影响力位居国内前列教育资源网
21世纪教育网www.21cnjy.com
全等三角形训练全攻略
全等三角形
知识要点·一网打尽
要点再现，夯实基础
●⑴能够________________的两个图形叫全等形；⑵全等三角形：______________________的两个三角形叫做全等三角形。_________的顶点叫做对应顶点，__________叫做对应边；__________叫做对应角。
答案：能够完全重合，能够完全重合，互相重合，互相重合，互相重合。
1．如图1所示，若△AOC≌△BOD，对应边是___________，对应角是__________。
2．如图2所示，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌_________，AB的对应边是__________，AC的对应边是_________，∠BCA的对应角是__________。
●全等三角形有两个重要性质：全等三角形的____________相等，全等三角形的________相等。
答案：对应边，对应角
1．如图3所示，△ABC与△DEF是全等三角形，即△ABC≌△DEF，那么图中相等的线段有（ ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2．如图4所示，如图所示，△ABC与△DBF是全等三角形，即△ABC≌△DBE，那么图中相等的角有（）
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
●全等变换：只改变图形的_________，而不改变其________的图形变换叫做全等变换。全等变换共有三种类型：⑴__________变换；⑵_________变换；⑶__________变换。
答案：位置，形状大小，平移，对称、旋转。
1．如图5所示，将△ABC绕点A旋转之后得△ADE，则下列结论不正确的是（）
A.BC＝DE B.∠E＝∠C C.∠EAC＝∠BAD D.∠B＝∠E
2．你能用两个全等三角形拼成如图所示的各图形吗？说说△DEF是△ABC怎样变换得到的。
基础演练·基础达标
双基整合，掌握技法
一、选择题
1．有下列说法：（ ）
①形状相同的大小图形是全等形；②全等形的大小相同，形状也相同；
③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等；
⑤若△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1≌△A2B2C2，则△ABC≌△A2B2C2，其中正确的是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2．如图6所示△ABD≌△BAC，B、C和D是对应点，如果AB＝5cm，BD＝4cm，AD＝6cm，那么BC的长是（ ）
A.6cm B.5cm C.4cm D.无法确定
3．如图7所示，△ABC≌△EFD，则（ ）
A.AB＝DE，AC＝EF，BC＝DF
B.AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF
C.AB＝EF，AC＝ED，BC＝FD
D.AB＝EF，AC＝DF，BC＝DE
4．如图8所示，△ABC≌△ADC，∠BAC＝70°，则∠BAC的度数是（ ）
A.70° B.45° C.30° D.35°
二、填空题
5．如图8所示，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，其余的对应边有_______，对应角有_______________。
6．已知：如图9所示，△ACE≌△DBF，则AC＝________，CD＝________，∠A＝______，∠ECA＝__________。
7．已知△ABC≌△DEF，若△ABC的周长为32，AB＝8，BC＝12，则DE＝_______，EF＝__________，DF＝___________。
8．如图10所示，D、E分别是边AB、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C＝______。
三、解答题：
9．⑴已知如图，△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角。
⑵由对应边找对应角，由对应角找对应边有什么规律？
10．已知：如图所示，△ABC≌△DEF
求证：⑴BF＝CE；⑵AC∥DF
11．如图所示，△ABD≌△ACE，若∠B＝25°，BD＝6cm，AD＝4cm，你能得出△ACE中哪些角的大小，哪些边的长度？为什么？
12．已知：如图所示，△ABC≌△DEF，则△EDF可以通过平移、翻折、旋转中的哪些方法变到△BAC的位置？
综合运用·能力提升
循题渐进，攻坚创新
1．（教材变型题）已知：如图所示，△ABC≌△ADE，∠EAC＝30°，你知道∠BAD的度数吗？
2．（创新题）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，试求∠DFB和∠DGB的度数。
3．（操作题）如图是一个等边三角形，你能用折叠的方法把它分成两个全等的三角形吗？你能把它分成三个、四个全等的三角形吗？
4．（创新题）已知：如图，有一长方形纸片ABCD，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过E点折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE和C′E重合，折痕是GE，试求∠GEF的度数。
5．（探索题）如图1所示，△ABC绕着点B旋转（顺时针）90°到△DBE，且∠ABC＝90°，⑴△ABC和△DBE是否全等？指出对应边和对应角。
⑵直线AC、直线DE有怎样的位置关系？
图1 图2
探究中考·挑战百分
博采众题，领跑中考
1．如图，若△OAD≌△OBC，且∠0＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝__________．
2．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是……………（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．已知：如图，．
若，问经过怎样的变换能与重合？
参考答案：
知识要点·一网打尽
●1.OA与OB、OC与OD、AC与BD，∠A与∠B、∠C与∠D、∠AOC与∠BOD；
2.△ADC，AD，AC，∠DCA
●1.因为△ABC≌△DEF，所以由全等三角形的性质可得：AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，所以BF＋CF＝CE＋CF，即BF＝CE，所以有4组相等的边，选（D）
2．因为△ABC≌△DBE，所以由全等三角形的性质可知：∠A＝∠D，∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，由∠ABC＝∠DBE，知∠ABD＋∠DBC＝∠DBC＋∠CBE，所以∠ABD＝∠CBE，故选（D）
●1. 1．由旋转变换可知△ABC≌△ADE，所以BC＝DE，∠E＝∠C，∠EAD＝∠CAB，所以∠EAD－∠EAB＝∠CAB－∠EAB，所以∠EAC＝∠BAD，只有D不正确，所以选（D）
2．图⑴中，把△ABC沿AB向下平行移动就得到△DEF；图⑵中，先把△ABC绕点C旋转，再沿BC平移就得到△DEF；图⑶中，把△ABC绕B点顺时针旋转就得到△DEF；图⑷中，先把△ABC以过B点且垂直于BC的直线为轴翻折，再沿CB向右平移（或以过C点且垂直于BC的直线为轴翻折，再沿BC各左平移）就得到△DEF；图⑸中，先把△ABC沿AC翻折，再把△ABC绕A点顺时针旋转∠A，就得到△DEF；图⑹中，把△ABC绕AC的中点旋转180°就得到△DEF
基础演练·基础达标
1．选B，提示：②、③、⑤正确。
2．选A，提示：因为△ABD≌△BAC，所以BC＝AD＝6
3．选C，提示根据全等三角形对应边相等可得。注意点与点的对应。
4．选D，提示：因为△ABC≌△ADC，所以∠BAC＝∠BAC，因为∠BAC＝70°，所以∠BAC＝35°。
5．AC和CA，∠ABC与∠CDA，∠ACB与∠CAD，∠CAB与∠ACD。
6．AC＝DB，CD＝BA，∠A＝∠D，∠ECA＝∠FBC
7．8，12，12提示：因为△ABC的周长为32，AB＝8，BC＝12，所以AC＝12，因为△ABC≌△DEF，所以DE＝8，EF＝12，DF＝AC＝12
8．30°，提示：△ADB≌△EDB≌△EDC，所以∠A＝∠DEB＝∠DEC，∠ABD＝∠EBD＝∠ECD，又∠DEB＋∠DEC＝180°，所以∠A＝∠DEC＝90°所以∠ABD＋∠EBD＋∠ECD＝90°，所以∠C＝30°。
9．⑴AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边，∠BAE与∠CAD是对应角。
⑵对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角所夹的边是对应边。
10．⑴因为△ABC≌△DEF，所以BC＝EF，所以BC－CF＝EF－CF，所以BF＝CE；⑵因为△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF，所以AC∥DF
11．可知∠C＝25°，CE＝6cm，AE＝4cm，因为“全等三角形的对应角、对应边相等”
