第3章 一元一次方程 单元练习（含解析） 2023－2024学年上学期人教版数学七年级上册（山东地区适用）
文档属性
| 名称 | 第3章 一元一次方程 单元练习（含解析） 2023－2024学年上学期人教版数学七年级上册（山东地区适用） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 822.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-16 14:17:41 | ||
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文档简介
第3章 一元一次方程 单元练习
一、单选题
1．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）下列方程中为一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）下列各式运用等式性质变形，正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）已知方程的解是，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山东临沂·七年级统考期末）下列解方程变形正确的是（ ）
A．方程，移项，得
B．方程，去分母，得
C．方程，系数化为1，得
D．方程，去括号，得
5．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）整式的值随取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（ ）.
0 1 2
4 0
A． B． C． D．
6．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）若关于的一元一次方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）如图是2023年3月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数（如2、8、9、10、16）． 若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为（ ）
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．41 B．42 C．81 D．120
8．（2023上·山东临沂·七年级统考期末）已知点A在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，A、之间的距离记作，定义：．下列结论：①线段的长；②设点在数轴上对应的数为，当时，；③若点在A的左侧，；④若点在线段上，则的值不变．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①④
9．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）中国男篮职业联赛的积分办法是胜一场积2分，负一场积1分．某支球队参加了12场比赛，总积分是所胜场数的4倍，则该球队共胜（ ）
A．1场 B．2场 C．4场 D．6场
10．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）某市出租车的收费标准是：起步价14元，超过时每千米加收2.4元（不足按计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费26元，设此人从甲地到乙地经过的路程是．那么的最大值是（ ）
A．8 B．7 C．5 D．11
二、多选题
11．（2023上·山东潍坊·七年级统考期末）学校有位师生乘坐辆客车外出参观．若每辆车坐45人，则还有28人没上车；若每辆车坐50人，则空出一辆客车，并且有一辆车还可以坐12人，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2023上·山东枣庄·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ．
13．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）若关于x的方程的解与方程的解相同，则 ．
14．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）如果与是同类项，则 ．
15．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）对于有理数a，b，定义运算“★”；，例如：．所以，若，则x的值为 ．
16．（2023上·山东聊城·七年级统考期末）据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的矩阵．如图所示的幻方是由的方格构成，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，则a的值为 ．
17．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）某项工程甲单独做12天完成，乙单独做16天完成．若甲先做5天，然后甲、乙合作完成此项工程，问还需多少天可以完成该工程？如果设还需x天可以完成该工程，则可列方程为 ．
四、计算题
18．（2023上·山东日照·七年级校考期末）（1）解方程．
（2）先化简，再求值：，其中，
19．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
魔术师能立刻说出观众想的那个数．
(1)如果小玲想的数是，请你通过计算帮助她告诉魔术师的结果；
(2)如果小明想了一个数计算后告诉魔术师结果为2023，魔术师立刻说出小明想的那个数，你知道小明说的那个数是多少吗？
五、问答题
20．（2023上·山东德州·七年级统考期末）已知是关于x的一元一次方程．
(1)求a的值，并解出上述一元一次方程；
(2)若上述方程的解是方程解的2倍，求k的值．
21．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为，例如数对，，都是“有趣数对”，请回答下列问题：
(1)数对是“有趣数对”吗？试说明理由．
(2)若是“有趣数对”，求a的值．
(3)若是“有趣数对”，求的值．
22．（2023上·山东聊城·七年级统考期末）解方程
(1)；
(2)．
23．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）阅读与理解：已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为：，记为．例如：若，则的导出多项式．
根据以上信息，回答问题：
(1)若，则它的导出多项式________；
(2)设是的导出多项式．
①若，求关于的方程的解；
②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值．
