河北省邯郸市涉县重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析）

涉县重点中学2023—2024学年第一学期12月月考试卷
高一数学试题
内容与范围：必修一第一至五章 考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2.请将答案正确填写在答题卡上.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4.设函数，则的值（ ）
A. B. C. D.
5.函数的减区间为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，则（ ）.
A. B. C. D.
7.定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）
9.已知、均为正实数，则下列选项正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则的最大值为 D.若，则最大值为
10.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知，则下列不等式可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12.奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C.在上单调递增 D.的值域为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.化简：______.
14.已知角的终边经过点，的值是______.
15.已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是______.
16.已知，，若存在，使对任意的，有成立，则实数的取值范围是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题共10分）已知集合，.
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
18.（本题共12分）已知关于的不等式的解集为.
（1）求，的值；
（2）求关于的不等式的解集.
19.（本题共12分）已知指数函数（且）的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域.
20.（本题共12分）已知幂函数（）在上是增函数，函数（）为偶函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求当时，函数的解析式.
21.（本题共12分）已知，是关于的一元二次方程的两根.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
22.（本题共12分）已知且满足不等式.
（1）求实数的取值范围，并解不等式.
（2）若函数在区间有最小值为，求实数的值.
2023—2024学年第一学期12月月考试卷
高一数学参考答案
内容与范围：必修一第一至五章
一、单选题（每小题5分，共40分）
1-8ABBDACAD
1. A
【分析】根据已知条件中所给的两个集合，结合集合的交集运算求解即可.
【详解】因为，，所以.
故选：A.
2. B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可得：命题“，”的否定是“，”.
故选：B.
3. B
【分析】利用同角三角函数基本关系计算.
【详解】由，，可知，
则.
故选：B.
4. D
【分析】根据分段函数解析式求解.
【详解】由解析式可知，
所以，故选：D
5. A
【分析】根据对数型复合函数的单调性求解.
【详解】令，解得或，
则的定义域为，
令，在上单调递减，
又在上单调递减，所以在上单调递增，
在上单调递增，所以在上单调递减，故选：A.
6. C
【分析】利用换底公式得到，利用函数的单调性，得到，
利用的单调性得到，即可得出结果.
【详解】因为，，，
又函数在定义域上单调递增，，所以，
又易知，，，所以，，故选：C.
7. A
【分析】由题意可得在上单调递增，在上单调递减，，，
当或时，；当时，，由条件列出不等式组，求解即可.
【详解】定义在上的偶函数在上单调递增，且，
在上单调递减，且，
当或时，；当时，，
，或，
或，
或，即，
则不等式的解集是.
故选：A.
8. D
【分析】根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，
结合图象，即可得到结果.
【详解】设，则，即，故，，
因为，故，，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，
故原方程共有6个根.
故选：D.
二、多选题（每小题5分，共20分.全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）
9. BC 10. ABD 11. AC 12. BCD
9. BC
【分析】举例即可判断A：利用不等式的性质即可判断B；利用基本不等式即可判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所有，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当，即，时取等号，
又，都是正数，故取不到等号，
所以，故D错误.
故选：BC.
10. ABD
11. AC
【分析】利用对数函数的图象与性质一一判定即可.
【详解】在同一坐标系中作出函数，，的图象，
从图中可以看出，当，，均在区间时，有，
当，，均在区间时，有，故A正确，B错误；
由于，所以有，
作出函数，，的图象，类似地可以得出C正确，D不正确.
故选：AC.
12. BCD
【分析】根据奇偶性求出，即可判断ABC；利用基本不等式可判断D.
【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以，，
因为①，所以，即②，
所以由①②解得，，故B正确；
，故A错误；
在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，故C正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以的值域为，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13.
【分析】利用指数幕的运算性质化简求解即可.
【详解】.
故答案为：
14.
15.
【分析】依题意可得不等式对于恒成立，
令可得不等式对于恒成立，参变分离可得对于恒成立，
再根据二次函数的性质求出的最大值，即可求出参数的取值范围.
【详解】不等式对于恒成立，
即不等式对于恒成立，
令，则，所以不等式对于恒成立，
所以对于恒成立，
令，则，函数在上单调递减，
所以，即，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：
16.
【分析】求出，的最大值，通过两者的大小关系可得答案.
【详解】当时，.当时，.
若存在，使对任意的，有成立，
等价于，可得，所以.
故答案为：
四、解答题（共70分）
17.（1），
（2）
【分析】（1）根据交集，并集，补集的概念进行求解；
（2）根据题目条件得到是的真子集，分与两种情况，得到不等式，求出答案.
【详解】（1）时，，故，
，
故；
（2）由题意得是的真子集，
若，则，解得，
若，则或，
解得，故的取值范围是.
18.（本题共12分）
（1），；（2）答案见解析
【分析】（1）将不等式的解集转化为方程的两个根，结合韦达定理求出，的值；
（2）在（1）的前提下，对不等式变形为，对分类讨论，求解不等式的解集.
【详解】（1）易知，
由题意得，3是关于的方程的两个不相等的实数根，
所以，解得：，
所以，.
（2）由（1）得，
当时，不等式无解；
当时，解得：；
当时，解得：.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19.（本题共12分）
（1）；（2）
【分析】（1）将代入即可求解，
（2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，
则，解得，因此，.
（2），令，因为，则，
令，
当时，函数单调递减，此时，，
当时，函数单调递增，此时，，
故当时，，
又因为，，故，
所以，函数在上的值域为.
20.（本题共12分）
（1）；（2）
【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；（2）利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】（1）因为是窝函数，
所以，解得或，
又在上是增函数，则，即，
所以，则.
（2）因为，所以当时，分
当时，，则.
又因为是上的偶函数，所以，
即当时，.
21.（本题共12分）
（1）；（2）
【分析】（1）利用韦达定理以及同角三角函数的平方关系求解即可；
（2）根据已知条件判断出，所以利用即可求解.
【详解】（1）由已知得①，②，
将①两边同时平方得，
则，所以；
②，，，
，，，
.
22.（本题共12分）
（1），解集为.（2）
【分析】（1）根据指数函数的性质解不等式求得，再根据对数函数的性质解不等式；
（2）利用对数函数的单调性与最值的关系求参数的值.
【详解】（1）由且满足不等式可得，
，解得，
由可得，
，解得，
所以原不等式的解集为.
（2）因为，所以函数在定义域单调递减，
所以函数在区间有最小值为，
解得.