12．绕F点旋转180°后，沿直线BC向上平移线段CF的长度
综合运用·能力提升
1．因为△ABC≌△ADE，所以∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，所以∠EAC＝∠BAD＝30°
2． ∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB－∠CAD）
＝（120°－10°）＝55°，∴∠DFB＝∠FAB＋∠B＝∠FAC＋∠CAB＋∠B＝10°＋55°＋25°＝90°，∠DGB＝∠DFB－∠D＝90°－25°＝65°，∴∠DFB和∠DGB的度数分别为90°和65°。
3．如图所示：
4．由题知可得：△DEG≌△C′EG，△CEF≌△C′EF，所以∠DEG＝∠C′EG，∠CEF＝∠C′EF，又∠DEG＋∠C′EG＋∠CEF＋∠C′EF＝180°，所以2（∠C′EG＋∠C′EG）＝180°，所以∠GEF＝90°。
5．⑴由题知可得：△ABC≌△DBE
AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE是对应角。
⑵延长AC交DE于E，如图2所示。
∵△ABC≌△DBE ∴∠A＝∠D，
又∵∠ACB＝∠DCF（对顶角相等） ∠A＋∠ACB＝90°
∴∠D＋∠DCF＝90° 即∠AFE＝90°
∴AC与DE是垂直的位置关系。
探究中考·挑战百分
1．95°
2．由题知可得：△ABC≌△A′B′C，∠B′CB＝20°
∴∠BCA＝∠B′CA′，∠BAC＝∠B′A′C
∴∠BCA－∠ACB′＝∠B′CA′－∠ACB′，∴∠B′CB＝∠ACA′＝20°
∵AC⊥A′B′
∴∠B′A′C＝90°－∠A′CA＝90°－20°＝70°
∴∠BAC＝70°，所以选（C）
3． 先将绕点逆时针旋转，再将沿直线对折，即可得与重合．
或先将绕点顺时针旋转，再将沿直线对折，即可得与重合．
A
D
B
O
C
图1
A
D
C
B
图2
A
B
F
C
E
F
图3
D
C
E
B
C
图4
A
D
B
E
C
图5
A
D
B
C
F
E
⑵
A
D
C
F
B(E)
⑶
A
D
B
E
F
C
⑴
A
D
B(F)
C(E)
⑷
A
（D）
B
F
C
E
⑸
A（F）
C（D）
E
B
⑹
A
B
D
C
O
图6
图7
F
E
D
C
A
B
A
C
B
D
图8
A
E
F
D
C
B
图9
C
B
D
A
图8
A
D
C
E
B
图10
A
B
C
D
E
1
2
A
B
F
C
E
D
A
E
D
C
B
D
A
C
A
B
F
A
B
D
E
C
D
G
F
C
B
A
E
G
D
B
F
C
E
C′
A
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
O
B
A
C
D
21世纪教育网（原课件中心网站） www.21cnjy.com 第 10 页 共 10 页(共20张PPT)
全等三角形（复习）
全等三角形
（1）两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，
（2）全等三角形的对应角相等，对应边相等。
（3）判定两个三角形全等的公理或定理：
①一般三角形有SAS、SSS。
②千万不要将SSA条件作为SAS条件来用。
1。证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法
2。全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时
①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。
②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
③有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角
总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。
1、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
50
58
72
B
C
A
b
a
c
50
a
c
甲
50
a
c
乙
50
72
a
丙
乙、丙
从反面找一相等的边或角进行排除；
用全等判定方法识别两三角形全等；
2、下列说法错误的是（ ）
A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
B、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
C、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
D、一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
C
3、根据下列已知条件，能判断△ABC≌△A B C 的是（ ）
A、AB=A B BC=B C ∠A= ∠A
B、∠A= ∠A ∠C= ∠C AC=B C
C、∠A= ∠A ∠B= ∠B ∠C= ∠C
D、AB=A B BC=B C △ABC的周长等于△A B C 的周长。
D
4、已知：如图，AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。
1
D
A
B
C
M
N
O
2
1
D
A
B
C
M
N
O
2
1
D
A
B
C
M
N
O
2
变式二
变式一
5、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（ ）
A、8个 B、6个 C、4个 D、2个
A
B
C
D
E
C
6、如图，∠ACB=90 ，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm。
求：BE的长。
A
B
D
C
E
7、在△ABC中，∠B= ∠C，与△ABC全等的三角形中有一个角为100 ，那么△ABC中与这个角对应的角的（ ）
A、∠A B、 ∠B
C、∠C D、不能确定
A
8.如图，AM=AN， BM=BN
说明△AMB≌△ANB的理由
解:在△AMB和△ANB中
∴ ≌ （ ）
AN
已知
BM
AB
AB
△ABM
△ABN
SSS
F
E
D
C
B
A
9.如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC与 △FED全等吗？为什么？
解：全等。∵BD=EC（已知）
∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED
在△ABC与△FED中
∴△ABC≌△FED（SAS）
小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。
AC=DC
∠ACB=∠DCE
BC=EC
△ACB≌△DCE(SAS)
AB=DE
E
C
B
A
D
10.如图线段AB是一个池塘的长度，
现在想测量这个池塘的长度，在
水上测量不方便，你有什么好的
方法较方便地把池塘的长度测量
出来吗？想想看。
解：在△ACB和△DCE中，
（全等三角形对应边相等。）
A
C
E
B
D
2
1
11.如果△ABD≌△ACE ，∠1与∠2相等吗？
解∵ △ABD≌△ACE （已知）
∴∠DAB = ∠EAC（全等三角形的对应角相等）
∴∠DAB - ∠BAE = ∠EAC - ∠BAE
即∠1 = ∠2
12.如图，PA=PB，PC是△PAB的
角分线，∠A=55°求：∠B的度数
解：∵PC是△ APB的角平分线
∴∠APC= （三角形角平分线意义）
在 中
∴ ≌ （ ）
∴ ∠A=∠B（ ） ∵ ∠A=55°（已知） ∴ ∠B=∠A=55°（等量代换）
P
A
B
C
第12题
∠BPC
△APC和△BPC
PA=PB(已知)
∠BP C
∠AP C=
PC=PC(公共边)
△APC △BPC
SAS
全等三角形对应角相等
13.如图，已知△ABC中，BE和CD分别为 ∠ABC和∠ABC的平分线，且BD = CE，∠1 = ∠2。说明BE = CD的理由。
A
B
C
E
D
1
2
解：∵∠DBC = 2∠1，∠ECB = 2∠2
（角平分线的定义）
∠1 = ∠2∴∠DBC = ∠ECB
在△DBC和△ECB中
BD = CE（已知）
∠DBC = ∠ECB
BC = CB（公共边）
∴ △DBC≌△ECB（SAS）
∴BE = CD（全等三角形的对应边相等）
14、如图，△ABC中，∠ACB=2∠B，∠1=∠2，试说明：AB=AC+CD
A
B
C
D
1
2
E
F
证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是：“补短法”；“截长法”。
补短法：延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等；
截长法：在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分与另一条短线段相等。
15.如图,在△ABC中,AB=12,AC=8,AD是BC边上
的中线,求AD的取值范围.
A
B
C
D
H
特别提示:
把三角形的一边的中线加倍延长,把分散条件集中
到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律.