24．（2023上·山东枣庄·七年级统考期末）老师在黑板上出了一道解方程的题：，小明同学的解法如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
合并同类项，得③
解得④
∴原方程的解为⑤
(1)从第______步出现错误（填序号），错误原因是______；
(2)请写出解方程的正确求解过程．
25．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹出票款7160元，且每张成人票8元，学生票5元．
(1)问成人票与学生票各售出多少张？
(2)若票价不变，仍售出1000张票，所得的票款可能是7290元吗？为什么？
26．（2023上·山东潍坊·七年级统考期末）如图是于阿姨刚接收的新房的地面平面结构图（图中长度单位：）．其中每间房屋地面都是长方形，她准备在客厅和卧室地面全部铺设复合地板、厨房和卫生间地面全部铺设瓷砖，铺完全部地面，有两个施工计费方案供她选择，根据图中数据解决以下问题：
方案一：每平方米瓷砖的铺设费用为25元．每平方米复合地板的铺设费用为30元；
方案二：铺完全部地面，一口价1500元．
(1)求该房屋地面的总面积（用含的式子表示）；
(2)当为何值时，两种方案所花费用一样？
(3)若，于阿姨选择哪个方案更省钱呢？
27．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）如图，已知A，为数轴上的两个点，点A表示的数是，
点表示的数是30．
(1)直接写出线段的中点对应的数；
(2)若点在数轴上，且，直接写出点对应的数；
(3)若李明从点A出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时王聪从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点处相遇，求点对应的数；
(4)若李明从点A出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时王聪从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求李明所在位置点对应的数．
28．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．我县某中学初中部为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处种植园，需要采购一批某种菜苗开展种植活动，已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是6元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同．
甲菜苗基地：若购买不超过15捆，则按标价付款；若一次购15捆以上，则超过15捆的部分按标价的60%付款；
乙菜苗基地：按标价的80%付款．
(1)若学校决定购买该种菜苗20捆，则在甲菜苗基地购买，需付款________元，在乙菜苗基地购买，需付款________元；
(2)若学校决定购买该种菜苗捆（），请用含的式子分别表示在甲、乙两个菜苗基地购买该种菜苗的费用；
(3)学校决定购买该种菜苗多少捆时，到甲、乙两菜苗基地用的钱一样多？说明理由．
29．（2023上·山东济南·七年级统考期末）数轴上点A表示，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度，动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动，设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，点M表示的数为______，N表示的数为______，此时点M，N在折线数轴上的和谐距离为______；
(2)当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
(3)当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据一元一次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
C、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．
2．B
【分析】根据等式的基本性质逐项进行判断即可求解．
【详解】解：A．由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
B．由，得，原变形正确，故此选项符合题意；
C．由，得，必须规定，原变形错误，故此选项不符合题意；
D．由，得，必须规定，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．C
【分析】把代入求出a的值，再把a的值代入求解即可．
【详解】解：把代入，得
，
∴，
把代入，得
，
∴
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
4．D
【分析】根据解一元一次方程的基本步骤和等式的性质进行分析判断即可．
【详解】解：A、方程，移项，得，故此选项不符合题意；
B、方程，去分母得，故此选项不符合题意；
C、方程，系数化为1，得，故此选项不符合题意；
D、方程，去括号，得，正确，故此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解等式的性质，掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1）是解题关键．
5．A
【分析】由即，解得，根据表格中数据即可求解．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴关于的方程的解为，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，将整式作为整体看成未知数是解题的关键．
6．B
【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的方法解关于的方程，再根据解为负整数，即可求解．
【详解】解：
去分母，
移项，
合并同类项，
系数化为，，且，即，
∵解是负整数，
∴，且为整数，
∴，与是倍数关系，且为整数，
∴当时，，符号条件；
当时，，符号条件；
当时，，符号条件；
当时，，不符号条件；
当时，，不符号条件；
当时，，符号条件；
当时，，符号条件；
∴整数的值为，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查方程的解求参数，掌握解一元一次方程的方法，检验参数的值是否符号题意是解题的关键．
7．D
【分析】设阴影十字框中间的数为x，得到其余个数的代数式，把这个数相加，可得和为，再逐一分析各选项中的数即可.
【详解】设阴影十字框中间的数为x，x为正整数，则十字框中的五个数的和：
,
不符合题意；
不符合题意；
不符合题意；
、,符合题意;
故选: .
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据所给数据得到阴影十字框中的五个数字之和是的倍数.
