广东省惠来一中2014—2015学年度第一学期高二理科数学期末考试试题

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2014—2015学年度第一学期惠来一中质检考试
高二级数学科（理科）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）21世纪教育网版权所有
1．不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．的内角的对边分别为，若，则等于（ ）A． B．2 C． D．
4．下列命题错误的是（ ）
Ａ．命题“若，则中至少有一个为零”的否定是：“若，则都不为零”
Ｂ．对于命题：，使得；则：，均有
Ｃ．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为“若方程无实根，则
Ｄ．“”是“”的充分不必要条件
5．已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．下列结论正确的是 （ ）
A．当且时，≥； B．当时，≥；
C．当≥时，的最小值为； D．当≤时，无最大值。
7．设若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．9
8．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”．给出下列4个集合：
① ②
③ ④
其中所有“好集合”的序号是( )
A．①②④ B．②③ C．③④ D．①③④
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）
9．记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差
10. 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式．
如图，在坡度为的观礼台上，某一列座位
与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列
的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别
为和，且第一排和最后一排的距离为_______
11．与椭圆焦点相同的等轴双曲线的标准方程为 .
12.如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是　　　　　，它的方程是　　　　　　　．
13.已知集合至多有一个元素，则的取值范围 ；
14.已知点在由不等式组 ( http: / / www.21cnjy.com )确定的平面区域内，则点构成的平面区域的面积是　　　　　　　　　　　　　;21教育网
三、解答题（本大题共6小题共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(本小题满分12分)
在中，为锐角，角所对应的边分别为，且
（I）求的值；（II）若，求的值。
16. （本小题满分12分）
某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q ( http: / / www.21cnjy.com )，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个A、2个B，组装一件Q产品要6个A、8个B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个；B零件最多12000个。已知P产品每件利润1000元，Q产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P、Q产品各多少件？最大利润多少万元？
17. （本小题满分14分）
在直四棱柱中，，底面是边长为的正方形，、分别是棱、的中点.
(Ⅰ) 求证：直线平面
(Ⅱ) 求二面角的大小；.
18．（本小题满分14分）
已知集合P=的定义域为Q．（1）若P∩Q≠范围；（2）若方程求实数a的最值．
19．（本小题满分14分）
已知数列满足：．
（１）求数列的通项公式及前项和；
（２）令，,求证：．
20. （14分）
已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上, 右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆与直线相交于不同的两点、，当时，求实数的取值范围.
2014—2015学年度惠来一中第一学期质量检测考试
高二级数学科（理科）试卷参考答案
一．选择题 CADA ABDB
二．填空题 9. 3 10. 11.
12．椭圆 13．， 1４. 4
三、解答题
15．解：（Ⅰ）、为锐角，，
----------------------------1分
又，21 ，
， -----------------------------------3分
------------------------------5分
--------------------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,. 21--------------- --------7分
由正弦定理
得，即， --------- -------------9分
， ，
--------------------------------------------12分
16. 解：设分别生产P、Q产品x件、y件，则有
( http: / / www.21cnjy.com )
设利润z=1000x+2000y=1000(x+2y)-------5分
要使利润最大，只需求z的最大值.
作出可行域如图示（阴影部分及边界）作出直线l:1000(x+2y)=0，即x+2y=0
--------------------------------------------------------8分
由于向上平移平移直线l时，z的值增大，所以在点A处z取得最大值
由解得，即A(2000,1000) -----------------------10分
因此，此时最大利润zmax=1000(x+2y)=4000000=400(万元). --------------------11分
答：要使月利润最大，需要组装P、Q产品2000件、1000件，此时最大利润为400万元。---12分
17. 解析：(Ⅰ) 证明:取的中点，连接
分别是棱中点 ∴∥，，
∴四边形为平行四边形，∴----------------------------------2分
又，
∴，平面 ----------------------------------4分
∵，∴平面平面
∵，∴直线平面 -------------------6分
（或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线平面，亦可。）
(Ⅱ)
以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系如图。
则相应点的坐标分别为，，，， ---------7分
∴
，
-----------9分
设平面、平面的法向量分别为，
由，
由， ---------------------------11分
∴，∴
∴二面角的大小为。 ------------------14分
18．（14分）
解：（1）由已知, ----------------------1分
若P∩Q≠内至少有一个x值，使不等式，
即，在．
---------------------4分
( http: / / www.21cnjy.com )
-------------------------------------------7分
（2）∵方程
( http: / / www.21cnjy.com ) -----------------------------9分
( http: / / www.21cnjy.com )
----------------------------11 分
( http: / / www.21cnjy.com )
----------------------------------------------------------------13分
的最大值为12，a的最小值为 ------------------------------------------14分
19.解:（1）解法一：
∴当时，
． -------------------4分
检验知当时，结论也成立，故 ． ----------------5分
． ---------------7分
解法二： , --------3分
数列是首项为,公差为的等差数列,
, ．　 ---------------------5分
．-----------7分
解法三：，． ----３分
， 数列是首项与公比均为的等比数列,
．　　 -----------------------------5分
．-------------7分
证明:（2）．
--------------------------------------------------------------------11分
　　
． ----------------------------------14分
20. 解：（1）依题意可设椭圆方程为 ， -------------1分
则右焦点. --------------2分
由题设条件：, 解得：. ------------------4分
故 所求椭圆的标准方程为：. --------------------5分
（2）设P为弦MN的中点，联立 ， ----------------------6分
消y得： . -------------7分
由于直线与椭圆有两个交点， 即 ① --------------8分
， 从而 ，
. 又 ，
则： ，即： ② ， -----------------12分
把②代入①得：，解得： ；
由②得：，解得： .
所以，. -------------------------------14分
第一排
最后一排
观礼台
旗杆
°
结束
F
E
A
B
D
C
F
E
A
B
D
C
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