《等腰三角形》
一、教学背景：
本课时教学内容的地位和作用
本节是在探索了两个三角形全等的条件及轴对称性质的基础上进行的，进一步认识特殊的轴对称图形──等腰三角形，主要探索等腰三角形“等边对等角”和“等腰三角形的三线合一”的性质。本节内容既是前面知识的深化和应用，又是今后学习等边三角形的预备知识，还是证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的重要依据，具有承上启下的重要作用。
（二）学情分析
学生小学接触过等腰三角形，对等腰三角形有初步的认识，前段时间探究过两个三角形全等的条件及轴对称的性质，比较习惯用三角形全等证明线段相等和角相等，但刚开始接触用符号表示推理，将文字命题转换为符号语言还不熟练。
二、教学目标：
（一）知识与技能
1.经历观察实验、猜想证明，掌握等腰三角形的性质，会运用性质进行证明和计算。
（二）过程与方法
经历观察等腰三角形的对称性，发展形象思维。
经历观察实验、猜想证明，发展合情推理能力和演绎推理能力。
通过运用等腰三角形的性质解决问题，发展应用意识。
（三）情感态度与价值观
：经历同学间的合作与交流，体会在解决问题过程中与他人合作的益处。
三、教学重、难点：
(一)教学重点
等腰三角形性质的发现、证明及应用。
(二)教学难点
等腰三角形三线合一的发现、证明及应用。
四、教学方式和教学手段
（一）教学方式
启发引导、探究合作相结合。
（二）教学手段
多媒体辅助教学
（三）学生学习方式
1．动手实践：培养学生的观察能力、分析能力。
2．自主探索：调动学生思维的积极性，使学生自主地获取知识。
3．合作交流：学生分组讨论，使学生在沟通中创新，在交流中发展，在合作中获得新知。
（四）学具准备
硬纸、剪刀。
五、教学过程
教学过程
问题与情境
师生活动
设计意图
时间
[活动1] 动手操作，得出概念
问题
（1）如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并减去阴影部分，再把它展开，得到一个什么图形？
（2）你能归纳出等腰三角形的定义吗？
（3）你能举出生活中等腰三角形的实例吗？
教师用ppt演示问题（1）。
学生动手折纸，剪纸，观察，回答问题。
教师与学生一起动手折纸，剪纸，标好字母并演示，提出问题（2）。
学生举手叙述定义。
教师引出课题，板书定义并画图，提出问题（3）。
学生举例。
教师引导、鼓励，用ppt演示图片，演示介绍腰、底、顶角、底角。
本次活动中，教师重点关注学生是否积极参加到数学活动中来。
（1）学生动手实践、观察、归纳、举例，重新认识等腰三角形，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲。
（2）学生剪三角形的过程，从动态角度展示了等腰三角形的形成，并保留了中间的折痕，为后面证明性质添加辅助线作铺垫。
4分钟
[活动2] 观察实验，猜出性质
问题
（1）活动1中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
（2）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填写表格。
重合的线段
重合的角
（3）你能猜一猜等腰三角形有什么性质吗？（独立思考2分钟后小组讨论）你能试着对你的猜想进行证明吗？
[活动3] 推理证明，论证性质
问题
（1）性质1（等腰三角形的两个底角相等）的条件和结论分别是什么？用数学符号如何表达条件和结论？口述证明过程？
（2）受性质1的证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合）吗？
（3）你能把性质2分解为三个命题吗？
（4）如果已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，你能推出什么结论？
教师用ppt演示问题（1）（2）。
学生动手折纸，观察，找出重合的线段和角，填写表格。
教师用ppt演示问题（3）。
学生独立观察思考后小组讨论，交流合作。
猜想性质1，学生比较容易，若证明有困难，教师可启发学生利用折痕添加辅助线。
猜想性质2，学生会有困难，教师可参与到学生的小组讨论中，从不同角度引导启发：
1．引导学生仔细分析表格中的重合线段和角：
①AB=AC,定义阐述，不必重复；
②AD=AD,公共边，也不必阐述；