8．B
【分析】①根据非负数的和为0，各项都为0确定，即可判断；②应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；③④利用②中的位置关系求解即可．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，即线段的长度为3．
故①正确；
②如图，分三种情况：
当P在点A左侧时，
．
当P在点B右侧时，
．
∴上述两种情况的点P不存在．
当P在A、B之间时，，
∵，
∴由，得．
∴解得：；
∴当时，，
故②正确；
③由②得当P在点A左侧时，
，故③错误；
④当P在A、B之间时，，
，
∴的值不变，故④正确；
综合上述，①②④说法正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
9．C
【分析】设该球队胜了x场，则负了场，根据总积分是所胜场数的4倍列出方程求解即可．
【详解】解：设该球队胜了x场，则负了场，
由题意得，，
解得，
∴该球队共胜4场，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
10．A
【分析】由于车费26元大于起步价，则超过的路程为，据此列方程求解．
【详解】由题意得，
解得，
故选A
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，能够根据题意正确列出方程是解题的关键．
11．AD
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．
【详解】解：根据总人数列方程，应是，故A选项正确，C选项错误；
根据客车数列方程，应该为：，故D选项正确，B选项错误；
故选：AD．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程．
12．
【分析】根据已知条件得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：关于的一元一次方程 的解为
关于的一元一次方程 中
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的关系是关键．
13．2
【分析】先解方程，求出方程的解为，再把代入方程中求出m的值即可．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于x的方程的解与方程的解相同，
∴关于x的方程的解为，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，正确求出方程的解是解题的关键．
14．
【分析】根据同类项的定义，可得，即可求解．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项是解题的关键．
15．3
【分析】根据把所给方程转华为一元一次方程求解即可．
【详解】∵，
∴可化为，
解得．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了新定义，以及一元一次方程的解法，理解新定义的含义是解答本题的关键．
16．1
【分析】根据第二列、对角线上的数之和各自相等，列出方程即可求解．
【详解】解：由题意可知，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据表格列出方程是解题的关键．
17．
【分析】设还需x天可以完成该工程，根据“甲单独做12天完成，乙单独做16天完成．若甲先做5天，然后甲、乙合作完成此项工程，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设还需x天可以完成该工程，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
18．（1）；（2），．
【分析】（1）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，按步骤计算即可；
（2）先去括号，再合并同类项，代入求值即可得到答案．
【详解】（1）解：，
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得， ；
（2）解：
，
；
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了一元一次方程解法、整式加减的化简求值，解题的关键是掌握去分母、去括号、合并同类项的法则，去括号时要注意符号的选取．
19．(1)
(2)226
【分析】（1）根据操作步骤，代入数值计算即可；
（2）设这个数为x，根据运算步骤得出一元一次方程，解方程即可求出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：设这个数为x，由题意得
，
解得．
∴小明想的那个数是226．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，以及一元一次方程的应用，正确理解题中运算步骤是解题的关键．
20．(1)a的值是1；方程的解是
(2)k的值是3
【分析】（1）根据一元一次方程的定义和解一元一次方程的一般步骤准确计算即可；
（2）根据解析（1）得出的方程解，得出方程解为，然后代入求出k的值即可．
【详解】（1）解：由题意得:，
∴，
∴，
将代入方程得：，
解得：
答：a的值是1，方程的解是．
（2）解：由题意得：，
将代入方程得：，
解得：
答：k的值是3．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，方程解的定义，一元一次方程的定义，解题的关键熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算．
21．(1)数对不是“有趣数对”，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据“有趣数对”的定义即可得到结论；
（2）根据“有趣数对”的定义列方程即可得到结论；
（3）根据“有趣数对”的定义列等式，得出，代入代数式即可得到结论．
【详解】（1）解：不是，理由如下，
∵，，，
∴数对不是“有趣数对”，
（2）解：∵是“有趣数对”，
∴
解得：；
（3）解：∵是“有趣数对”
∴，
即，
∴
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，求代数式的值，能够看懂定义并会运用定义解决问题是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：，
移项合并得，，
系数化为1得，；
（2）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，．
【点睛】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于正确的运算．
23．(1)
(2)①；②2