添辅助线构造全等三角形解题
16．若AD是Rt△ABC的斜边上的中线，那么△ABD≌△ADC吗？
为什么？
小明是这样想的：
△ABD≌△ADC 这是因为：
△ABC为直角三角形．
△ABD≌△ADC
小明思考得对吗？
A
B
C
D
拓展与延伸
17.下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等三角形吗？你能把它分成三个全等三角形吗？四个呢？影响力位居国内前列教育资源网
21世纪教育网www.21cnjy.com
三角形全等的判定全攻略
三角形全等的判定
知识要点·一网打尽
要点再现，夯实基础
●全等三角形的判定方法：对于一般三角形可以用“_______”，“________”，“________”，“_______”这四种判定方法。对于直角三角形可以用“________”判定。综上可知，要判定两个三角形全等必须有三对（直角三角形）对应元素相等，而且其中必须有一对元素是_________。
答案：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，边；
1、如图①所示，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
2、如图②所示，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，则需要补充一个条件，这个条件可以是_________________。
3、已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC。求证：BC=EF。
4、如图，△ABC与△ABD中， AD与BC相交于O点，∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC＝BD，并给出证明。
你添加的条件是: ．
证明：
5．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC
求证：⑴△ABD≌△ACD；⑵AD平分∠BAC
●不能判定两个三角形全等的三种情况
⑴全等三角形的判断方法中不存在“边边角”（SSA）的判定方法，即对于一般三角形，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等（SSA）。
如图1所示：在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC和△ABD显然不全等，所以同学们应避免错误情形的发生。
⑵全等三角形的判断方法中也不存在“角角角（AAA）”的判定方法，即对于一般三角形，有三个角对应相等的两个三角形不一定全等（AAA）
如图2所示：在△ADE与△ABC中，DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ADE与△ABC显然也不全等，所以这不能作为判定定理存在。
⑶“HL”判定定理只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用，也就说HL“判定定理的前提必须是直角三角形。如图3所示。
如图3所示，△ABD与△ABC中，AB＝AB，AD＝AC，但显然两个三角形不全等。所以应用“HL”判定定理必须在直角三角形中应用。
1．下列结论中正确的是（ ）
A、有三个角对应相等的两个三角形全等
B、有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等
C、有两个角和它们夹边对应相等的两个三角形全等
D、面积相等的两个三角形全等
2．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，则补充的这个条件是（）
A.BC＝B′C′B.∠A＝∠A′C.AC＝A′C′D.∠C＝∠C′
●利用全等三角形解决实际问题的一般步骤：
⑴先明确_________应该用__________解决；
⑵根据实际抽象出___________；
⑶结合图形和题意写出___________；
⑷经过分析，__________；
⑸写出_________；
答案：实际问题，哪些几何知识；几何图形；已知，求证；找出证明途径；证明过程。
1．小明一不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块，如图①所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A、带①去 B、带②去 C、带③去 D、带①和②去
2．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再作BF的垂线DE，使点A、C、E在一直线上（如图所示），可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（）
A.边角边定理 B.角边角定理 C.这边边定理
D.斜边、直角边公理
3．有一池塘，要测量两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CA＝CD，连接BC，并延长到E，使CB＝CE，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两点间的距离。请给予说明。
基础演练·基础达标
双基整合，掌握技法
一、选择题：
1、下列各组图形中，为全等形的一组是（ ）
A.两个含有60°角的直角三角形 B.两边对应相等的两个三角形
C.边长为35的两个三边相等的三角形 D.一个钝角相等的三角形
2．如图①所示，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为（ ）
A.∠F B.∠AGE C.∠AEF D.∠D
3．根据下列已知条件，能判定△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A.AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′
B.∠A＝∠A′，∠B＝∠C′，AC＝B′C′
C.∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′
D.AB＝A′B′，BC＝B′C′，两三角形周长相等
4．如图②所示，已知AD⊥BC，且D是BC的中点，则能够得到△ABD≌△ACD的根据是（ ）
A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS
5．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一条边对应相等
D.两边对应相等
6．如图③所示，AB∥CD，AD∥BC，O是AC的中点，EF经过点O，分别交BA、DC于点E、F，那么图中全等三角形共有多少对？（ ）
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
7．如图④所示，AC＝DF，∠ACB＝∠F，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是（）
A.BE＝CF B.∠A＝∠D C.AB＝DE D.AB∥DE
8．图⑤是人字型金属屋架的示意图，该屋架由AB、AC、BC、AD四段金属材料焊接而成的，其中A、B、C、D四点均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点，假设焊接所需的四段金属材料已截好，并已标出BC段的中点D，那么，如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，而又为了准确地焊接，他应该首先选择的两段金属材料及所选的焊接点是（ ）
A、AD和BC，焊接点D
B、AB和AC，焊接点A
C、AC和BC，焊接点C
D、AB和AD，焊接点A
二、填空题：
9．如图⑥所示，△ABC≌△DEF，A与D、B与E分别是对应顶点，∠B＝32°，∠A＝68°，AB＝13cm，则∠F度数为__________，DE的长为____________cm。
10．已知：△ABC≌△A′B′C′，且△A′B′C′的面积等于12，如果BC＝4，那么BC边上的高等于_______。
11．如图⑦所示，已知AB＝AD，需要添加一个条件__________，可得△ABC≌△ADC，根据是_____________。
12．如图⑧所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则△ABE≌△ACF，其根据是________。
13．如图⑩，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，那么需要补充一个条件_______________(写一个即可)，才能使△ABC≌△DEF。
14．如果△ABC≌△AED，且AC＝5cm，BC＝6cm，△ABC的周长为18cm，则AE＝____cm，ED＝________cm。
15．如图⑩所示，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加的一个条件（只需添加一个条件）是_______________________。
16．如图11所示，∠D＝∠C＝90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在添加的条件后的括号内写出判断全等的依据。
⑴________________（ ）；⑵______________________（ ）
⑶________________（ ）；⑷______________________（ ）
三、解答题：
17．已知∠1＝∠2，AB＝AC 求证：∠B＝∠D
18．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE
19．如图所示，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，点E在AD上，且DE＝DC
求证：BE＝AC
20．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明。
①AB＝DE ②AC＝DF ③∠ABC＝∠DEF ④BE＝CF
已知：
求证：
证明：
21．如图所示，A、B两点分别位于一座小山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点与B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC，连接BC并延长到E，使CE＝CB。请说明理由。如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？
综合运用·能力提升
循题渐进，攻坚创新
1、（教材变型题）如图所示，点B、F、C、E在一条直线上，AC＝DF，FB＝CE，AB＝DE试证明：AB∥DE，AC∥DF
2．（教材变型题）如图，AM∥BN，∠MAB、∠NBA的平分线交于C点，过C作一直线交AM于D，交BN于E
求证:AB＝AD+BE
3．（条件组合型）如图所示在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：
①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2，④BD=CE.
请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）
4．（应用题）悦来中学八年级⑴班的学生到野外进行教学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：
（Ⅰ）如图，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长。
（Ⅱ）如图，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离。
问：⑴方案（Ⅰ）是否可行？______________________；理由是___________________。
⑵方案（Ⅱ）是否可行？______________________；理由是___________________。
⑶小明说在方案（Ⅱ）中，并不一定须要BF⊥AB，DE⊥BF，只需_________就可以了，请把小明所说的条件补上。
图 图
5．（判断说理题）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME， MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．
6．（阅读理解题）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略).
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：如图2，△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1Cl，∠C＝∠Cl.
求证：△ABC≌△A1B1C1.
(请你将下列证明过程补充完整).
证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1 D1⊥C1 A1于D1.则∠BDC＝∠B1D1C1＝90°，
因为BC＝B1C1，∠C＝∠C1，△BCD≌△B1C1D1，BD＝B1D1.
（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.
7．（操作实践题）如图所示：一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上。
（1）求证AB⊥ED；
（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。
8．（探究题）如图1，A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，那么BD平分EF，为什么？若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。
9．（动态题）如图，已知在Rt△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E
⑴求证：DE＝BD－CE
⑵如将直线AN绕A点沿顺时针方向旋转，使它不经过△ABC的内部，再作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之间还存在等量关系吗？如存在，请证明你的结论？
探究中考·挑战百分
博采众题，领跑中考
一、掌握命题动态
1．已知在△ABC中，AB=A1B1 ，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是_______。
2．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图.如果把小敏画的三角形的面积记作S△ABC ，小颖画的三角形的面积记作S△DEF ，那么你认为（ ）
（A）S△ABC＞S△DEF （B）S△ABC＜S△DEF （C）S△ABC= S△DEF （D）不能确定
3．如图，点D、C在BF上，AB∥EF，∠A=∠E，BC=DF，
求证AB=EF．
4．如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．
求证：（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．
二、把握命题趋势
5．如图所示，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F。线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
即DF= 。(写出一条线段即可)
证明：
6．如图，是格点（横、纵坐标都为整数的点）三角形，请在图中画出与全等的一个格点三角形．
7：在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足为E、F，如图①．
⑴请探索BE、DF、EF这三条线段长度有怎样的数量关系．若P在DC的延长线上 (如图②)，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢？ (如图③)请分别直接写出结论；
⑵请在⑴中的三个结论中选择一个加以证明．
8．如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
9．（归纳猜想）如图5，△ABC是等腰直角三角形，其中CA＝CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.
（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并说明你的猜想；
（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.
参考答案：
知识要点·一网打尽
●全等三角形的判定
1、B；
2、AC＝DF或∠A＝∠D或∠B＝∠E；
3、∵AF＝DC，∴AC＝DF，∵AB∥ED，∴∠A＝∠D，又∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（SAS）∴BC＝EF；
4、答案不惟一，本处试举一例：添加的条件是：AD＝BC，证明：在△ABC与△BAD中，∵AD＝BC ∠1＝∠2 AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴AC＝BD（全等三角形对应边相等）
5．在△ABD与△ACD中，AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（HL），∴∠BAD＝∠CAD（全等三角形对应角相等），即AD平分∠BAC。
●不能判定三角形全等的三种方法
1．“AAA”与“ASS”都不一定全等，面积与底边及高有关，所以不一定全等，故选（C）
2．选C
●利用全等三角形解决实际问题的一般步骤：
1.最省事当然只能带其中的一块去，D显然不合要求，玻璃店要根据小明带去的碎玻璃片复制一块与△ABC全等的玻璃，观察三块玻璃：①只知道一个角，不能确定三角形；②也不合要求；③中有一条完整的边BC和两个角∠B，∠C，且∠B和∠C夹着边C，根据“ASA”可以复制一个三角形与△ABC全等。选（C）
2．由已知条件可知：BC＝CD，AB⊥BD，DE⊥BD，所以∠ABC＝∠EDC，又ED＝AB，所以根据SAS可得△EDC≌△ABC，所以选A.
