解析版：四川省大竹县文星中学2015届高三下期4月月考数学(理科)试卷

四川省大竹县文星中2015届高三下期4月月考
数学（理）试卷
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1. 复数z1、z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[－，1]
C．[－，7] D. [，1]
[答案]　C
[解析]　∵z1＝z2，∴m＋(4－m2)i＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i，
∴∴λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－)2－，当sinθ＝时，λ取最小值－，当sinθ＝－1时，λ取最大值7，故选C.
2.设实数x、y满足条件则y－4x的最大值是(　　)
A．－4 B．－
C．4 D．7
[答案]　C
[解析]　作出可行域如图，令y－4x＝z，则当直线y＝4x＋z经过点A(－1,0)时，zmax＝4.
3．函数的图象
A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
【答案】D
【解析】本题考查的知识点是函数的奇偶性，，是偶函数，所以图像关于关于y轴对称
所以答案是D。
4．设a,b,c均为正数,且2a=loa,()b=lob,()c=log2c,则
A.a【答案】A
【解析】依题意,a>0,b>0,c>0,故2a>1,0<()b<1,0<()c<1,所以lo a>1,05. 函数f(x)＝ 的定义域为(　　)
A．(0，) B．(2，＋∞)
C．(0，)∪(2，＋∞) D．(0，]∪[2，＋∞)
[答案]　C
[解析]　(log2x)2－1>0，(log2x)2>1，
∴log2x<－1或log2x>1，
∴02.
6. 函数y＝2x－4sinx，x∈[－，]的图象大致是(　　)
[答案]　D
[解析]　因为y＝2x－4sinx是奇函数，可排除A、B两项；令y′＝2－4cosx＝0，故当x＝±时函数取得极值，故选D项．
7. 已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan2α的值为(　　)
A.　　 　 B.　　 　
C.　　 　 D.
[答案]　C
[解析]　∵tanα＝，∴tan2α＝＝.
8. 已知f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a、b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，且f()＞0，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
B．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ，kπ＋](k∈Z)
D．[kπ－，kπ](k∈Z)
[答案]　B
[解析]　用淘汰法求解．由条件f(x)≤|f()|知x＝时f(x)取得最大值或最小值，故kπ＋为单调区间的一个端点，排除C、D，又当单调区间为A时，应有f()<0，排除A，∴选B.
9. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1), a1a2a3＝27，则a6＝(　　)
A．27　 　 B．81　　 　
C. 243　　 D．729
[答案]　C
[解析]　∵a1a2a3＝a＝27，∴a2＝3，∵S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴S2＝4a1，∴a1＋a2＝4a1，∴a2＝3a1＝3，∴a1＝1，∴q＝＝3，∴a6＝a1q5＝35＝243.
10. 如图，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，M、N分别为VA、VC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．MN∥AB
B．MN与BC所成的角为45°
C．OC⊥平面VAC
D．平面VAC⊥平面VBC
[答案]　D
[解析]　依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行；注意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC?平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC.综上所述可知选D.
11. 如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；类似地有命题：在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD.上述命题是(　　)
A．真命题
B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题
C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题
D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”才是真命题
[答案]　A
[解析]　因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2＝ME·DE，又A点在平面BCD内的射影为M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，将S△ABC、S△BCM、S△BCD分别表示出来，可得S＝S△BCM·S△BCD，故选A.
