6x2 2x，则当 x 0， f x ．
14．已知3 a,a2 1, 2 ，则 a的所有可能取值为 ．
15．函数 f x x 8 ， x 2,8 的值域为x .
2
16．设 f(x) = x 2x, x ≤ mx 4, x > m ，若 ( )在 R上单调，则 m的取值范围为 ．
四、解答题：（本题共 6小题，共 70分．第 17 题 10 分，其余题目每题各 12 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
答案第 2页，共 12页
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17．求下列不等式的解集：
(1) x2 3x 18 0；
5x 2
(2) 3 .
2x 1
18．已知集合U R， A x 0 x 10 ， B x 1 x 4 ，C x n x 2n 1
(1)求 ∩ U ；
(2)若C B，求实数 n的取值范围．
19．已知幂函数 f x m2 2m 2 xm在 0, 上单调递减.
(1)求 f x 的解析式；
(2)若 f x x k在 1,3 上恒成立，求实数 k的取值范围.
20．已知二次函数 f x 的对称轴为 x＝1，且经过点 2,0 与 3,3 ．
(1)求 f x 的解析式；
(2)已知 t＞0，函数 f x 在区间 t, t 2 上的最小值为－1，求实数 t的取值范围．
21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色
小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料 x (单位：千克)
5 x2 3 ,0 x 2

