第19章《四边形》单元培优测试卷
(考试时间：100分钟 满分：120分)
班级：_________ 姓名：___________________
一、仔细选一选(本题共10小题，每小题3分，满分30分，请选出各题中一个符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分)【来源：21·世纪·教育·网】
1.若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的对角线的条数（ ）
A.18条 B.19条 C.20条 D.21条
2.边长相等的下列两种正多边形的组合，不能在平面镶嵌的是（ ）
A.正三角形与正方形 B.正三角形与正五边形
C.正三角形与正六边形 D.正方形与正八边菜
3.如图，ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点F，则△DCE的周长为（ ）21·世纪*教育网
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
第3题图 第4题图 第6题图 第7题图
4.如图所示，点O是ABCD对角线BD上一点，EF、GH均经过点O，且EF∥AB，GH∥BC，则线段BD、EF、GH将ABCD分成面积分别为S1、S2、S3、S4、S5、S6六个部分，则下列说法中错误的是（ ）21教育网
A. S1＝S2 B. S3＝S6 C.S4＝S5 D.S1＝S5
5.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD四个条件中，选两个条件作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现在下列四种选法中，其中错误的是（ ）2-1-c-n-j-y
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是AD、AB的中点，EF交AC于点H，则的值为（ ）2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
7.如图，AC是矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于E，∠ADE：∠CDE＝1：2，若BC＝4cm，则AE的长为（ ） 21*cnjy*com
A.1cm B.2cm C.3cm D.无法确定
8.如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，DH⊥AB于H，则DH的长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A.6cm B.8.2cm C.9.6cm D.10.5cm
第8题图 第9题图 第10题图
9.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，点E、F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为（ ）21·cn·jy·com
A.2cm B.2cm C.4cm D.4cm
10.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC与BE相交于点F，则∠BEC的度数为（ ）【出处：21教育名师】
A.45° B.55° C.60° D.75°
二、认真填一填（本题共8小题，每小题3分，满分24分）
11.如图，一个多边形纸片按图所示的剪法，剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的对角线有________条.www-2-1-cnjy-com
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12.一个正m边形恰好被n边形围住(无重叠，无间隙)，如图所示是m＝4，n＝8的情形，则当m＝10时，n＝_____________.21世纪教育网版权所有
13.如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______米.
14.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为________________.
15.如图，在ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则ABCD的周长是______.
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16.如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点）.设BA′＝x，则x的取值范围是_______________.21教育名师原创作品
17.如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠ACB＝30°，AB＝2，若以OB、OC为邻边作菱形OBEC，则菱形OBEC的面积为________.21*cnjy*com
18.如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小可以是______________.
三、解答题（本题共6小题，满分66分）
19.(8分)如图，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG，求证：四边形GEHF是平行四边形.
20.(10分) 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠EBF＝2∠CBF.21cnjy.com
(1)求证：OE＝OF；
(2)若BC＝2，求EF及AB的长.
21.(10分) 如图，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB＝m，AD＝n，BE＝x.
(1)求证：AF＝EC；
(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作，当x：n为何值时，直线经过原矩形的顶点D.www.21-cn-jy.com
22.(12分)如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点.
(1)求证：四边形EGFH是菱形；
(2)若AB＝1，则当∠ABC+∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积.
23.(12分)已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.
(1)如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；
(2)如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.
图1 图2
24.(14分)如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.，如图1，当点P为线段EC的中点时，易证PR+PQ＝.【版权所有：21教育】
(1)如图2，当点P为线段EC上任意一点(不与点E、C重合)时，其他条件不变，结论PR+PQ＝是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
(2)如图3，当点P为线段EC延长线上任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.
图1 图2 图3
第19章《四边形》单元培优测试题参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
B
D
B
C
A
C
二、填空题
11. 77； 12. 5； 13. 90； 14. 6；
15. 20； 16. 2≤x≤8； 17. 2； 18. 15°或165°
三、解答题
19.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥DC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AG＝CH，
∴BG＝DH，
在△BEG和△DFH中，
∵，
∴△BEG≌△DFH（SAS），
∴∠BEG＝∠DFH，EG＝FH，
∴∠GEF＝∠HFB，
∴GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形.
20.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中
∵
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）∵∠EBF＝2∠CBF，∠EBF+∠CBF＝∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝60°，∠CBF＝30°，
∴在Rt△BCF中，BF＝2CE，
设CF＝x，则BF＝2x，
在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，
即：(2)2+x2＝(2x)2，
解得：x＝2（负值舍去）
即CF＝2，BF＝4，
∵BE＝BF，∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF＝BE＝BF＝4，
由（1）知：△AOE≌△COF ，
∴AE＝CF＝2，
∴AB＝AE+BE＝2+4＝6.
21.（1）证明：∵EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，
则有：(m+AF)m＝(n－x+n－AF)m，
即：2AF＝2n－2x，
∴AF＝n－x，
又∵EC＝BC－BE＝n－x，
∴AF＝EC；
（2）当直线经过原矩形的顶点D时，
∵DC＝＝m，EC∥，
∴DE＝，
∴2EC＝，
即：2(n－x)＝x，
∴2n＝3x，
即x：n＝2：3，
故当x：n＝2：3时，直线经过原矩形的顶点D.
22.（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG＝CD，HE＝CD，FH＝AB，GE＝AB，
∵AB＝CD，
∴FG＝FH＝HE＝EG，
∴四边形EGFH是菱形.
（2）解：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴GF∥DC，HF∥AB，
∴∠GFB＝∠DCB，∠HFC＝∠ABC，
∴∠HFC+∠GFB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴菱形EGFH是正方形，
∵AB＝1，
∴EG＝AB＝，
∴S正方形EGFH＝()2＝.
23.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD，
∴四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
又∵∠PBF＝45°，
∴PF＝BF，
∴PE+PF＝OF+FB＝OB
∵BD＝，
∴OB＝BD＝，
∴PE+PF＝.
（2）∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD，
∴四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
又∵∠PBF＝∠OBA＝45°，
∴PF＝BF，
∴PE－PF＝OF－BF＝OB＝.
24.解：（1）结论：PR+PQ＝仍然成立，
证明：如图1所示，连接BP，过点C作CK⊥BD于点K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
又∵CD＝AB＝3，BC＝4，，
∴BD＝＝5，
∵S△BCD＝，
∴3×4＝5CK，
∴CK＝，
∵S△BCE＝，S△BEP＝，S△BCP＝,
又S△BCE＝S△BEP+ S△BCP，
∴＝+
∵BE＝BC，
∴CK＝PR+PQ，
∴PR+PQ＝.
（2）图2中的结论是：PR－PQ＝.
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