12. 设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)＝2008，且对任意x∈R，满足f(x＋2)－f(x)≤3·2x，f(x＋6)－f(x)≥63·2x，则f(2008)＝(　　)
A．22006＋2007 B．22008＋2006
C．22008＋2007 D．22006＋2008
[答案]　C
[解析]　由题意f(2008)≤f(2006)＋322006≤f(2004)＋322006＋322004≤…≤f(0)＋3(22006＋22004＋…＋22＋20)＝2008＋3＝2007＋22008①
f(2008)≥f(2002)＋6322002≥f(1996)＋6321996≥…≥f(4)＋63(22002＋21996＋…＋24)
＝f(4)＋63＝f(4)＋22008－24②
又由条件f(x＋2)－f(x)≤3·2x，f(x＋6)－f(x)≥63·2x，
可得f(x＋6)－f(x＋2)≥60·2x＝15·2x＋2
即f(x＋4)－f(x)≥15·2x
再由f(x＋2)－f(x)≤3·2x得f(x＋4)－f(x＋2)≤3·2x＋2
两式相加得f(x＋4)－f(x)≤15·2x，
∴f(x＋4)－f(x)＝15·2x
∴f(4)－f(0)＝15，∴f(4)＝f(0)＋15＝2023，代入②解得f(2008)≥2007＋22008③
由①③得f(2008)＝2007＋22008.
第II卷（非选择题）
二、填空题：
13．在区间[0,1]上任取两个实数a、b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为________．
[答案]　
[解析]　∵a∈[0,1]，∴f′(x)＝1.5x2＋a≥0，
∴f(x)是增函数．若在[－1,1]有且仅有一个零点，
则f(－1)·f(1)≤0，
∴(－0.5－a－b)(0.5＋a－b)≤0，
即(0.5＋a＋b)(0.5＋a－b)≥0；
如图，点P(a，b)所在平面区域为正方形OABC，f(x)在[－1,1]上有且仅有一个零点?点P落在阴影区域，阴影部分的面积S＝11－＝，
∴所求概率P＝.
14. 当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：
1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝，
两边同时积分得：∫01dx＋∫0xdx＋∫0x2dx＋…＋∫0xndx＋…＝∫0dx，
从而得到如下等式：
1＋()2＋()3＋…＋()n＋1＋…＝ln2，
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C＋C()2＋C()3＋…＋C()n＋1＝________.
[答案]　[()n＋1－1]
[解析]　令f(x)＝Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cxn＋1，
则f′(x)＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n，
由Cx0＋Cx＋…＋Cxn＝(1＋x)n两边积分得，
∫0Cx0dx＋∫0Cxdx＋…＋∫0Cxndx＝∫0(1＋x)ndx，
即C＋C()2＋C()3＋…＋C()n＋1＝(1＋x)n＋1|0＝[()n＋1－1]．
15. 设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－1，)
[解析]　f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－1，即<－1，解得－116. 给出下列命题：
①已知线性回归方程＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
②在进制计算中，100(2)＝11(3)；
③若ξ～N(3，σ2)，且P(0≤ξ≤3)＝0.4，则P(ξ<6)＝0.1；
④“a＝dx”是“函数y＝cos2(ax)－sin2(ax)的最小正周期为4”的充要条件；
⑤设函数f(x)＝＋2014sinx(x∈[－，])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝4027，其中正确命题的个数是________个．
[答案]　4
[解析]　①显然正确；100(2)＝122＋021＋020＝4,11(3)＝131＋130＝4，∴②正确；∵ξ6)＝(1－2P(0≤ξ≤3))＝0.1，∴③错误；由数形结合法，依据定积分的几何意义得a＝dx＝，y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax＝cos，最小正周期T＝＝4，∴④正确．
设a＝2014，则f(x)＝＋asinx
＝a＋asinx－，
易知f(x)在[－，]上单调递增，
∴M＋N＝f()＋f(－)＝2a－－＝2a－－＝2a－1＝4027，
∴⑤正确．
三、解答题
17.在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
[解析]　(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以＝，故cosA＝.
(2)由(1)知cosA＝，
所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝，
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
所以c＝＝5.
18. 已知曲线C：xy＝1，过C上一点An(xn，yn)作一斜率为kn＝－的直线交曲线C于另一点An＋1(xn＋1，yn＋1)，点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1＝.
(1)求xn与xn＋1的关系式；
(2)令bn＝＋，求证：数列{bn}是等比数列；
(3)若cn＝3n－λbn(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．
[分析]　(1)由直线方程点斜式建立xn与yn关系，而(xn，yn)在曲线xy＝1上，有xnyn＝1，消去yn得xn与xn＋1的关系；(2)由定义证为常数；(3)转化为恒成立的问题解决．
[解析]　(1)过点An(xn，yn)的直线方程为y－yn＝－(x－xn)，
联立方程，消去y得
x2－x＋1＝0.