3．证明：在△ABC与△DEC中，CA＝CD
∠ACB＝∠DCE，CB＝CE，所以△ABC≌△DEC，所以AB＝ED。
基础演练·基础达标
1．选C，提示：完全重合的两个图形为全等形。
2．选A，提示：由△ABC≌△DEF，AC∥DF可知∠C的对应角为∠F。
3．选D，提示：根据已知条件可由SSS判定两个三角形全等。
4．选C，提示：由AD⊥BC可知∠ADB＝∠ADC＝90°，又AD＝AD，BD＝CD，所以△ABD≌△ACD（SAS）
5．选D，提示：两边对应相等可用HL证明两个直角三角形全等。
6．选D，提示：△ACD≌△CAB，△COF≌△AOE，△AOF≌△COE，△AFC≌△CEA，△CEF≌△AFE，△ADF≌△CBE共6对。
7．选C，提示：当AB＝DE时，无法构建SAS判定条件。
8．选B
9．∠F＝80°，DE＝AB＝13cm
10．6，提示：由△ABC≌△A′B′C′且△A′B′C′的面积等于12可知△ABC的面积＝12，又BC＝4，所以BC边上的高为6。
11．BC＝DC，SSS或∠BAC＝∠DAC，SAS
12．AAS
13．AC＝DF或∠A＝∠D或∠B＝∠E或AB∥DE
14．AE＝7cm，ED＝BC＝6cm。
15．AE平分∠BAC或∠B＝∠C
16．⑴AD＝BC，HL；⑵∠DAB＝∠CBA，AAS；⑶BD＝AC，HL；⑷∠DBA＝∠CAB，AAS。
17．在△ABC与△ACD中，AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ABC≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠D。
18．∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，又∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴△AED≌△CEF（AAS），∴AE＝CE
19．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，又∠ABC＝45°，AD＝BD，在Rt△BDE与Rt△ADC中，AD＝BD，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），∴BE＝AC
20．已知：①AB＝DE ③∠ABC＝∠DEF ④BE＝CF
求证：AC＝DF
证明：∵BE＝CF ∴BE＋EC＝CF＋EC，∴BC＝EF ，又∵∠ABC＝∠DEF AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF
21．AB＝DE＝8m，理由如下：由操作可知：AC＝CD，BC＝CE，又∠ACB＝∠DCE，∴△ACB≌△DCE（SAS），∴AB＝DE＝8m。
综合运用·能力提升
1．∵AC＝DF，FB＝CE，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF。
2．在AB上截取AF＝AD，连接CF，在△ADC和△AFC中，AF＝AD，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ADC≌△AFC（SAS）∴∠ADC＝∠AFC
又∵AD∥BE，∴∠ADC＋∠BEC＝180°，而∠AFC＋∠CFB＝180°，∴∠BEC＝∠CFB
在△CFB和△CEB中，∠CFB＝∠CEB，∠CBF＝∠CBE，BC＝BC，∴△CFB≌△CEB（AAS）
∴BF＝BE，又∵AD＝AF，∴AB＝AF＋FB＝AD＋BE
3．解：（以“条件”①②④，结论③”证明。）
已知：AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠1＝∠2
证明：在△ABD和△ACE中
∵AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE
∴△ABD≌△ACE（SSS）
∴∠BAD＝∠CAE
又∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD
∴∠1＝∠2
4．⑴可行；由“SAS”知△ABC≌△DEC，所以AB＝DE
⑵可行；由“ASA”知△ABC≌△EDC，所以AB＝DE
⑶AB∥DE
5．△EMC的形状是等腰直角三角形． 证明：连接AM， 由题意得：
DE＝AC，∠DAE＋∠BAC＝90°．∴∠DAB＝90°．
又∵DM＝MB，∴MA＝DB＝DM，∠MAD＝∠MAB＝45°．
∴∠MDE＝∠MAC＝105°，∠DMA＝90°∴△EDM≌△CAM
∴∠DME＝∠AMC，EM＝MC，又∠DME＋∠EMA＝90°
∴∠EMA＋∠AMC＝90°∴CM⊥EM
6．⑴又∵AB＝A1B1，∠ADB＝∠A1D1B1＝90°
∴△ADB≌△A1D1B1
∴∠A＝∠A1
又∵∠C＝∠C1，BC＝B1C1
∴△ABC≌△A1B1C1
⑵若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1，则△ABC≌△A1B1C1
7．⑴由于△ABC与△DEF是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到的，所以△ABC≌△DEF，所以∠A＝∠D，在△ANP和△DNC中，因为∠ANP＝∠DNC，所以∠APN＝∠DCN。
又∠DCN＝90°，所以∠APN＝90°，故AB⊥ED
⑵答案不唯一，如△ABC≌△DBP；△PEM≌△FBM；△ANP≌△DNC等等。以△ABC≌△DBP为例证明如下：在△ABC与△DBP中，因为∠A＝∠D，∠B＝∠B，BC＝BP，所以△ABC≌△DBP（AAS）
8．∵AB＝CD，AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE，所以由HL得Rt△ABF≌Rt△CDE，∴BF＝DE，又∠BFG＝∠DEG，∠EGD＝∠FGB，∴△BFG≌△DEG（AAS），∴EG＝FG，即BD平分EF，移动后上述结论仍成立，证明同上。
9．⑴证明：∵∠BAC＝90°，BD⊥AN，∴∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3
∵BD⊥AN，CE⊥AN，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，在△ABD与△CAE中，∠BDA＝∠AEC，∠2＝∠3，AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∵DE＝AE－AD，∴DE＝BD－CE
⑵证明：如图所示，存在关系式为DE＝DB＋CE
∵BD⊥AN，CE⊥AN，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∠1＋∠3＝90°
∵∠BAC＝90°，∴∠2＋∠1＝180°－∠BAC＝180°－90°＝90°
∴∠2＝∠3 在△BDA和△AEC中，∠BDA＝∠CEA，∠2＝∠3，AB＝CA，∴△BDA≌△AEC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE
探究中考·挑战百分
1．答案不唯一，可以是AC＝A1C1，也可以是∠B＝∠B1，∠C＝∠C1。
2．选C，提示：过A点作AM⊥BC，DN⊥EF，M、N分别为垂足，所以∠AMB＝∠DNE＝90°，因为∠DEF＝130°，所以∠DEN＝50°，在△AMB与△DNE中，∠AMB＝∠DNE，∠B＝∠DEN，AB＝DE，所以△AMB≌△DNE（SAS），所以AM＝DN，所以S△ABC= S△DEF。所以选C。
3．∵AB∥EF，∴∠B＝∠F，又∠A＝∠E，BC＝DF，∴
△ABC≌△EFD（AAS），∴AB＝EF
4．⑴在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，
∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ－∠BOE＝∠BOF，∴△AEO≌△BFO，
∴AE=BF； ⑵延长AE交BF于D，交OB于C，
则∠BCD=∠ACO，
由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．
5．DF＝AB，证明：∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∠DAF＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，在△BAE与△FDA中，∠B＝∠AFD＝90°，∠BAE＝∠FDA，AE＝AD，∴△BAE≌△FDA（AAS），∴DF＝AB。
6．可将△ABC进行对称变换或平移变换或旋转变换；也可以通过复合变换得到另外一个与△ABC全等的一个格点三角形，本题答案不唯一，只要画出一个符合题意的三角形即可（如图中的△A′B′C′）
7．⑴图①BE－DF＝EF 图①DF－BE＝EF 图③BE＋DF＝EF
⑵证明：如图③
∵∠DAB＝90° ∴∠1＋∠2＝90°，又∵BE⊥PA ∴∠E＝90°
∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠2＝∠3，在△AEB与△DFA中
∠2＝∠3 ∠E＝∠DFA AB＝DA，∴△AEB≌△DFA（AAS）
∴AE＝DF EB＝FA，∴BE＋DF＝AF＋EB＝EF
8．（1）猜想BM、FN满足的数量关系是：BM=FN
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
理由如下：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．
9．（1）猜想：AF＝BD且AF⊥BD.理由是：设AF与DC交点为G.因为FC＝DC，AC＝BC，∠BCD＝∠BCA+∠ACD，∠ACF＝∠DCF+∠ACD，∠BCA＝∠DCF＝90°，∠BCD=∠ACF.所以△ACF可以看成是绕点C旋转一定的角度后与△BCD重合，即△ACF与△BCD是全等的图形，所以AF＝BD，∠AFC＝∠BDC.因为∠AFC+∠FGC＝90°, ∠FGC＝DGA，所以∠BDC+∠DGA＝90°.所以AF⊥BD. 所以AF＝BD且AF⊥BD.（2）结论：AF＝BD且AF⊥BD.图形不惟一，只要符合要求即可.如：如图，①CD边在△ABC的内部时；②CF边在△ABC的内部时.