【分析】（1）根据导出多项式的定义求解即可；
（2）①根据导出多项式的定义可得，再解方程即可；②根据导出多项式的定义可得，然后根据的解为整数，求解正整数即可．
【详解】（1）若，则它的导出多项式；
故答案为：．
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵有整数解，
∴，
∴为整数，
∵为正整数，
∴的值为或4，即的值为2或3．
又因为是关于的二次多项式，
所以，m的值是2．
【点睛】本题以新定义：导出多项式为载体，主要考查了一元一次方程的求解，正确理解新定义、熟练掌握一元一次方程的解法是关键．
24．(1)②，去括号时第二项没变号
(2)过程见解析
【分析】（1）去括号时，括号前是负数，第二项应该变号；
（2）正确解方程即可．
【详解】（1）解：从第②步出现错误，错误原因是：去括号时第二项没变号；
故答案为：②，去括号时第二项没变号；
（2）方程两边同乘6，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
解得，
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，正确去分母和去括号是本题解题的关键．
25．(1)成人720张，学生280张
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设成人票x张，则学生票张，根据题意列出方程进行求解，得出答案；
（2）设成人票y张，则学生票张，然后根据题意列出方程求出y的值，看y是否为整数，如果是整数则符合条件，如果不是整数则不符合条件．
【详解】（1）解：设售出的成人票为x张，
根据题意得：
解得：
则张
答：成人720张，学生280张．
（2）当售出1000张票，所得的票款是7290元时，设售出的成人票为y张，
根据题意得：，
解得：，
∵y不是整数
∴所得的票款不可能是7290元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程式是解题的关键．
26．(1)平方米
(2)
(3)方案一
【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可求解；
（2）根据两种方案一样省钱列出方程计算可求的值；
（3）把代入计算可求应该选择哪个方案更省钱．
【详解】（1）解：该房屋地面总面积为平方米．
故房屋地面总面积为平方米；
（2）解：依题意有，
解得，
故当为时两种方案一样省钱；
（3）解：若时，
，
．
若，于阿姨应该选择方案一更省钱．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值，结合图形根据矩形的面积等于长乘以宽列出算式是关键．
27．(1)
(2)或80
(3)
(4)或
【分析】（1）直接根据数轴上线段中点位置计算即可；
（2）分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，根据数轴上两点之间的距离求解即可；
（3）设相遇时间为，根据题意列出方程求解即可；
（4）分两种情况：①追及前相距20，②追及后相距20，根据题意，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：线段的中点对应的数为，
答：线段的中点对应的数为；
（2）当点在点的左侧时，点所对应的数为：，
当点在点的右侧时，点所对应的数为：，
答：点对应的数为或80；
（3）设相遇时间为，由题意得，
，
解得，
点对应的数为；
（4）①追及前相距20，设行驶的时间为，由题意得，
，
解得，
此时李明所在位置点对应的数为；
②追及后相距20，设行驶的时间为，由题意得，
，
解得，
此时李明所在位置点对应的数为；
答：李明所在位置点对应的数为或．
【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及一元一次方程的应用，理解题意，进行分情况讨论分析是解题关键．
28．(1)，
(2)甲：元；乙：元
(3)
【分析】（1）根据甲菜苗基地和乙菜苗基地的优惠方式分别列式计算即可．
（2）根据甲菜苗基地和乙菜苗基地的优惠方式分别列式即可．
（3）根据（2）中列式，令甲菜苗基地和乙菜苗基地的价钱相等，即可得出答案．
【详解】（1）根据题意甲菜苗基地需付款：，乙菜苗基地需付款：，
故答案为：108，96．
（2）在甲菜苗基地购买该种菜苗的费用为：（元），在乙菜苗基地购买该种菜苗的费用为：（元），
（3）根据题意，得：，解得：，
答：当购买30该种菜苗多少捆时，到甲、乙两菜苗基地用的钱一样多．
【点睛】本题主要考查了列代数式和一元一次方程的应用，能够根据不同的优惠方式列出代数式是解题的关键．
29．(1) ，12 ，15
(2)秒或秒
(3)存在，或或或
【分析】（1）利用原来的数加上点运动的距离即可得到点表示的数，再根据两点间的距离公式求出点M，N的距离；
（2）先求出点M运动到点O位置时，用的时间是：秒，当点N在折线数轴上运动4秒时，则在CB上的运动时间是秒，在BO上的运动时间是秒，设点M，点N在BO上的运动时间是t1，分两种情况：当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，列方程解答即可；
（3）分六种情况分别列方程解答．
【详解】（1）解：当时，
点M表示的数为，
N表示的数为，
此时点M，N在折线数轴上的和谐距离为，
故答案为： ，12 ，15；
（2）如图示：
点M运动到点O位置时，用的时间是：秒，
当点N在折线数轴上运动4秒时，则在CB上的运动时间是秒，在BO上的运动时间是秒，
则，
∴，
设点M，点N在BO上的运动时间是t1，
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，
依题意得：，
解得：，
∴总用时是：秒；
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，
依题意得：，
解得：，
∴总用时是：秒；
综上所述，当运动秒或秒时，M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
（3）存在，理由如下：
根据题意可知，点M在AC上的运动，并返回时，使用的时间秒，
点N在CA上的运动，使用的时间是秒，
可得，点M在到达点C时，继续返回运动了2秒，
①当点M在AO，点N在BC上运动时，依题意得：
解得：；
∵点N在到达点B时，使用的时间是秒，先于点M在OB上运动，
②当点M在AO，点N在OB上运动时，依题意得：
解得：；
③当点M，点N在OB上运动时，依题意得：，解得：；
④∵点M在到达点B时，使用的时间是秒，先于点N到达点O，
当点M在BC，点N在OB上运动时，
无法找到任一点，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
故不存在这样的时间t；
⑤当点M在BC，点N在AO上运动，且点M没有返回时，
依题意得：
解得：，不合题意，舍去；