解得x＝xn或x＝.
由题设条件知xn＋1＝.
(2)证明：＝
＝＝＝＝－2.
∵b1＝＋＝－2≠0，∴数列{bn}是等比数列．
(3)由(2)知，bn＝(－2)n，要使cn＋1>cn恒成立，由cn＋1－cn＝[3n＋1－λ(－2)n＋1]－[3n－λ(－2)n]＝2·3n＋3λ(－2)n>0恒成立，
即(－1)nλ>－n－1恒成立．
①当n为奇数时，即λ<n－1恒成立．
又n－1的最小值为1，∴λ<1.
②当n为偶数时，即λ>－n－1恒成立，
又－n－1的最大值为－，∴λ>－，
即－<λ<1.又λ为非零整数，
∴λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn.
19.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，点N为B1C1的中点，点P在棱A1C1上运动．
(1)试问点P在何处时，AB∥平面PNC，并证明你的结论；
(2)在(1)的条件下，若AA1[解析]　(1)当点P为A1C1的中点时，AB∥平面PNC.
∵P为A1C1的中点，N为B1C1的中点，∴PN∥A1B1∥AB
∵AB?平面PNC，PN?平面PNC，∴AB∥平面PNC.
(2)设AA1＝m，则m<2，∵AB、BC、BB，两两垂直，
∴以B为原点，BA、BC，BB1为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0，m)，A1(2,0，m)，C1(0,2，m)，
∴P(1,1，m)，设平面BCP的法向量n＝(x，y，z)，
则由n·＝0，n·＝0，解得y＝0，x＝－mz，
令z＝0，则n＝(－m,0，－1)，又＝(0,2，－m)，
直线B1C与平面BCP所成角正弦值为，
∴＝，解之得m＝1
∴n＝(－1,0,1)
易求得平面ABP的法向量n1＝(0，－1,1)
cosα＝＝，设二面角的平面角为θ，则cosθ＝－，∴θ＝120°.
20.已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的.
(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；
(2)求展开式中的有理项．
[解析]　根据题意，设该项为第r＋1项，则
有即
亦即
解得
(1)令r＝1得展开式中所有项的系数之和为(1＋2)7＝37＝2187.
所有项的二项式系数之和为27＝128.
(2)展开式的通项为Tr＋1＝C2rx，r≤7且r∈N.
于是当r＝0,2,4,6时，对应项为有理数，
即有理数项为T1＝C20x0＝1，T3＝C22x＝84x，
T5＝C24x2＝560x2，T7＝C26x3＝488x3.
21.已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点，且·＝0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解析]　(1)A(0,1)，F(，0)，
直线AF：＋y＝1，
即x＋y－＝0，
∵AF与⊙M相切，圆心M(3,1)，半径r＝，
∴＝，∴a＝，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由·＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1，
将y＝kx＋1代入椭圆C的方程，
整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，
解得x＝0或x＝，
故点P的坐标为(，)．
同理，点Q的坐标为(，)．
所以直线l的斜率为＝.
则直线l的方程为y＝(x－)＋，
即y＝x－.
所以直线l过定点(0，－)．
22.已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a、b满足a·b≠0.
(1)若a·b>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若a·b<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
[解析]　(1)设x1由x10，
当a>0，b>0时，f(x1)－f(x2)<0，f(x)为增函数；
当a<0，b<0时，f(x1)－f(x2)>0，f(x)为减函数．
(2)由f(x＋1)>f(x)得，a·2x＋1＋b·3x＋1>a·2x＋b·3x，即a·2x>－2b·3x，
因为a·b<0，所以a、b异号．
当a>0，b<0时，－>()x，得x< (－)；
当a<0，b>0时，－<()x，得x> (－)．