A
B
C
F
E
D
图①
图②
A
B
C
F
E
D
A
C
D
B
A
B
C
D
图1
A
D
B
C
E
图2
A
B
C
D
图3
①
②
③
A
B
C
A
E
D
F
C
B
①
②
E
D
B
C
A
D
A
E
B
C
F
图①
A
C
D
B
A
E
B
C
F
D
O
图②
图③
A
D
F
C
E
B
图④
A
B
D
C
图⑤
A
D
B
C
E
F
B
C
D
A
图⑥
图⑦
E
A
F
B
C
A
B
C
F
E
D
图⑧
图⑨
A
B
E
C
1
2
A
D
C
B
图⑩
图11
1
A
B
D
C
2
A
E
F
D
B
C
A
C
D
E
B
A
D
B
E
C
F
图4
A
E
D
B
C
A
B
C
E
D
F
A
B
E
C
D
M
N
2
1
E
C
B
A
A
B
C
E
D
D
E
C
A
B
Ｍ
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｅ
Ｄ
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
C
B
D
E
F
A
C
D
F
B
E
P
N
图4
B
A
E
F
C
D
G
B
A
F
G
E
D
C
图1
图2
A
B
D
C
E
N
图
小敏画的三角形
小颖画的三角形
B
A
C
F
E
D
B
F
E
O
A
A
B
C
O
A′
C′
B′
A
B
C
O
1
2
3
图2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
G
图5
A
B
C
D
E
1
3
2
21世纪教育网（原课件中心网站） www.21cnjy.com 第 20 页 共 20 页影响力位居国内前列教育资源网
21世纪教育网www.21cnjy.com
全等三角形知识总结
一、知识互联网络
二. 基础知识突破
1.全等三角形的对应边________，对应角________．
用符号语言写出全等三角形性质：
∵△ABC≌△DEF
∴ ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F；
∴ AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
此性质的作用是证明线段相等或角相等．
2.全等三角形及其相关概念：能够完全重合的两个三角形叫做__________________；两个全等三角形中重合的顶点叫做 ；重合的角叫做 ；重合的边叫做 ．
对以上两条的补充:
a.对应边与对边、对应角与对角的区别与联系：
对应边、对应角是在三角形全等的前提下产生的，对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是对同一个三角形的边和角的关系而言的. 对边是指角的对边，对角是指边的对角．
b.找对应边、对应角的方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
(3)有公共边的，公共边是对应边；
(4)有公共角的，公共角是对应角；
(5)有对顶角的，对顶角是对应角；
(6)两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角）, 一对最短边（或最小的角）是对应边（或对应角）．
针对性演练:
1． 下列说法正确的个数有( )
①形状相同的两个图形是全等形；②对应角相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的面积相等；④若△ABC≌△DEF, △DEF≌△MNP, 则△ABC≌△MNP．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2． 下列说法中不正确的是( )
A．一个直角三角形与一个锐角三角形一定不会全等
B．两个等边三角形是全等三角形
C．斜边相等的两个等腰直角三角形是全等三角形
D．若两个钝角三角形全等, 则钝角所对的边是对应边
3．如图1所示，若B、E、F、C在同一条直线上, AB∥CD, AE∥FD,
若△ABE与△CDF全等, 指出图中相等的线段和相等的角．
4如图所示, 已知△ABE≌△ACD, 指出它们的对应边和对应角．
5．下列图形中, ①平行四边形; ②正方形; ③等边三角形; ④等腰三角形. 能用两个全等的直角三角形拼成的图形是( )
A. ①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①④
6．如图3所示, 已知△AOB≌△COD, △COE≌△AOF, 则图中所有全等
三角形中, 对应角共有______对,共有______组对应线段相等．
7． 如图4已知△ABD≌△ACD, 那么AD与BC有怎样的位置关系 为什么
8． 如图10，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA的延长线上一点，AF＝．回答下列问题：
（1）△ABE与△ADF全等吗？
（2）在图中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，
可以使△ABE变到△ADF的位置．
（3）猜想并说明图中线段BE与DF之间的关系？
[参考答案提示]
1．C．（提示：正确的说法是③和④，①和②都是错误的．）
2．C．（提示：斜边相等的两个直角三角形可以完全重合，是全等三角形）
3． 图中相等的线段有: AB=CD, AE=DF, BE=CF, BF=CE; 相等的角有: ∠A=∠D,∠B=∠C,∠AEB=∠CFD,∠AEC=∠DFB．
4．△ABE≌△ACD对应边为：AB与AC；AE与AD；BE与CD；对应角为：∠ABE＝∠ACD；∠AEB＝∠ADC；∠BAE＝∠CAD．
5．C．（点拨：拼图如下：
6．7对对应角；6对对应边．（点拨：对应角为：∠A与∠C；∠B与∠D；∠AOB与∠COD；∠BFO与∠DEO；∠AFO与∠CEO；∠BOF与∠DOE；∠AOF与∠COE；对应边为：AB与CD；BO与DO；AO与CO；OF与OE；BF与DE；AF与CE．）
7． AD⊥BC．这是因为：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）．
∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），∴∠ADB=90°．
8． （1）△ABE≌△ADF．其理由如下：∵AF＝＝AE，∠FAD＝∠EAB，AD＝AB，
∴△ABE≌△ADF（SAS）．
(2) 将△ABE绕点A旋转90°后可变到△ADF处．（3）BE＝DF且BE⊥DF．
∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF（全等三角形的对应边相等）．延长BE交DF于G点，
∵∠FDA＝∠EBA，且∠F＋∠FDA＝90°，∴∠F＋∠EBA＝90°，
∴∠FGB＝90°，即BE⊥DF．
3．常用的三角形全等的判定方法：
①_______________________________________________________(简写成______)
②_______________________________________________________(简写成______)
③_______________________________________________________(简写成______)
④_______________________________________________________ (简写成______)
⑤ ______________________________________________________ (简写成______)
可通过右图这个开放题得到全面复习:
已知∠B=∠E=900,试增加两个条件,使△ABC≌△DEF:
①增加条件________,____________,理由是____________
②增加条件________,____________,理由是____________
③增加条件________,____________,理由是____________
④增加条件________,____________,理由是____________
⑤增加条件________,____________,理由是____________
针对性演练:
1.下列两个直角三角形能全等吗？
（1）斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；
（2）有两条边对应相等的两个直角三角形全等；
（3）有一条边相等的两个直角三角形全等；
（4）有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
2.已知：如图，是和的平分线，．
求证：．
3.如图，，，，
求证：
4. 让我们一起来进行一个折纸游戏吧！如图所示，取一张长方形的纸片ABCD，将其折叠，使D点与B点重合，EF为折痕，观察图形，图中有全等的三角形吗？如果有，请给出证明；若没有，请说明理由．
5．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，，相交于点，
求证：①；
②，；
[参考答案提示]
1.[思路分析] 本题主要考查对直角三角形全等的判定方法的掌握情况，这可根据直角三角形全等的五种判定方法．
答：（1）中两个直角三角形全等，因为斜边对应相等, 由勾股定理可得直角边也对应相等, 满足HL；
（2）中两个直角三角形全等，无论是两条直角边对应相等, 还是一条直角与斜边对应相等, 均满足三角形全等的公理(SAS或HL)；
（3）中两个直角三角形不全等，最多只有两个条件, 不能判定两个三角形全等；
（4）中两个直角三角形全等，由斜边上的中线对应相等, 可由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出斜边对应相等, 再结合有一直角边对应相等, 满足HL．
[点悟] 解决直角三角形全等的问题，应紧紧抓住直角三角形的特殊性, 看命题所给条件是否符合HL或其它判定公理．
2．证明：因为是和的平分线，
所以 ，．
所以．
在和中，
所以．
所以 ．
3.证明：
即：
又，
4.[思维点拨] 图中有三个三角形△ABE，△BEF，△BFG，观察图形可以发现只有△ABE和△GBF可能全等，因为∠A＝∠G＝90°，由于纸片是长方形，所以AB＝CD＝GB，∠A＝∠G＝90°，由于AE∥BF且BE∥GF，可证∠AEB＝∠GFB，故利用AAS定理可以证明这对三角形全等．
证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD＝BG，∠A＝∠D＝∠G＝90°．
又∵AE∥BF，BE∥FG ，
∴∠AEB＝∠FBE，∠FBE＝∠GFB，∴∠AEB＝∠GFB．
在△ABE与△GBF中，∴△ABE≌△GNF（AAS）．
5．证明：（1）①在和中，
，，，
．
②，
．
，
，
4、角的平分线的性质：角的平分线上的任一点到角的两边距离 。
5、角的平分线性质的逆用：到角的两边距离相等的点均在角的 上，所以角的平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合．
针对性演练:
1.如图所示，是的平分线，，垂足为，，垂足为，且．
求证：．
2.如图，在中，，，是的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性（证明你的猜想需要用题中所有的条件）．
[参考答案提示]
1. 证明：是的平分线，，
．
又，
．
2.猜想结论：，过作，垂足为．
平分，，．
，．
，，．
，．
三.专题大讲堂
三角形全等的判定方法有：定义、边角边公理、角边角公理、角角边推论、边边边公理，但要注意不能用边边角或角角角判定三角形全等. 证明线段或角相等，通常是通过证明三角形全等来实现的，因此要学会分析，善于总结规律，灵活地选择适当方法证明两个三角形全等，当题目的图中无现成的可用来证明的全等三角形时，就需要根据条件和结论添加适当的辅助线，构造全等三角形，有一些复杂的几何题，往往要证明几次全等才能得到结果，选择好的证明方法是非常重要的.
