2023—2024学年北师大版数学八年级上册7.5.1三角形内角和定理 课件（20张ppt）

(共20张PPT)
课前提问（1分钟）
1.三角形有_____条边，______个内角；三角形按角分可以分为______三角形、_______三角形、_______三角形；
2.三角形的内角和是_______.
3
3
锐角
直角
钝角
180°
7.5.1三角形内角和定理
第七章 平行线的证明
学习目标（1分钟）
1.掌握三角形内角和定理的证明；
2.能运用三角形内角和定理解决问题。
自学指导1（1分钟）
学生自学，教师巡视（8分钟）
其中的条件是： 。
结论是： 。
解：三角形三个内角的和等于1800
三个角是三角形的内角
这三个角的和等于1800
仔细阅读P178-P179，认真思考，然后回答下列问题：
(1)三角形内角和定理的内容是：
(2)三角形的内角和是如何证明的？
(3)认真阅读P179并完成“想一想”.
A
B
C
P
Q
2
3
1
∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),
证明:过点A作PQ∥BC,则
∠1=∠B
自学检测1（8分钟）
1、锐角三角形中，最大角α的取值范围是（ ）
(A)0 ＜α＜90 (B) 60 ＜α＜90
(C) 60 ＜α＜180 (D) 60 ≤α＜90
D
图1：
∠A=______
∠B=______
∠C=______
2、完成课本P180知识技能T1
A
B
C
A
C
B
C
B
A
40°
70°
70°
图2：
∠A=______
∠B=______
∠C=______
90°
58°
32°
图3：
∠A=______
∠B=______
∠C=______
80°
60°
40°
3.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∠A=65°，求∠F的度数。
解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=1800
∴ ∠ABC+∠ACB=1800-∠A=115°
∴∠FBC= ∠ABC
∴ ∠FBC+∠FCB= (∠ABC+∠ACB)= ×115°=57.5°
∵ ∠F+∠FBC+∠FCB=180°
∴ ∠F=180°-57.5°=122.5°
3.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∠A=65°，求∠F的度数。
变式：若∠A=a，则∠F=
a+90°
∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB，
∠FCB= ∠ACB
讨论、更正、点拨（3分钟）
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？
添加辅助线思路：1、构造平角 2、构造同旁内角
图1
E
A
B
C
D
F
图2
A
N
B
C
T
S
图3
P
Q
R
M
A
N
B
C
T
S
图4
P
Q
R
M
（
A
B
C
E
D
F
（
（
1
2
3
4
（
图5
）
A
E
）
1
2
B
C
D
图6
… … … …
A
B
C
E
F
1、证明：直角三角形的两锐角互余。
A
B
C
已知：在△ABC中，∠C＝ 900
求证：∠A＋∠B＝900
证明：如图，在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=1800
(三角形内角和定理）
∠C= 900（已知）
∴∠A+∠B+900=1800（等量代换）
∴∠A+∠B=1800－900= 900（等式性质）
即∠A+∠B=900，∴
直角三角形两锐角互余.
自学指导2（1分钟）
自学例题1，请注意解题的格式，并且完成下面练习题。
自学检测2（7分钟）
1.∠A=42°，∠B=∠C，则△ABC中∠B= 。
69°
2.在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=2︰3︰7，则
∠A= ＿＿ ，∠B= ＿＿＿ ，∠C= ＿＿＿ ；
30°
45°
105°
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于1800
2、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角，使三个角构成平角或同旁内角。
E
A
B
C
D
F
图2
）
A
E
）
1
2
B
C
D
图6
A
B
C
E
F
小结(1分钟)
当堂训练（15分钟）
1．在△ABC中， ∠A=105°， ∠B - ∠C=15°，则 ∠B= ＿＿＿ ，∠C= ＿＿＿ 。
45°
30°
2、填空
（1）一个三角形中最多有 个直角.
（2）一个三角形中最多有 个钝角.
（3）一个三角形中至少有 个锐角.
（4）任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 .
60°
2
1
1
A
C
3.在△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC,则图中互为余角的角有____对，分别是：
______________________________
______________________________
B
D
∠C+∠B = 900
∠B+∠BAD = 900
∠C+∠DAC = 900
∠BAD+∠CAD = 900
4
5.在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，
求∠DBC的度数。
5、解：△ABC中，设∠A=x ,则
∠C=∠ABC=2x
x+2x+2x=180°(三角形内角和为1800)
x=36°
则∠C=2x=72°
在△BCD中，∠BDC=90°
则∠DBC=90°－∠C
=18°﹙直角三角形两锐角互余﹚
4、等边三角形的一个内角是多少度 请证明你的结论.
4、解：60°，理由如下：
已知：在△ABC中， AB=BC=AC
求证： ∠A=∠B=∠C=60°
A
B
C
结论:等边三角形每个内角是60°
证明：在△ABC中
∵ AB=BC=AC
∴∠A=∠B=∠C
又∵ ∠A+∠B+∠C=1800
∴∠A=∠B=∠C=60°
正本作业：P180 T2
已知：如图，四边形ABCD
证明： ∠A+∠B+∠C+∠D= 360°
选做题 1、求证：四边形的内角和是3600。
C
A
B
D
连接四边形的对角线是常用的辅助线.
证明：连结AC
∵ ∠B+∠BAC+∠BCA =180°
∠D+∠DCA+∠CAD =180°
(三角形三个内角的和等于180°)
∴∠B+∠BAC+∠BCA+∠D+∠DCA+∠CAD
=180°+ 180°= 360°
∴∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°
即∠A+∠B +∠C+ ∠D= 360°
2.已知△ABC中，∠BAC=100°．
（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；
（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；
（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角.
我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个结论的探索过程吗
(1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以达到同样的效果
(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗 你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗 与同伴交流.
1
1
2
A
D
3
C
B
2
已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则
∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.
这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.
A
B
C
E
2
1
3
D
三角形的内角和等于1800
三角形内角和定理：
板书设计
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于1800
7.5.1三角形内角和
2、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角，使三个角构成平角或同旁内角。
E
A
B
C
D
F
图2
）
A
E
）
1
2
B
C
D
图6
A
B
C
E
F
1. 如图1，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B = 60°，∠AED = 40°，则∠A 的度数为( )
A．100°B．90° C．80° D．70°
C
2. 一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（　　）
A．等腰三角形　　B．直角三角形　　
C．锐角三角形　　D．钝角三角形
D
C
C
2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= ．
40°
3.如图，两块相同的三角形完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′B′C′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D= .
2.5