陕西省渭南市重点中学2023-2024学年高二上学期第二次（期中）质量检测数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 陕西省渭南市重点中学2023-2024学年高二上学期第二次（期中）质量检测数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1014.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-15 22:29:46 | ||
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文档简介
渭南市重点中学2023—2024学年度第一学期第二次质量检测
高二数学试题
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3.直线过圆：的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在四面体中，，，，点在上，且，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5.点到抛物线（）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
6.已知是圆内过点的最短弦，则（ ）
A.2 B. C.4 D.
7.过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若°，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆（）的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知空间中三点，，，则（ ）
A.与是共线向量 B.与夹角的余弦值是
C.平面的一个法向量是 D.到平面的距离是
10．已知椭圆：方程的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ）
A. B. C. D.
11.下列四个说法错误的是（ ）
A.直线的斜率，则直线的倾斜角；
B.直线：与以、两点为端点的线段相交，则或；
C.如果实数、满足方程，那么的最大值为；
D.直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.
12.对平面上两点、，满足（）的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点，是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关.在平面直角坐标系，，，点满足.设点的轨迹为，则（ ）
A.轨迹的方程为
B.
C.轨迹的周长为
D.轨迹上的点到的最小距离为
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为________.
14.双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离等于________.
15.如图（单位：m）是抛物线形拱桥，当水面处于位置时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水面下降1m后，水面宽增加________m.
16.是圆上一点，，分别为椭圆的左，右焦点，若，则的大小为________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程；
18.（12分）已知直线：与双曲线：x -y =1，分别求出满足下列条件的的值或者范围.
（1）与没有公共点；（2）与有一个公共点；（3）与有两个公共点；
19.（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切，点在圆上，点在圆外.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程.
20.（12分）如图所示，在长方体中，，分别是棱，上的点，，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
21.（12分）如图，已知抛物线，其焦点为.
（1）若点，求以为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
（2）若互相垂直的直线，都经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点和，两点，求四边形面积的最小值.
22.（12分）设椭圆的方程为（），离心率为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值．
2023—2024学年度第一学期期中质量检测
参考答案及评分标准
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D A D B B B
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，部分答对得2分，答错不得分.
题号 9 10 11 12
答案 BCD ACD AD ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 14.17 15. 16.60°
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
【解析】联立，解得，交点，
分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为.
①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即；
②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.
综上所述，所求直线方程为或.
18.（12分）【解析】联立方程组消去，整理的.
（1）与没有公共点，则，且.或.
（2）与有两个公共点，则时，；当时，.当时，则，此时；
（3）与有两个公共点，则，且，即.
19.（12分）
【解析】（1）设圆心，半径，
则圆的方程可设为，因为点在圆上，
所以，解得或.
因为点在圆外，经检验不符，舍去.
所以圆的方程为.
（2）由（1）可知圆的半径，，所以圆心到直线的距离
.
当不存在时，直线方程，符合题意；
当存在时，设直线方程为，整理得
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以，所以直线的方程为.
综上，直线方程为或.
20.（12分）
【解析】以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系（图略），设，依题意得，，，.
（1）证明：易得，，.
于是，.因此，，.
又，所以上平面.
（2）设平面的法向量为，则，又，，
故有，不妨令，可得.
由（1）可知，为平面的一个法向量，
于是，从而.
所以二面角的正弦值为.
21.（12分）
【解析】（1）点在抛物线含焦点的区域内，中点弦所在的直线存在.
设所求直线交抛物线于，，则，，
（），
所求直线方程为.
（2）依题意知，直线，的斜率存在，设直线的方程为（），
与抛物线方程联立，得
消去整理得，其两根为，，且.
由抛物线的定义可知，，同理，，
四边形的面积.
当且仅当时取得最小值.
22.（12分）
【解析】（1）由，得，
因为过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，
所以椭圆的对称性知，椭圆过点，即，
即，解得，，所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：设，，则，化简得.
因为，是椭圆上的点，所以，，即有，，
由，得，
所以
.
即为定值．
高二数学试题
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3.直线过圆：的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在四面体中，，，，点在上，且，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5.点到抛物线（）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
6.已知是圆内过点的最短弦，则（ ）
A.2 B. C.4 D.
7.过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若°，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆（）的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知空间中三点，，，则（ ）
A.与是共线向量 B.与夹角的余弦值是
C.平面的一个法向量是 D.到平面的距离是
10．已知椭圆：方程的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ）
A. B. C. D.
11.下列四个说法错误的是（ ）
A.直线的斜率，则直线的倾斜角；
B.直线：与以、两点为端点的线段相交，则或；
C.如果实数、满足方程，那么的最大值为；
D.直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.
12.对平面上两点、，满足（）的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点，是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关.在平面直角坐标系，，，点满足.设点的轨迹为，则（ ）
A.轨迹的方程为
B.
C.轨迹的周长为
D.轨迹上的点到的最小距离为
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为________.
14.双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离等于________.
15.如图（单位：m）是抛物线形拱桥，当水面处于位置时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水面下降1m后，水面宽增加________m.
16.是圆上一点，，分别为椭圆的左，右焦点，若，则的大小为________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程；
18.（12分）已知直线：与双曲线：x -y =1，分别求出满足下列条件的的值或者范围.
（1）与没有公共点；（2）与有一个公共点；（3）与有两个公共点；
19.（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切，点在圆上，点在圆外.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程.
20.（12分）如图所示，在长方体中，，分别是棱，上的点，，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
21.（12分）如图，已知抛物线，其焦点为.
（1）若点，求以为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
（2）若互相垂直的直线，都经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点和，两点，求四边形面积的最小值.
22.（12分）设椭圆的方程为（），离心率为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值．
2023—2024学年度第一学期期中质量检测
参考答案及评分标准
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D A D B B B
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，部分答对得2分，答错不得分.
题号 9 10 11 12
答案 BCD ACD AD ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 14.17 15. 16.60°
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
【解析】联立，解得，交点，
分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为.
①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即；
②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.
综上所述，所求直线方程为或.
18.（12分）【解析】联立方程组消去，整理的.
（1）与没有公共点，则，且.或.
（2）与有两个公共点，则时，；当时，.当时，则，此时；
（3）与有两个公共点，则，且，即.
19.（12分）
【解析】（1）设圆心，半径，
则圆的方程可设为，因为点在圆上，
所以，解得或.
因为点在圆外，经检验不符，舍去.
所以圆的方程为.
（2）由（1）可知圆的半径，，所以圆心到直线的距离
.
当不存在时，直线方程，符合题意；
当存在时，设直线方程为，整理得
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以，所以直线的方程为.
综上，直线方程为或.
20.（12分）
【解析】以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系（图略），设，依题意得，，，.
（1）证明：易得，，.
于是，.因此，，.
又，所以上平面.
（2）设平面的法向量为，则，又，，
故有，不妨令，可得.
由（1）可知，为平面的一个法向量，
于是，从而.
所以二面角的正弦值为.
21.（12分）
【解析】（1）点在抛物线含焦点的区域内，中点弦所在的直线存在.
设所求直线交抛物线于，，则，，
（），
所求直线方程为.
（2）依题意知，直线，的斜率存在，设直线的方程为（），
与抛物线方程联立，得
消去整理得，其两根为，，且.
由抛物线的定义可知，，同理，，
四边形的面积.
当且仅当时取得最小值.
22.（12分）
【解析】（1）由，得，
因为过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，
所以椭圆的对称性知，椭圆过点，即，
即，解得，，所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：设，，则，化简得.
因为，是椭圆上的点，所以，，即有，，
由，得，
所以
.
即为定值．
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