解析版：四川省大竹县文星中学2015届高三下期4月月考数学（文科）试卷

四川省大竹县文星中2015届高三下期4月月考
数学（文）试卷
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1. 复数z1、z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[－，1]
C．[－，7] D. [，1]
[答案]　C
[解析]　∵z1＝z2，∴m＋(4－m2)i＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i，
∴∴λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－)2－，当sinθ＝时，λ取最小值－，当sinθ＝－1时，λ取最大值7，故选C.
2.设实数x、y满足条件则y－4x的最大值是(　　)
A．－4 B．－
C．4 D．7
[答案]　C
[解析]　作出可行域如图，令y－4x＝z，则当直线y＝4x＋z经过点A(－1,0)时，zmax＝4.
3．函数的图象
A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
【答案】D
【解析】本题考查的知识点是函数的奇偶性，，是偶函数，所以图像关于关于y轴对称
所以答案是D。
4．设a,b,c均为正数,且2a=loa,()b=lob,()c=log2c,则
A.a【答案】A
【解析】依题意,a>0,b>0,c>0,故2a>1,0<()b<1,0<()c<1,所以lo a>1,05. 函数f(x)＝ 的定义域为(　　)
A．(0，) B．(2，＋∞)
C．(0，)∪(2，＋∞) D．(0，]∪[2，＋∞)
[答案]　C
[解析]　(log2x)2－1>0，(log2x)2>1，
∴log2x<－1或log2x>1，
∴02.
6. 函数y＝2x－4sinx，x∈[－，]的图象大致是(　　)
[答案]　D
[解析]　因为y＝2x－4sinx是奇函数，可排除A、B两项；令y′＝2－4cosx＝0，故当x＝±时函数取得极值，故选D项．
7. 已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan2α的值为(　　)
A.　　 　 B.　　 　
C.　　 　 D.
[答案]　C
[解析]　∵tanα＝，∴tan2α＝＝.
8. 已知f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a、b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，且f()＞0，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
B．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ，kπ＋](k∈Z)
D．[kπ－，kπ](k∈Z)
[答案]　B
[解析]　用淘汰法求解．由条件f(x)≤|f()|知x＝时f(x)取得最大值或最小值，故kπ＋为单调区间的一个端点，排除C、D，又当单调区间为A时，应有f()<0，排除A，∴选B.
9. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1), a1a2a3＝27，则a6＝(　　)
A．27　 　 B．81　　 　
C. 243　　 D．729
[答案]　C
[解析]　∵a1a2a3＝a＝27，∴a2＝3，∵S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴S2＝4a1，∴a1＋a2＝4a1，∴a2＝3a1＝3，∴a1＝1，∴q＝＝3，∴a6＝a1q5＝35＝243.
10. 如图，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，M、N分别为VA、VC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．MN∥AB
B．MN与BC所成的角为45°
C．OC⊥平面VAC
D．平面VAC⊥平面VBC
[答案]　D
[解析]　依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行；注意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC?平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC.综上所述可知选D.
11. 如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；类似地有命题：在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD.上述命题是(　　)
A．真命题
B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题
C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题
D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”才是真命题
[答案]　A
[解析]　因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2＝ME·DE，又A点在平面BCD内的射影为M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，将S△ABC、S△BCM、S△BCD分别表示出来，可得S＝S△BCM·S△BCD，故选A.
12. 设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)＝2008，且对任意x∈R，满足f(x＋2)－f(x)≤3·2x，f(x＋6)－f(x)≥63·2x，则f(2008)＝(　　)
A．22006＋2007 B．22008＋2006
C．22008＋2007 D．22006＋2008
[答案]　C
[解析]　由题意f(2008)≤f(2006)＋322006≤f(2004)＋322006＋322004≤…≤f(0)＋3(22006＋22004＋…＋22＋20)＝2008＋3＝2007＋22008①
f(2008)≥f(2002)＋6322002≥f(1996)＋6321996≥…≥f(4)＋63(22002＋21996＋…＋24)
＝f(4)＋63＝f(4)＋22008－24②
又由条件f(x＋2)－f(x)≤3·2x，f(x＋6)－f(x)≥63·2x，
可得f(x＋6)－f(x＋2)≥60·2x＝15·2x＋2
即f(x＋4)－f(x)≥15·2x
再由f(x＋2)－f(x)≤3·2x得f(x＋4)－f(x＋2)≤3·2x＋2
两式相加得f(x＋4)－f(x)≤15·2x，
∴f(x＋4)－f(x)＝15·2x
∴f(4)－f(0)＝15，∴f(4)＝f(0)＋15＝2023，代入②解得f(2008)≥2007＋22008③
由①③得f(2008)＝2007＋22008.