运用“截长补短法”证“a+b=c” 的应用举例
要证明形如“a+b=c”这种两条线段的和等于第三条线段的问题，是我们经常会遇到的问题，解决这类问题的方法一般是“截长与补短”，即可以在c上截取一段等于a，再证剩下的一段等于b；也可以在线段a的延长线上补上线段b，再证延长后所得的线段等于c．下列我们就以题作出分析和证明．
例：已知如图13－1所示，AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C＝90°，
求证：AB＝AC＋CD．
分析：从表面上看，该题的结论与条件无直接联系，要完成证明，我们可结合条件AD是角平分线构造全等三角形，即过D点作DE⊥AB于E点，这里不难发现AE＝AC，只要证明BE＝CD即可．
证法一（截长法）： 如图5－1所示,过点D作BD⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，又∠DEA＝∠DCA且AD公共
∴△ADE≌△ACD（AAS），
∴ AE＝AC，CD＝DE
在△DEB中，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴△EBD是等腰直角三角形．
∴DE＝EB，∴CD＝EB．
∴AC＋CD＝AE＋EB，即AC＋CD＝AB．
证法二（补短法）：
如图5－2所示，在AC的延长线上截取CM＝CD，连结DM．
在△MCD中，∠MCD＝90°，CD＝CM
∴△MCD是等腰直角三角形．∴∠M＝45°
又∵在等腰直角三角形中，∠B＝45°
∴∠M＝∠B＝45° 又∵AD平分∠CAD
∴在△MAD与△BAD中
∴△MAD≌△BAD（AAS）
∴MA＝AB，即AC＋CD＝AB．
[例2] 如图13-3, △ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D, F为垂足, DE⊥AB于E, 且AB>AC 求证：BE－AC=AE.
[思路分析] 要证BE－AC=AE, 可用截长补短法证明, 如过D作DN⊥AC, 有AE=AN, 则构造出AC+AE, 故只须证CN=BE, 也就是证△DBE≌△DCN.
[证明] 过D作DN⊥AC, 垂足为N, 连结DB、DC则
DN=DE, DB=DC
又∵DE⊥AB, DN⊥AC,
∴Rt△DBE≌Rt△DCN，
∴BE=CN
又∵AD=AD， DE=DN，
∴Rt△DEA≌Rt△DNA
∴AN=AE
∴BE=AC+AN=AC+AE
∴BE－AC=AE
例3 已知, 如图 AD∥BC, ∠DAB和∠ABC的平分线交于E, 过E的直线交AD于D, 交BC于C, 求证: DE=EC.
分析 观察图形发现要证DE=EC, 无现成的全等三角形, 因此考虑添加辅助线, 构造一条线段, 使DE和EC都和那条线段相等, 即可得证, 故在AB上截取AF=AD, 证DE=EF, EC=EF等.
证明: 在AB上截取AF=AD
∵AE是∠DAF的平分线(已知)
∴∠DAE=∠FAE(角平分线定义)
在△DAE和△FAE中
∴△DAE≌△FAE(SAS)
∴DE=FE(全等三角形对应边相等)
∴∠D=∠AFE(全等三角形对应角相等)
∵∠AFE+∠BFE=1800(邻补角定义)
又AD∥BC(已知) ∴∠D+∠C=1800(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠BFE=∠C(等角的补角相等)
A D
F
E
B C
∵BE是∠ABC的平分线(已知)
∴∠FBE=∠CBE(角平分线定义)
在△FBE和△CBE中
∴△FBE≌△CBE(AAS)
∴FE=CE(全等三角形对应边相等) ∴DE=EC.
四.休闲空间
由尺规作图产生的三大难题
古希腊人用尺规作图，主要目的在于训练智力，培养逻辑思维能力，所以对作图的工具有严格的限制．他们规定作图只能用直尺和圆规，而他们所谓的直尺是没有刻度的．正是在这种严格的限制下，产生了种种难题．
相传神话中的一个国王对儿子给他造的坟墓不满意，命令把坟墓扩大一倍，但是当时的工匠都不知如何解决．后来，德利安人为了摆脱某种瘟疫，遵照神谕，必须把阿波洛的立方体祭坛扩大一倍．据说，这个问题提到柏拉图那里，柏拉图又把它交给了几何学家．这就是著名的倍立方问题．除倍立方问题外，还有三等分任意角、化圆为方（作一正方形，使其面积等于给定的圆面积）．
在数学史中，很难找到像这样长期被人关注的问题．两千多年以来，无数人的聪明才智倾注于这三个问题而毫无结果．但对这三个问题的深入探索，促进了希腊几何学的发展，引出了大量的发现．如圆锥曲线、许多二次和三次曲线以及几种超越曲线的发现等；后来又有关于有理域、代数数、超越数、群论和方程论若干部分的发展．直到19世纪，即距第一次提出这三个问题两千年之后，这三个问题才被证实在所给的条 ( http: / / www.1230.org )件下是不可能解决的．
现在还有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决这些尺规作图无法解决的问题．下面的工具就可以用来解决三等分任意角的问题（这样的作图就相当于用量角器三等分任意角，已不属于尺规作图范畴）．你能说出其中的道理吗？
对应边相等、对应角相等
全等形
全等三角形
角平线的性质、判定及画法
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
解决问题
A
图13－1
D
E
C
A
B
图13-3
N
D
C
F
B
A
图13－2
D
M
C
B
F
E
D
C
B
A
2
D
C
B
A
E
F
图1
A
B
D
C
图4
D
E
C
O
A
F
B
图3
A
D
B
E
C
图2
A
B
C
D
E
F
图10
1
2
1
G
F
E
D
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ａ
Ｆ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
E
Ｃ
Ｆ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｄ
21世纪教育网（原课件中心网站） www.21cnjy.com 第 1 页 共 10 页影响力位居国内前列教育资源网
21世纪教育网www.21cnjy.com
角平分线的性质全攻略
角平分线的性质
知识要点·一网打尽
要点再现，夯实基础
●角平分线的性质：角的平分线上的点到__________________相等。
符号语言表示为：如右图
∵OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足为D、E
∴PD＝PE（角平分线上的点到____________相等）
答案：这个角的两边的距离，这个角的两边的距离
1．如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系为（）
A.PC＞PD B.PC＝PD C.PC＜PD D.不能确定
（第1题图） （第2题图） （第3题图）
2．如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，那么D点到直线AB的距离是
cm。
3．如图所示，下列推理中正确的个数是（ ）
①因为OC平分∠AOB，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，所以PD＝PE；
②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD＝PE；
③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD＝PE
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
●角的平分线的判定
到一个角的两边的________的点，在这个角的平分线上。
符号语言表示为：
∵点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D、E
且PD＝PE
∴OP是∠AOB的平分线，（到一个角的两边的________的点，在这个角的平分线上）
答案：距离相等，距离相等
1．与相交的两条直线距离相等的点在（）
A.一条直线上 B.两条互相垂直的直线上
C.一条射线上 D.两条互相垂直的射线上
2．如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝________，∠CAD＝_________。
3．已知：如图所示，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D。若BD＝CD
求证：AD平分∠BAC。
●三角形的角平分线的性质
三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离______。
答案：相等
1．下列说法中，错误的是（）
A.三角形任意两个角的平分线的交点在三角形的内部
B.三角形两个角的平分线的交点到三边的距离相等
C.三角形两个角的平分线的交点在第三个角的平分线上
D.三角形任意两个角的平分线的交点到三个顶点的距离相等。
2．如图1所示：⑴若∠BAD＝∠CAD，且BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则BD＝CD，⑵若BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，且BD＝CD，则∠BAD＝∠CAD，试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有多少处？
图1
基础演练·基础达标
双基整合，掌握技法
一、选择题：
1．如图1所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（ ）
A.∠1＝∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定
2．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（ ）
A、12cm B、10cm C、14cm D、11cm
3．如图2所示，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（ ）
A.PM＞PN B.PM＝PN C.PM＜PN D.无法确定
4．如图3所示，△ABC中，AB=AC，AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )
①AD平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD上的点到B、C两点的距离相等
④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题：