⑥当点M在BC，点N在AO上运动，且点M返回时，
依题意得：解得：；
综上所述，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等的时间t是：或或或．
【点睛】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离公式，一元一次方程的实际应用，正确理解动点问题分类讨论并列出方程是解题的关键．
一、单选题
1．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）下列方程中为一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）下列各式运用等式性质变形，正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）已知方程的解是，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山东临沂·七年级统考期末）下列解方程变形正确的是（ ）
A．方程，移项，得
B．方程，去分母，得
C．方程，系数化为1，得
D．方程，去括号，得
5．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）整式的值随取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（ ）.
0 1 2
4 0
A． B． C． D．
6．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）若关于的一元一次方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）如图是2023年3月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数（如2、8、9、10、16）． 若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为（ ）
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．41 B．42 C．81 D．120
8．（2023上·山东临沂·七年级统考期末）已知点A在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，A、之间的距离记作，定义：．下列结论：①线段的长；②设点在数轴上对应的数为，当时，；③若点在A的左侧，；④若点在线段上，则的值不变．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①④
9．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）中国男篮职业联赛的积分办法是胜一场积2分，负一场积1分．某支球队参加了12场比赛，总积分是所胜场数的4倍，则该球队共胜（ ）
A．1场 B．2场 C．4场 D．6场
10．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）某市出租车的收费标准是：起步价14元，超过时每千米加收2.4元（不足按计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费26元，设此人从甲地到乙地经过的路程是．那么的最大值是（ ）
A．8 B．7 C．5 D．11
二、多选题
11．（2023上·山东潍坊·七年级统考期末）学校有位师生乘坐辆客车外出参观．若每辆车坐45人，则还有28人没上车；若每辆车坐50人，则空出一辆客车，并且有一辆车还可以坐12人，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2023上·山东枣庄·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ．
13．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）若关于x的方程的解与方程的解相同，则 ．
14．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）如果与是同类项，则 ．
15．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）对于有理数a，b，定义运算“★”；，例如：．所以，若，则x的值为 ．
16．（2023上·山东聊城·七年级统考期末）据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的矩阵．如图所示的幻方是由的方格构成，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，则a的值为 ．
17．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）某项工程甲单独做12天完成，乙单独做16天完成．若甲先做5天，然后甲、乙合作完成此项工程，问还需多少天可以完成该工程？如果设还需x天可以完成该工程，则可列方程为 ．
四、计算题
18．（2023上·山东日照·七年级校考期末）（1）解方程．
（2）先化简，再求值：，其中，
19．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
魔术师能立刻说出观众想的那个数．
(1)如果小玲想的数是，请你通过计算帮助她告诉魔术师的结果；
(2)如果小明想了一个数计算后告诉魔术师结果为2023，魔术师立刻说出小明想的那个数，你知道小明说的那个数是多少吗？
五、问答题
20．（2023上·山东德州·七年级统考期末）已知是关于x的一元一次方程．
(1)求a的值，并解出上述一元一次方程；
(2)若上述方程的解是方程解的2倍，求k的值．
21．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为，例如数对，，都是“有趣数对”，请回答下列问题：
(1)数对是“有趣数对”吗？试说明理由．
(2)若是“有趣数对”，求a的值．
(3)若是“有趣数对”，求的值．
22．（2023上·山东聊城·七年级统考期末）解方程
(1)；
(2)．
23．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）阅读与理解：已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为：，记为．例如：若，则的导出多项式．
根据以上信息，回答问题：
(1)若，则它的导出多项式________；
(2)设是的导出多项式．
①若，求关于的方程的解；
②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值．