③∠B=∠C，刚刚猜过；
④还剩BD=DC,说明AD是△ABC的什么线？
⑤∠BAD=∠CAD，说明AD是△ABC的什么线？
⑥∠ADB=∠ADC，等于多少度？说明AD是△ABC的什么线？
⑦这三条线段有什么关系？
2．引导学生回答等腰三角形的对称轴是什么？学生会有不同回答：顶角平分线所在直线、底边上高或中线所在直线，教师追问：你们说的是同一条线吗？从而引出性质2。
3．引导学生对性质1做出三种不同证明，三种方法添加的三条辅助线有什么关系？
学生充分讨论后，小组代表阐述猜想过程（教师刻意找教师参与过的小组的代表，他阐述的猜想过程又会引导启发其他同学）。
本次活动中，教师重点关注：
（1）学生数学语言的规范性；
（2）学生的归纳能否全面；
（3）学生在交流中表现出来的参与意识和发表个人见解的勇气。
教师用ppt演示问题（1）。
学生分析性质1的条件和结论，并转换成数学符号，口述证明。
教师引导学生用多种方法证明，纠正和补充学生发言，ppt演示不同证明过程，板书性质1及使用格式。
教师用ppt演示问题（2）。
学生在分析性质2的条件和结论转换数学符号时会再次遇到困难，教师引导设问（3）和（4），这样学生会比较顺利的把性质2的条件和结论转换成三种数学符号形式，并运用全等分别证明。
教师板书性质2及使用格式，强调等腰AB=AC是大前提，完善性质2分解的三个命题的文字叙述，归纳性质2的三个作用：证明角相等、线段相等及两直线互相垂直。
本次活动中，教师重点关注：
（1）学生数学符号语言的规范性；
（2）学生发表个人见解的勇气。
学生通过探索发现，发展创新思维能力，改变学生的学习方式，使学生经历了一个观察、实验、探究、归纳、推理、证明的认识图形的全过程，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论之后的自然延续，完成好由实验几何到论证几何的过渡。
培养学生语言转换能力，增强理性认识，体会证明的必要性，发展演绎推理能力。
14分钟
8分钟
[活动4] 运用性质，解决问题
问题
（1）等腰三角形一个底角为75°,它另外两个角为_________ __；
等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为____________；
等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为______ __。
（2）如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？
（3）地震过后，河沿村中学的同学们为了检测教室的房梁是否水平，在教具等腰直角三角板的斜边中点拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，把这个三角板的斜边紧贴房梁，结果线绳经过直角定点，同学们确信房梁水平。他们的判断对吗？为什么？
例题
1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.
求：△ABC各角的度数．
2．已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE.
求证:BD=CE.
教师用ppt依次演示问题（1）（2）（3）。
学生独立思考解决问题。
教师评判并引导学生归纳性质1的两个作用：
求角的度数；
② 将线段间的相等关系转化为角之间的相等关系。
教师用ppt演示例题1。
学生独立思考后小组讨论。
教师参与讨论，认真听取学生分析，引导学生找出角之间的关系，为了分析解答的简捷明了，引导学生设∠A=x ，板书解答过程。
教师用ppt演示例题2。
学生独立思考证明，他们可能还习惯于用全等三角形。
教师引导运用“三线合一”可简便证明。
本次活动中，教师重点关注：
（1）学生能否正确应用等腰三角形的性质解决问题；
（2）学生是否注意到等腰三角形的问题可能有多种情况，需分类讨论；
（3）学生是否注意到等腰三角形的顶角可能是锐角，也可能是钝角，但底角一定是锐角；
（4）学生应用所学知识的应用意识。
（1）问题的安排遵循由浅入深，循序渐进的原则，深化巩固等腰三角形的两条性质，提高运用所学知识解决问题的能力，发展应用意识。
（2）例1的目的是巩固和应用 “等边对等角”。列方程解决几何计算题是常用方法，学生要学会将几何的定理、等式转化为代数方程.