5．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=8，则点D到斜边AB的距离等于_____________。
6．如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E。
⑴若DC＝5，则DE＝__________；
⑵若BC＝8，BD＝5，则DE＝________；
⑶若∠B＝45°，CD＝4，则BE＝________；
⑷若BC＝20，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离是_______________。
7．如图5所示，已知点C是∠AOB平分线上的一点，点P、P′分别在边OA、OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为___________________。①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC。
三、解答题：
8．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C
9．如图所示，∠1＝∠2，CF⊥AD，CE⊥AB，CD＝CB，BE与DF的大小关系怎样？
10．某市大力推广乙醇汽油，交警加强了监管力度。如图所示，点O是一个加油站，OA、OB是通往加油站的两条公路，EF是与OB平行的另一条公路，为了保证交警对经过这三条公路的每一辆车进行检查，准备在公路EF上建一个值班室，要求值班室到公路OA、OB的距离相等，请你画出值班室P的位置。
综合运用·能力提升
循题渐进，攻坚创新
1．（教材变型题）如图所示，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACE的平分线交于点F，求证：点F到∠PAC的两边的距离相等。
2．（教材变型题）如图，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，
试说明：AE＋CD＝AC
3．（应用题）如图所示，工厂师傅常用角尺来作任意一个角的平分线，请你设计一个方案，只用角尺来作一个角的平分线，并说明理由。
4．（开放题）如图所示，AM是∠BAC的平分线，O是AM上一点，过点O分别作AB、AC的垂线，垂足为F，D，且分别交AC、AB于点G、E，请问：⑴图中有哪几对全等的三角形？⑵图中有哪几对相等的线段，并选出一对进行证明。
5．（开放题）如图所示，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，D是这条角平分线上的一个动点，就D的位置而言，你能猜想出AB＋AC与BD＋DC的大小关系吗？并证明你的猜想。
6．（探索题）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25，⑴△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？如果有，请作出这一点，并说明理由；
⑵求这个距离。
7．（探索题）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰在DC上。
⑴求证：AP⊥BP；
⑵若∠D＝90°，猜想AB、AD、BC之间有何数量关系？请证明你的结论。
探究中考·挑战百分
博采众题，领跑中考
1．如图所示，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段______________________（只需写出一组即可）
2．⑴如图，已知△ABC，∠C＝90°
按下列语句作图（尺规作图，保留作图痕迹）：
①作∠B的平分线，与AC相交于点D；
②在AB边上取一点E，使BE＝BC
③连接ED
⑵根据所作图形，写出一组相等的线段和一组相等的锐角（不包括BE＝BC，∠EBD＝∠CBD）
答：________________________________________________。
3．如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
参考答案：
知识要点·一网打尽
●角平分线的性质
1．选B，提示：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，所以由角平分线的性质可知PC＝PD。
2．由∠C＝90°，AD平分∠CAB，可作DE⊥AB于E，所以D点到直线AB的距离是DE的长，由角平分线的性质可知DE＝CD。又BC＝8cm，BD＝5cm，所以DE＝CD＝3cm。所以D点到直线AB的距离是3cm。
3．角的平分线的性质的题设是已知角的平分线和平分线上的点到两边的距离（垂直），只有满足这两个条件，才能下结论：PD＝PE。①缺少“垂直”的条件，错误；②缺少“平分线”的条件，错误；⑶两个条件都具备，正确。所以选B。
●角平分线的判定
1．选B；
2．因为DB⊥AB，DC⊥AC，且BD＝DC，所以AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°。
3．因为BE⊥AC，CF⊥AB，所以∠BFD＝∠CED＝90°，在△BFD与△CED中，∠BFD＝∠CED，∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，所以△BFD≌△CED（AAS），所以DF＝DE，又
BE⊥AC，CF⊥AB，所以AD平分∠BAC。
●三角形的角平分线性质
1．选D；
2．如图2所示：⑴作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1；⑵分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4，故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4。
基础演练·基础达标
1．选A，提示：∵AD⊥OB，BC⊥OA，PA＝PB，由角平分线的判定可知∠1＝∠2。
2．选A；提示：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，易得△ACD≌△AED，∴CD＝DE，AE＝AC，∴△DBE的周长＝DE＋EB＋DE＝CD＋DB＋EB＝BC＋EB＝AC＋EB＝AE＋EB＝AB＝12cm。
3．选B，提示：过P作PT⊥AC于T，因为PA平分∠DAC，PM⊥BD，∴PM＝PT，又PC平分∠ACE，PT⊥AC，PN⊥BE，∴PN＝PT，∴PM＝PN。
4．选D，提示：①②③④都正确。
5．8，提示：根据角平分线的性质可得D到斜边AB的距离为8。
6．⑴5；⑵3；⑶4；⑷8；
7．①、②、④
8．因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，所以Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），所以∠B＝∠C。
9．过P作PE⊥BA于E，如图1所示
∵PD⊥BC，∠1＝∠2，∴PE＝PD（角平分线上一点到角的两边距离相等）
在Rt△BPE和Rt△BPD中，BP＝BP，PE＝PD
∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL），∴BE＝BD
∵AB＋BC＝2BD，BC＝CD＋BD，AB＝BE－AE
∴AE＝CD
∵PD⊥BC，PE⊥BE ∴∠PEB＝∠PDC＝90°
在△PEA和△PDC中，PE＝PD，∠PEB＝∠PDC，
AE＝CD，∴△PEA≌△PDC（SAS）
∴∠PCB＝∠PAE，∵∠BAP＋∠EAP＝180°，∴∠BAP＋∠BCP＝180°
10．作∠AOB的平分线OC交EF于P点，则点P为所求的位置。
综合运用·能力提升
1．如图所示，过F点分别作FG⊥BE，FH⊥AC，FM⊥BP，垂足分别为G、H、M，因为BF平分∠ABC，FC平分∠ACE，所以FG＝FM，FH＝FG，所以FH＝FM。
2．在AC上截取AF＝AE，连接OF，∵△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，∴∠OAC＝∠BAC，∠OCA＝∠BCA，又∠B＝60°，∴∠AOC＝180°－（∠BAC＋∠BCA）＝180°－（180°－∠B）＝90°＋∠B＝120°，∠AOE＝∠COD＝60°，在△AEO与△AFO中，AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOF＝∠AOE＝60°，∠FOC＝60°，在△CDO与△CFO中，∠FCO＝∠DCO，CO＝CO，∠FOC＝∠DOC，∴△CDO≌△CFO（ASA），∴CD＝CF，又AC＝AF＋CF＝AE＋CD
3．方案：⑴在射线OA上截取OM为一定的长度，在OB上截取ON＝；
⑵分别过M、N作OA、OB的垂线，设交点为P；
⑶连接OP，则OP就是∠AOB的平分线
理由：在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM＝ON，OP＝OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）
∴∠MOP＝∠NOP
4．⑴△AOF≌△AOD，△AOE≌△AOG，△FOE≌△DOG；⑵AF＝AD，AE＝AG，EF＝DG，OF＝OD，OE＝OG，如证明AF＝AD，因为AM是∠BAC的平分线，所以∠FAO＝∠DAO，因为OF⊥AE，OD⊥AG，所以∠OFA＝∠ODA，在△AOF与△AOD中，∠FAO＝∠DAO，∠OFA＝∠ODA，AO＝AO，所以△AOF≌△AOD（AAS），所以AF＝AD。
5．猜想：AB＋AC≤BD＋DC
证明：⑴当D点在A点时，AB＋AC＝BD＋DC
⑵当点D异于A点时，延长BA到C′，使AC′＝AC，连接C′D，如图所示，
在△AC′D和△ACD中，AC′＝AC，∠C′AD＝∠CAD，AD＝AD
∴△AC′D≌△ACD（SSS）
∴DC′＝DC
在BC′D中，BD＋DC′＞BC′
所以BD＋DC＞BA＋AC′＝AB＋AC
综上所述 AB＋AC≤BD＋DC
6．⑴作∠BAC、∠ACB的平分线，它们的交点P为符合要求的点，如图所示，
作PF⊥BC，PE⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为F、E、G
因为AP是∠BAC的平分线，所以PE＝PG
因为CP是∠ACB的平分线，所以PF＝PG
所以PE＝PG＝PF
⑵连接BP，设PE＝PG＝PF＝
因为
即AB×BC＝AB＋AC＋BC
7×24＝（7＋24＋25） ∴
即这个距离为3
7．⑴因为AP平分∠DAB，所以∠DAP＝∠EAP，因为BP平分∠ABC，所以∠ABP＝∠CBP，又因为AD∥BC，所以∠DAB＋∠CBA＝180°，即2（∠BAP＋∠PBA）＝180°，所以∠BAP＋∠PBA＝90°，所以∠APB＝90°，即AP⊥BP。⑵猜想：AB＝AD＋BC，