满足如下关系：W (x) 50x ，肥料成本投入为10x元，其它成本投入(如培育
, 2 x 5
1 x
管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场售价大约 15元/千克，且销售畅通供不应
求，记该水果单株利润为 f (x) (单位：元) (销售额-成本=利润)
(1)写单株利润 f (x) (元)关于施用肥料 x (千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
22．已知函数 f x 2 ax ，且 f 2 1.
x
(1)证明： f x 在区间 0, 上单调递减；
(2)若 f x 1 tx≤ 对 x 1, 恒成立，求实数 t的取值范围.
x
答案第 3页，共 12页
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参考答案：
1．C
【分析】根据补集的运算计算即可.
【详解】因为U 0,1,2,3,4,5,6 ， A 2,3,4,5,6 ，根据补集定义得 U A 0,1 ，
故选：C.
2．B
【分析】利用函数奇偶性的判断方法判断即可.
【详解】对于 A，因为 y f x x2 2x 1的定义域为R ，
2
而 f 1 1 2 1 1 0 ， f 1 12 2 1 1 4，
则 f 1 f 1 ，所以 f x 不是偶函数，故 A错误；
对于 B，因为 y f x x 的定义域为R ，
又 f x x x f x ，所以 f x 是偶函数，故 B正确；
2
对于 C，因为 y f x 的定义域为 x x 0 ，
x
f 1 2而 2 ， f 1 2 2，
1 1
则 f 1 f 1 ，所以 f x 不是偶函数，故 C错误；
对于 D，因为 y f x 3x 1的定义域为R，
而 f 1 3 1 1 4， f 1 3 1 1 2，
则 f 1 f 1 ，所以 f x 不是偶函数，故 C错误；
故选：B.
3．B
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】命题“ x R, x2 1 0 ”为全称量词命题，其否定为： x R, x 2 1 0 .
故选：B.
4．D
【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换求解即可.
答案第 4页，共 12页
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x y x y 8 2 8y 2x 10 2 8y 2x【详解】 10 18，
x y x y x y
8y 2x
当且仅当 ，即 x 12, y 6时，等号成立，
x y
所以 x y的最小值是18 .
故选：D.
5．B
【分析】根据 x2 81 9 x 9即可判断.
【详解】 x 9 x2 81；反之，若 x2 81，则 9 x 9, x 9，
所以，“ x 9”是“ x2 81”的必要不充分条件．
故选:B．
6．D
【分析】利用根式和分式有意义即可求解.
x 3 0
【详解】要使 f x 有意义，只需要 ，解得 x 3且 x 1，
1 x 0
所以 f x 的定义域为 3,1 1, .
故选：D.
7．A
【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f ( x) f (x) 4 ，据此分析可得答案．
b
【详解】解：根据题意，函数 f (x) ax 2 ，
x
则 f ( x) ax
b
2，
x
则 f (x) f ( x) 4 ，
若 f (2019) 10，
则 f ( 2019) 4 10 14 .
故选：A．
【点睛】本题考查函数的解析式，涉及函数值的计算．
8．A
【分析】由函数的奇偶性，及单调性，结合 f ( 5) 0，可得分别使 f (x) 0， f (x) 0的区
间，解得不等式的解集.
答案第 5页，共 12页
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【详解】因为 f (x)是定义在R 上的奇函数，在 0, 单调递减，且 f ( 5) 0，
所以 f (5) 0，且 f (x)在 ( , 0)上单调递减，
所以 x , 5 0,5 时， f (x) 0；
x 5,0 5, 时， f (x) 0 .
x 3 0 x 3 0
由 (x 3) f (x) 0，得 f x 0或 f x 0，解得3 x 5，或 5 x 0，
故选：A．
9．AC
【分析】利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可.
【详解】对于 A，因为 62 4 1 10 4 0，1 0，
所以不等式 x2 6x 10 0的解集为R ，所以 A正确，
对于 B，因为 (2 5)2 4 1 5 0，
所以方程 x2 2 5x 5 0的两根为 x1 x2 5，
所以不等式 x2 2 5x 5 0的解集为 x x 5 ，所以 B错误，
对于 C，因为 12 4 ( 1) ( 2) 7 0 ，
所以不等式 x2 x 2 0的解集为R ，所以 C正确，
对于 D，因为 ( 3)2 4 2 ( 3) 33 0，
所以方程 2x2 3x 3 0的根为 x 3 33 ，
4
3 33 3 33
所以不等式 2x2 3x 3 0的解集为 x x ，所以 D错误，
4 4
故选：AC
10．BD
【分析】通过分析不同函数中对应的集合A中元素的值，即可得出结论.
【详解】由题意，
A 1,0,1 ， B 0,1
A项，在 y＝2x中，当 x 1,0,1时，对应函数值为 2,0, 2，与集合 B不对应，A错误；
答案第 6页，共 12页
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B项，在 y x 中，当 x 1,0,1时，对应的函数值分别为1,0,1，B正确；
1
C项，在 y 中，当 x 1,0,1时，定义域不合要求，x C错误；
D项，在 y = x2中，当 x 1,0,1时，对应的函数值分别为1,0,1， D正确；
故选：BD.
11．BCD
【分析】先解不等式，设 A x x 1 ，B x a x a 1 ，由题意可得B A，求解即可.
2
【详解】由 ≥0可得： x 1 0，解得： x 1，设 A x x 1 ，
x 1
B x a x a 1 ，若 p是 q的必要非充分条件，
所以 B真包含于 A，所以 a 1或 a 2或a 3均满足.
故选：BCD.
12．CD
【分析】利用作差法可判断 AC选项；取 c =0可判断 B选项；利用不等式的基本性质可判
断 D选项.
【详解】因为 a b 0，
1 1 b a 1 1
对于 A选项， 0，则 ，A错；
a b ab a b
对于 B选项，当 c =0时， ac2 bc 2，B错；
a 1 b 1 a b a b 1对于 C选项， a b
1 0 ，
b a ab ab
1 1
所以，a b ，C对；
b a
对于 D选项，由不等式的基本性质可得a 2 ab ， ab b2，所以， a2 ab b2，D对.
故选：CD.
13． 6x2 2x
【分析】根据奇函数的定义结合已知条件求解即可.
【详解】设 x 0，则 x 0，
所以 f x 6( x)2 2( x) 6x2 2x，
因为 f x 是R上的奇函数，所以 f ( x) f (x) ，
所以 f (x) 6x2 2x，所以 f (x) 6x2 2x，
答案第 7页，共 12页
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故答案为： 6x2 2x
14．3或 2 /-2或 3
【分析】根据元素与集合的关系分类讨论即可求解.
【详解】分类讨论
①当3= a， a2 1 8，集合为{3,8, 2}，满足集合的元素具有互异性；
②3 a2 1，可解得 a 2；当 a 2时，与已有元素 2重复，不满足互异性；
当a 2时，集合为{ 2,3, 2}，满足集合的元素具有互异性．
综上， a 3或 a 2．
故答案为: 3或 2．
15． 4 2,9
【分析】根据对勾函数的单调性即可求出函数的值域．
8
【详解】解：由 x 可得
x x 2 2
，
∴对勾函数 f x 在 2,2 2 上单调递减，在 2 2,8 上单调递增，
又 f 2 6， f 2 2 4 2 ，8 8 9 6，8
∴函数 f x 的值域为 4 2,9 ，
故答案为： 4 2,9 ．
16． ≤ 4
【分析】作出函数 = 2 2 ， = 4 的图象根据一次函数和二次函数的单调性结
合图像即可得出答案.
【详解】解：在同一平面直角坐标系中，作出函数 = 2 2 ， = 4 的图象如图，
当 2 2 = 4 时， = 4 或 1，
由图象可知，当 ≤ 4 时，函数 ( )在 上单调递增.
答案第 8页，共 12页
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17．(1){x x 3或 x 6}
{x | 1(2) 5 x }
2
【分析】（1）根据一元二次不等式求解集即可；
（2）根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】（1）原不等式可化为 x 6 x 3 0 x 3或 x 6，
原不等式的解集为{x x 3或 x 6}；
5x 2
（3） 3
5x 2
3 0
2x 1 2x 1
5x 2 3(2x 1) x 5
0 0
2x 1 2x 1
x 5 (x 5)(2x 1) 0
0 ，2x 1 2x 1 0
5 x 1解得 ，
2
1
故不等式的解集为{x | 5 x }
2
18．(1) A UB x 0 x 1或4 x 10