（3）例2的目的是巩固和应用“三线合一”。
12分钟
[活动5] 拓展探究，发展提高
思考：利用等腰三角形的轴对称性，能发现等腰三角形中许多相等的线段或角，除了书中提到的，你还能发现等腰三角形中哪些线段相等？
学生看书小组讨论，得到两底角平分线、两腰的中线、两腰的高等。
教师启发学生课后证明。
激发学生探索精神，启迪发散学生思维。
4分钟
[活动6] 梳理反思，布置作业
谈谈你本节课的收获。
布置作业：
（1）阅读本节课内容
（2）课本P77─练习1、2、3
P79─1、3、4题．
（3）课本P82─5、6题．
学生畅所欲言，从知识、方法、情感态度等方面谈收获，谈体会，并结合本节教学目标，发现在学习中学会了什么，还存在哪些问题。
教师引导学生从知识、方法、情感态度等方面去归纳，用ppt演示本节教学目标及小结。
（1）使学生对所学知识有一个完整而深刻系统的认识。
（2）培养学生养成及时梳理反思的习惯。
3分钟
课件26张PPT。
细心观察 积极探索
在观察中发现特点
在探索中提高能力 让我们一起 走进美丽的数学世界活动（一）：细心观察活动（一）：细心观察活动（一）：细心观察活动（一）：细心观察共同特点活动（一）：细心观察等腰三角形ABC等腰三角形:有两条边相等的三角形,
叫做等腰三角形. 等腰三角形的概念相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰的夹角叫做底角.两腰所夹的角叫做顶角,腰腰底边顶角底角回顾几何表达式：
∵AB=AC
∴?ABC是等腰三角形
如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折, 并剪去绿色部分, 再把它展开,得到的△ABC有什么特点?ABCAB=AC等腰三角形活动（二）：动手操作 上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？ABCD把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表： 等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?
AB=ACBD=CDAD=AD∠B=∠C∠ADB=∠ADC∠BAD=∠CAD活动（三）：细心观察 大胆猜想性质1
(等边对等角)等腰三角形的两个底角相等。已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=?C想一想：1.如何证明两个角相等？ 议一议：2.如何构造两个全等的三 角形？活动（四）：小组讨论已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.等腰三角形的两个底角相等。D证明： 作底边的中线AD，则BD=CDAB=AC ( 已知 )BD=CD ( 已作 )AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底边上的中线已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.等腰三角形的两个底角相等。D证明： 作顶角的平分线AD，则∠1=∠2AB=AC ( 已知 )∠1=∠2 ( 已作 )AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在△BAD和△CAD中12已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.等腰三角形的两个底角相等。D证明： 作底边的高线AD，则∠BDA=∠CDA=90°AB=AC ( 已知 )AD=AD (公共边) ∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).方法三：作底边的高线在Rt△BAD和Rt△CAD中性质1 : 等腰三角形的两个底角相等 （简称“等边对等角”，前提是在同一个三角形中。）(等腰三角形三线合一)性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合活动（五）：小组讨论思考：
由△BAD ≌ △CAD，除了可以得到∠ B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是等腰三角形的对称轴。 等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。简称“三线合一”，前提是在同一个等腰三角形中。
在△ABC中， AB=AC， (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.(3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.BADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD 知一线得二线
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。(1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. BADCADCD等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”前提是在同一个三角形中。）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. （简称“三线合一”，前提是在同一个等腰三角形中。）等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）例1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠B=80° ，则∠C= ___度，∠A=____度？∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵∠B=80° （已知）
∴∠C=80°
又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ）
∴∠A=180°－ ∠B－∠C
∠A=20°等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
操练1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠ A=50° ，则∠B=——度，∠C=——度？∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ）
∠A=50° （已知）
∴∠B=65°
∠C=65°
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。1、图中有哪几个等腰三角形？ABCD应用新知，体验成功。△ABC △ABD △BDC2、有哪些相等的角？∠ABC=∠ACB=∠BDC ∠ A=∠ABD3、这两组相等的角之间还有什么关系？∠BDC=2∠ A
∠ABC+∠ACB+∠ A=180 ° 例3、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。例3、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
__________________.4、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.① 顶角度数+2×底角度数=180°② 0°＜顶角度数＜180°③ 0°＜底角度数＜90°结论: 在等腰三角形中,40 °35 °，35 °70°,40° 或 55°,55° 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 o, 过屋顶A的立柱AD ? BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、
∠CAD的度数.
应用新知，体验成功。 (1)猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图将等腰三角形ABC沿对称轴折叠，观察DE与DF的关系，并证明你的结论。ABCDEF (2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB, ∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些相等的线段？已知：在△ABC中，AB=AC.点D
是BC的中点，DE⊥AB于E,
DF⊥AC于F
求证：DE＝DF活动（六）：拓展提高谈谈你在这节课中，有什么收获？作业: 教科书习题13.3
第1、4、6题再见