第II卷（非选择题）
二、填空题：
13．在区间[0,1]上任取两个实数a、b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为________．
[答案]　
[解析]　∵a∈[0,1]，∴f′(x)＝1.5x2＋a≥0，
∴f(x)是增函数．若在[－1,1]有且仅有一个零点，
则f(－1)·f(1)≤0，
∴(－0.5－a－b)(0.5＋a－b)≤0，
即(0.5＋a＋b)(0.5＋a－b)≥0；
如图，点P(a，b)所在平面区域为正方形OABC，f(x)在[－1,1]上有且仅有一个零点?点P落在阴影区域，阴影部分的面积S＝11－＝，
∴所求概率P＝.
14. 当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：
1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝，
两边同时积分得：∫01dx＋∫0xdx＋∫0x2dx＋…＋∫0xndx＋…＝∫0dx，
从而得到如下等式：
1＋()2＋()3＋…＋()n＋1＋…＝ln2，
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C＋C()2＋C()3＋…＋C()n＋1＝________.
[答案]　[()n＋1－1]
[解析]　令f(x)＝Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cxn＋1，
则f′(x)＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n，
由Cx0＋Cx＋…＋Cxn＝(1＋x)n两边积分得，
∫0Cx0dx＋∫0Cxdx＋…＋∫0Cxndx＝∫0(1＋x)ndx，
即C＋C()2＋C()3＋…＋C()n＋1＝(1＋x)n＋1|0＝[()n＋1－1]．
15. 设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－1，)
[解析]　f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－1，即<－1，解得－116. 给出下列命题：
①已知线性回归方程＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
②在进制计算中，100(2)＝11(3)；
③若ξ～N(3，σ2)，且P(0≤ξ≤3)＝0.4，则P(ξ<6)＝0.1；
④“a＝dx”是“函数y＝cos2(ax)－sin2(ax)的最小正周期为4”的充要条件；
⑤设函数f(x)＝＋2014sinx(x∈[－，])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝4027，其中正确命题的个数是________个．
[答案]　4
[解析]　①显然正确；100(2)＝122＋021＋020＝4,11(3)＝131＋130＝4，∴②正确；∵ξ6)＝(1－2P(0≤ξ≤3))＝0.1，∴③错误；由数形结合法，依据定积分的几何意义得a＝dx＝，y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax＝cos，最小正周期T＝＝4，∴④正确．
设a＝2014，则f(x)＝＋asinx
＝a＋asinx－，
易知f(x)在[－，]上单调递增，
∴M＋N＝f()＋f(－)＝2a－－＝2a－－＝2a－1＝4027，
∴⑤正确．
三、解答题
17. 在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．
[解析]　(1)由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.
因为A是锐角，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得
b2＋c2－bc＝36，即(b＋c)2－3bc＝36.
又b＋c＝8，所以
bc＝.
由三角形面积公式S＝bcsinA，得
△ABC的面积为.
18. 定义：若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数．
(1)证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an＋1)}为等比数列；
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn＝(2a1＋1)(2a2＋1)…(2an＋1)，求Tn关于n的表达式；
(3)记bn＝log2an＋1Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn>2012成立的n的最小值．
[解析]　(1)证明：由题意得an＋1＝2a＋2an，
∴2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2.
所以数列{2an＋1}是“平方递推数列”．
令cn＝2an＋1，所以lgcn＋1＝2lgcn.
因为lg(2a1＋1)＝lg5≠0，
所以＝2.
所以数列{lg(2an＋1)}为等比数列．
(2)由(1)知lg(2an＋1)＝(lg5)2n－1，
∴2an＋1＝10(lg5)2n－1＝52n－1，
∴Tn＝520521522…52n－1＝520＋21＋…＋2n－1＝52n－1.
(3)∵bn＝log2an＋1Tn＝＝2－()n－1，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n－
＝2n－2＋，
由2n－2＝2012得n＝1007，
∴S1006＝21006－2＋∈(2010,2011)，S1007＝21007－2＋∈(2012,2013)．
故使Sn>2012成立的n的最小值为1007.
19. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC1＝AC.
(1)求证：CN∥平面AMB1；
(2)求证：B1M⊥平面AMG.
[解析]　(1)如图取线段AB1的中点P，连接NP、MP，
∵CM綊BB1，
NP綊BB1，
∴CM綊NP，
∴四边形CNPM是平行四边形．
∴CN∥MP.
∵CN?平面AMB1，MP?平面AMB1，
∴CN∥平面AMB1.
(2)∵CC1⊥平面ABC，
∴平面CC1B1B⊥平面ABC，
∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，
∴B1M⊥AG.
∵CC1⊥平面ABC，
平面A1B1C1∥平面ABC，
∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1，
设AC＝2a，则CC1＝2a，
在Rt△MCA中，AM＝＝a.
在Rt△B1C1M中，B1M＝＝a.
∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，
∴AB1＝＝＝2a.
∵AM2＋B1M2＝AB，∴B1M⊥AM.
又∵AG∩AM＝A，∴B1M⊥平面AMG.
20.已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的.