24．（2023上·山东枣庄·七年级统考期末）老师在黑板上出了一道解方程的题：，小明同学的解法如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
合并同类项，得③
解得④
∴原方程的解为⑤
(1)从第______步出现错误（填序号），错误原因是______；
(2)请写出解方程的正确求解过程．
25．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹出票款7160元，且每张成人票8元，学生票5元．
(1)问成人票与学生票各售出多少张？
(2)若票价不变，仍售出1000张票，所得的票款可能是7290元吗？为什么？
26．（2023上·山东潍坊·七年级统考期末）如图是于阿姨刚接收的新房的地面平面结构图（图中长度单位：）．其中每间房屋地面都是长方形，她准备在客厅和卧室地面全部铺设复合地板、厨房和卫生间地面全部铺设瓷砖，铺完全部地面，有两个施工计费方案供她选择，根据图中数据解决以下问题：
方案一：每平方米瓷砖的铺设费用为25元．每平方米复合地板的铺设费用为30元；
方案二：铺完全部地面，一口价1500元．
(1)求该房屋地面的总面积（用含的式子表示）；
(2)当为何值时，两种方案所花费用一样？
(3)若，于阿姨选择哪个方案更省钱呢？
27．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）如图，已知A，为数轴上的两个点，点A表示的数是，
点表示的数是30．
(1)直接写出线段的中点对应的数；
(2)若点在数轴上，且，直接写出点对应的数；
(3)若李明从点A出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时王聪从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点处相遇，求点对应的数；
(4)若李明从点A出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时王聪从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求李明所在位置点对应的数．
28．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．我县某中学初中部为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处种植园，需要采购一批某种菜苗开展种植活动，已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是6元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同．
甲菜苗基地：若购买不超过15捆，则按标价付款；若一次购15捆以上，则超过15捆的部分按标价的60%付款；
乙菜苗基地：按标价的80%付款．
(1)若学校决定购买该种菜苗20捆，则在甲菜苗基地购买，需付款________元，在乙菜苗基地购买，需付款________元；
(2)若学校决定购买该种菜苗捆（），请用含的式子分别表示在甲、乙两个菜苗基地购买该种菜苗的费用；
(3)学校决定购买该种菜苗多少捆时，到甲、乙两菜苗基地用的钱一样多？说明理由．
29．（2023上·山东济南·七年级统考期末）数轴上点A表示，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度，动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动，设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，点M表示的数为______，N表示的数为______，此时点M，N在折线数轴上的和谐距离为______；
(2)当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
(3)当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据一元一次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
C、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．
2．B
【分析】根据等式的基本性质逐项进行判断即可求解．
【详解】解：A．由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
B．由，得，原变形正确，故此选项符合题意；
C．由，得，必须规定，原变形错误，故此选项不符合题意；
D．由，得，必须规定，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．C
【分析】把代入求出a的值，再把a的值代入求解即可．
【详解】解：把代入，得
，
∴，
把代入，得
，
∴
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
4．D
【分析】根据解一元一次方程的基本步骤和等式的性质进行分析判断即可．
【详解】解：A、方程，移项，得，故此选项不符合题意；
B、方程，去分母得，故此选项不符合题意；
C、方程，系数化为1，得，故此选项不符合题意；
D、方程，去括号，得，正确，故此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解等式的性质，掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1）是解题关键．
5．A
【分析】由即，解得，根据表格中数据即可求解．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴关于的方程的解为，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，将整式作为整体看成未知数是解题的关键．
6．B
【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的方法解关于的方程，再根据解为负整数，即可求解．
【详解】解：
去分母，
移项，
合并同类项，
系数化为，，且，即，
∵解是负整数，
∴，且为整数，
∴，与是倍数关系，且为整数，
∴当时，，符号条件；
当时，，符号条件；
当时，，符号条件；
当时，，不符号条件；
当时，，不符号条件；
当时，，符号条件；
当时，，符号条件；
∴整数的值为，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查方程的解求参数，掌握解一元一次方程的方法，检验参数的值是否符号题意是解题的关键．
7．D
【分析】设阴影十字框中间的数为x，得到其余个数的代数式，把这个数相加，可得和为，再逐一分析各选项中的数即可.
【详解】设阴影十字框中间的数为x，x为正整数，则十字框中的五个数的和：
,
不符合题意；
不符合题意；
不符合题意；
、,符合题意;
故选: .