证明：如图所示，过P作PE⊥AB，因为∠D＝90°，所以∠AEP＝∠D＝90°，因为AP平分∠DAB，所以∠DAP＝∠EAP，在△ADP与△AEP中，∠AEP＝∠D，∠DAP＝∠EAP，AP＝AP，所以△ADP≌△AEP（AAS），所以AD＝AE，同理可得BE＝BC，所以AB＝AD＋BC。
探究中考·挑战百分
1．PC＝PD或OC＝OD
2．⑴作出∠B的平分线，标出交点D；标出点E，连接ED；⑵写出DE＝DC，∠BDE＝∠BDC或∠ADE＝∠ABC。
3．⑴FE与FD之间的数量关系为FE＝FD。
⑵答：⑴中的结论FE＝FD仍然成立。
理由如下：如图所示，在AC上截取AG＝AE，连结FG，因为∠1＝∠2，AF为公共边，可证△AEF≌△AGF，所以∠AEF＝∠AFG，FE＝FG，由∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°，所以∠CFG＝60°，由∠3＝∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD，所以FG＝FD，所以FE＝FD
A
O
B
P
D
O
C
P
A
B
E
D
O
E
P
A
C
B
A
O
B
P
A
C
B
D
A
E
D
C
B
F
B
D
C
A
A
C
P
B
D
O
1
2
图1
D
M
A
B
C
N
P
E
图2
D
B
C
A
E
F
图3
图4
A
B
D
C
E
图5
O
A
B
P
C
P′
A
F
C
D
E
B
A
D
F
C
B
E
1
2
A
E
F
B
O
A
P
F
E
C
B
A
E
O
C
D
B
O
M
N
P
A
B
B
E
F
O
M
C
G
D
A
A
D
B
C
A
C
B
D
A
P
C
B
D
O
C
P
A
B
A
C
B
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
A
O3
O2
O1
O4
B
C
图2
A
B
D
C
P
N
1
2
E
图1
A
P
F
E
C
B
G
H
M
A
D
B
C
C′
A
G
C
F
B
E
P
D
A
P
C
B
E
B
E
D
F
G
A
C
1
2
3
4
21世纪教育网（原课件中心网站） www.21cnjy.com 第 1 页 共 12 页影响力位居国内前列教育资源网
21世纪教育网www.21cnjy.com
全等三角形最新学业考试全攻略
全等三角形
1．（2008年仙桃、潜江）△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 .答案：
2．（2007年泰安）如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则的度数是 ．
答案：60°
三角形全等的条件（1）
1．（2008年宜宾市）已知:如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D
答案：证明：连结AB
在△ADB与△ACB中
∴△ADB≌△ACB
∴ ∠D＝∠C
三角形全等的条件（2）
1．（2008年遵义市）如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30°
答案：A
根据OA＝OB，OC＝OD，∠O＝∠O可证△ODA≌△OCB，所以∠C＝∠D＝35°，又因为∠EAC＝∠O＋∠D＝85°，所以∠AEC＝180°－85°－35°＝60°.
2．(2008常州市) 已知:如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.
求证:AC＝DE.
答案：
∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAC＝∠DAE
在△BAC≌△DAE中
∴△BAC≌△DAE
∴AC＝DE
3．（2007年南昌市）如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论．
答案：．
证明：在和中，由，
得．
所以．
故．
4．（2008年泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
答案：（1）解：图2中
证明如下：
∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE
即∠BAE＝∠CAD
∴△ABE≌△ACD
（2）证明：由（1）△ABE≌△ACD知
∠ACD＝∠ABE＝45°
又∠ACB＝45°
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°
∴DC⊥BE
5．（2008年北京）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．求证：AC＝CD．
证明：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E．
在△ABC和△CED中，
∴△ABC≌△CED．
∴AC＝CD．
6．（2008无锡）已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40°．
（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
答案：解：（1）如图1；
（2）如图2；
（3）4．
三角形全等的条件（3）
1．（2008年苏州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO＝DO．
答案：证明：（1）在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC．
（2）∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD．又∵∠1＝∠2，∴BO＝DO．
2．（2007年随州市）如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD＝BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．
（1）给出下列四个条件：
① ② ③ ④
请你从中选出一个能使的条件，并给出证明；
你选出的条件是 ．
证明：
（2）在（1）中所给出的条件中，能使的还有哪些？
直接在题后横线上写出满足题意的条件序号： ．
答案：第（1）题添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明．
（1）②证明：∵AE＝CD，BE＝BD，∴AB＝CB，又∠ABD＝∠CBE，BE＝BD
∴△ADB≌△CEB
（2）③④
3．(2008年西宁市)如图，一块三角形模具的阴影部分已破损．
（1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具？请简要说明理由．
（2）作出模具的图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．
答案：（1）只要度量残留的三角形模具片的∠B，∠C的度数和边BC的长，
因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
（2）按尺规作图的要求，正确作出的图形．
三角形全等的条件（4）
1．（2007年通辽市）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF．给出下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③BE＝CF；④△CAN≌△ABM．其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
答案：A
2．（2008年南宁市）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF。
（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明。
答案：（1）3对。分别是：
△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF。
（2）△BDE≌△CDF。
证明：因为DE⊥AB，DF⊥AC，
所以∠BED=∠CFD=90°
又因为D是BC的中点，
所以BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
所以△BDE≌△CDF。
角平分线的性质（一）
1．(2008年双柏县)如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）：
答案：OA＝OB或∠OAP＝∠OBP或∠OPA＝∠OPB
2．（2007年十堰）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC－BD，则∠B∶∠C的值是________
答案：2
角平分线的性质（二）
1．（2008年梅州）如图， 点 P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则 ∠AOB＝_____度．
答案：60°
2．（2007年绵阳市）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．
① AD平分∠BAC，② DE⊥AB，DF⊥AC，
③ AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①② ③，①③ ②，②③ ①．
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题．
答案：（1）①② ③，正确；①③ ②，错误；②③ ①，正确（但在我们知识范围内，暂时不能给出证明过程）．
（2）先证 ①② ③．
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，而AD = AD，
∴ Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴ DE =DF，∠ADE =∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，
因此∠DGE =∠DGF，
进而有∠DGE =∠DGF = 90，故AD⊥EF．
C
D
A
E
B
O
E
A
B
D
C
A
D
B
C
F
E
图1
图2
D
C
E
A
B
A
C
E
D
B
2cm
1cm
40°
2cm
1cm
40°
图1
图2
D
C
B
A
O
1
2
3
4
B
C
A
A
B
C
E
M
F
D
N
21世纪教育网（原课件中心网站） www.21cnjy.com 第 1 页 共 8 页