(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；
(2)求展开式中的有理项．
[解析]　根据题意，设该项为第r＋1项，则
有即
亦即
解得
(1)令r＝1得展开式中所有项的系数之和为(1＋2)7＝37＝2187.
所有项的二项式系数之和为27＝128.
(2)展开式的通项为Tr＋1＝C2rx，r≤7且r∈N.
于是当r＝0,2,4,6时，对应项为有理数，
即有理数项为T1＝C20x0＝1，T3＝C22x＝84x，
T5＝C24x2＝560x2，T7＝C26x3＝488x3.
21. 如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.
[解析]　(1)依题意，得b＝1.
∵e＝＝，a2－c2＝b2＝1，∴a2＝4.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，x0≠0，则Q(0，y0)，且＋y＝1.
∵M为线段PQ中点，∴M(，y0)．
又A(0,1)，∴直线AM的方程为y＝x＋1.
∵x0≠0，∴y0≠1，令y＝－1，得C(，－1)．
又B(0，－1)，N为线段BC的中点，
∴N(，－1)．
∴＝(－，y0＋1)．
∴·＝(－)＋y0·(y0＋1)
＝－＋y＋y0
＝(＋y)－＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0，
∴OM⊥MN.
22.已知函数f(x)＝＋alnx(a≠0，a∈R)．
(1)若a＝1，求实数f(x)的极值和单调区间；
(2)若a<0且在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1-5 CCDAC 6-10 DCBCD 11-12 AC
13. 　
14.　[()n＋1－1]
15. (－1，)
16.4
17. (1) A＝.
(2)△ABC的面积为.
18. (1)证明：由题意得an＋1＝2a＋2an，
∴2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2.
所以数列{2an＋1}是“平方递推数列”．
令cn＝2an＋1，所以lgcn＋1＝2lgcn.
因为lg(2a1＋1)＝lg5≠0，
所以＝2.
所以数列{lg(2an＋1)}为等比数列．
(2)Tn＝520521522…52n－1＝520＋21＋…＋2n－1＝52n－1.
(3)使Sn>2012成立的n的最小值为1007.
19. [证明]　(1)如图取线段AB1的中点P，连接NP、MP，
∵CM=BB1，
NP=BB1，
∴CM=NP，
∴四边形CNPM是平行四边形．
∴CN∥MP.
∵CN?平面AMB1，MP?平面AMB1，
∴CN∥平面AMB1.
(2)∵CC1⊥平面ABC，
∴平面CC1B1B⊥平面ABC，
∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，
∴B1M⊥AG.
∵CC1⊥平面ABC，
平面A1B1C1∥平面ABC，
∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1，
设AC＝2a，则CC1＝2a，
在Rt△MCA中，AM＝＝a.
在Rt△B1C1M中，B1M＝＝a.
∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，
∴AB1＝＝＝2a.
∵AM2＋B1M2＝AB，∴B1M⊥AM.
又∵AG∩AM＝A，∴B1M⊥平面AMG.
20. (1)令r＝1得展开式中所有项的系数之和为(1＋2)7＝37＝2187.
所有项的二项式系数之和为27＝128.
(2)展开式的通项为Tr＋1＝C2rx，r≤7且r∈N.
于是当r＝0,2,4,6时，对应项为有理数，
即有理数项为T1＝C20x0＝1，T3＝C22x＝84x，
T5＝C24x2＝560x2，T7＝C26x3＝488x3.
21．(1)依题意，得b＝1.
∵e＝＝，a2－c2＝b2＝1，∴a2＝4.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，x0≠0，则Q(0，y0)，且＋y＝1.
∵M为线段PQ中点，∴M(，y0)．
又A(0,1)，∴直线AM的方程为y＝x＋1.
∵x0≠0，∴y0≠1，令y＝－1，得C(，－1)．
又B(0，－1)，N为线段BC的中点，
∴N(，－1)．
∴＝(－，y0＋1)．
∴·＝(－)＋y0·(y0＋1)
＝－＋y＋y0
＝(＋y)－＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0，
∴OM⊥MN.
22. (1)当a>0，b>0时，f(x1)－f(x2)<0，f(x)为增函数；
当a<0，b<0时，f(x1)－f(x2)>0，f(x)为减函数．
(2)当a>0，b<0时，－>()x，得x< (－)；
当a<0，b>0时，－<()x，得x> (－)．
[解析]　(1)因为f ′(x)＝－＋＝，
当a＝1时，f ′(x)＝，令f ′(x)＝0，
得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以x＝1时，f(x)的极小值为1.
f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
(2)因为f ′(x)＝－＋＝，且a≠0，令f ′(x)＝0，得x＝，若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，其充要条件是f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0.
因为a<0，所以x＝<0，f ′(x)<0对x∈(0，＋∞)成立，
所以f(x)在区间(0，e]上单调递减，
故f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋alne＝＋a，
由＋a<0，得a<－，即a∈(－∞，－)．