(2) n n
3
1或1 n
2


【分析】（1）由集合的运算可得解；
答案第 9页，共 12页
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（2）根据C B，对集合C是否为空集讨论可得解.
【详解】（1）∵B x 1 x 4 ，
∴ UB x x 1或 x 4 ，
又∵ A x 0 x 10 ，
∴ A UB x 0 x 1或 4 x 10 .
（2）∵C x n x 2n 1 ，C B，
∴当C ， n 2n 1，解得 n 1，此时满足C B；
n 2n 1
3
当C 时，要满足C B，需 n 1 ，解得1 n ．
2
2n 1 4
综上知，实数 n的取值范围为 n n 1 1 n 3 或 ．
2
19．(1) f x 1
x
(2) , 2
【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于m的等式与不等式，解出m的值，即
可得出函数 f x 的解析式；
1
（2）由已知可得 k x 对任意的 x 1,3 1恒成立，利用基本不等式求出 x 的最小值，
x x
即可得出实数 k的取值范围.
【详解】（1）解：因为幂函数 f x m2 2m 2 xm在 0, 上单调递减，
m2 2m 2 1 1
则 ，解得m 1，故 f x .
m 0 x
1
（2）解：由（1）可知， k x 对任意的 x 1,3 恒成立，
x

x
1

由基本不等式可得 x 1 2 x 1 2，当且仅当 x 时，即当 x 1时，等号成立，
x x
1 x 3
所以， k 2，因此，实数 k的取值范围是 , 2 .
答案第 10页，共 12页
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20．(1) f (x) x 2 2x
(2) t 0,1
【分析】（1）根据二次函数的对称性求出两个,设函数点代入求参即可;
（2）根据函数单调性,再根据最值求参.
【详解】（1）∵二次函数 f (x)的对称轴为 x 1，且经过点 (2,0)，
∴其与 x轴另一交点为 (0,0)．设 f (x) ax(x 2)，将 (3,3)代入，解得： a 1．
∴ f (x) x 2 2x .
（2）∵二次函数 f (x)的对称轴为 x 1， x ,1 , f (x)单调递减, x 1, , f (x)单调递增,
若0 t 1，x t,1 , f x 单调递减, x 1, t 2 , f x 单调递增,则 fmin (x) f (1) 1，此时
成立；
若 t 1， x t, t 2 , f (x)单调递增,则 fmin x f t t2 2t 1，，解得 t 1，舍去．
综上所述， t 0,1 ．
75x2 30x 225,0 x 2

21．(1) f (x) 750x ；
30x, 2 x 5
1 x
(2)4千克，480元﹒
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润 f x 的解析式；
（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出 f x 的最大值即可．
5 x2 3 ,0 x 2
【详解】（1）依题意 f (x) 15W (x) 10x 20x

，又W (x) 50x ，
, 2 x 5
1 x
75x2 30x 225,0 x 2
∴ f x 750x ．
30x, 2 x 5 1 x
1
（2）当0 x 2时， f (x) 75x2 30x 225，开口向上，对称轴为 x ，
5
f (x) 0, 1 1 在 上单调递减，在 , 2 上单调递增， 5 5
答案第 11页，共 12页
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f (x)在 0,2 上的最大值为 f 2 465．
当2 x 5时， f x 780 25 25 30 1 x 780 30 2 1 x 480，
1 x 1 x
25
当且仅当 1 x时，即 x 4时等号成立．
1 x
∵ 465 480，∴当 x 4时， f x 480max ．
∴当投入的肥料费用为 40元时，种植该果树获得的最大利润是 480元．
22．(1)证明见解析
(2) 0,
【分析】（1）代入数据计算 a 1，任取0 x1 x2，计算 f x1 f x2 0得到证明.
2
（2）变换得到 x2 tx 1≥0对 x 1, 恒成立，得到 t t 4≤1，解得答案.
2
2 2
【详解】（1） f 2 2a 1，解得a 1，所以 f x x ，
2 x
0 x 2
2 2
任取 1 x2，则 f x1 f x2 x1 x2 x2 xx x 1 1 ，1 2 x1x2
2
又0 x1 x2，所以 x2 x1 0，1 0x x ，1 2
所以 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，所以 f x 在区间 0, 上单调递减；
1 tx
（2） f x ≤ 对 x 1, 恒成立，即 x2 tx 1≥0对 x 1, 恒成立，
x
t2 4 0，故二次函数 y x2 tx 1必与 x轴存在两个交点，
t t 2 4 t t2x ，只需要满足 4 ≤1即可，解出 t 0, ，
2 2
因此实数 t的取值范围为 0, .
答案第 12页，共 12页
{#{QQABJQSQggCAAhAAARhCQQ3aCAAQkBACACoGRAAMoAAAAQFABAA=}#}