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据所给数据得到阴影十字框中的五个数字之和是的倍数.
8．B
【分析】①根据非负数的和为0，各项都为0确定，即可判断；②应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；③④利用②中的位置关系求解即可．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，即线段的长度为3．
故①正确；
②如图，分三种情况：
当P在点A左侧时，
．
当P在点B右侧时，
．
∴上述两种情况的点P不存在．
当P在A、B之间时，，
∵，
∴由，得．
∴解得：；
∴当时，，
故②正确；
③由②得当P在点A左侧时，
，故③错误；
④当P在A、B之间时，，
，
∴的值不变，故④正确；
综合上述，①②④说法正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
9．C
【分析】设该球队胜了x场，则负了场，根据总积分是所胜场数的4倍列出方程求解即可．
【详解】解：设该球队胜了x场，则负了场，
由题意得，，
解得，
∴该球队共胜4场，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
10．A
【分析】由于车费26元大于起步价，则超过的路程为，据此列方程求解．
【详解】由题意得，
解得，
故选A
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，能够根据题意正确列出方程是解题的关键．
11．AD
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．
【详解】解：根据总人数列方程，应是，故A选项正确，C选项错误；
根据客车数列方程，应该为：，故D选项正确，B选项错误；
故选：AD．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程．
12．
【分析】根据已知条件得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：关于的一元一次方程 的解为
关于的一元一次方程 中
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的关系是关键．
13．2
【分析】先解方程，求出方程的解为，再把代入方程中求出m的值即可．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于x的方程的解与方程的解相同，
∴关于x的方程的解为，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，正确求出方程的解是解题的关键．
14．
【分析】根据同类项的定义，可得，即可求解．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项是解题的关键．
15．3
【分析】根据把所给方程转华为一元一次方程求解即可．
【详解】∵，
∴可化为，
解得．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了新定义，以及一元一次方程的解法，理解新定义的含义是解答本题的关键．
16．1
【分析】根据第二列、对角线上的数之和各自相等，列出方程即可求解．
【详解】解：由题意可知，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据表格列出方程是解题的关键．
17．
【分析】设还需x天可以完成该工程，根据“甲单独做12天完成，乙单独做16天完成．若甲先做5天，然后甲、乙合作完成此项工程，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设还需x天可以完成该工程，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
18．（1）；（2），．
【分析】（1）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，按步骤计算即可；
（2）先去括号，再合并同类项，代入求值即可得到答案．
【详解】（1）解：，
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得， ；
（2）解：
，
；
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了一元一次方程解法、整式加减的化简求值，解题的关键是掌握去分母、去括号、合并同类项的法则，去括号时要注意符号的选取．
19．(1)
(2)226
【分析】（1）根据操作步骤，代入数值计算即可；
（2）设这个数为x，根据运算步骤得出一元一次方程，解方程即可求出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：设这个数为x，由题意得
，
解得．
∴小明想的那个数是226．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，以及一元一次方程的应用，正确理解题中运算步骤是解题的关键．
20．(1)a的值是1；方程的解是
(2)k的值是3
【分析】（1）根据一元一次方程的定义和解一元一次方程的一般步骤准确计算即可；
（2）根据解析（1）得出的方程解，得出方程解为，然后代入求出k的值即可．
【详解】（1）解：由题意得:，
∴，
∴，
将代入方程得：，
解得：
答：a的值是1，方程的解是．
（2）解：由题意得：，
将代入方程得：，
解得：
答：k的值是3．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，方程解的定义，一元一次方程的定义，解题的关键熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算．
21．(1)数对不是“有趣数对”，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据“有趣数对”的定义即可得到结论；
（2）根据“有趣数对”的定义列方程即可得到结论；
（3）根据“有趣数对”的定义列等式，得出，代入代数式即可得到结论．
【详解】（1）解：不是，理由如下，
∵，，，
∴数对不是“有趣数对”，
（2）解：∵是“有趣数对”，
∴
解得：；
（3）解：∵是“有趣数对”
∴，
即，
∴
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，求代数式的值，能够看懂定义并会运用定义解决问题是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：，
移项合并得，，
系数化为1得，；
（2）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，．
【点睛】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于正确的运算．
23．(1)
(2)①；②2
【分析】（1）根据导出多项式的定义求解即可；
（2）①根据导出多项式的定义可得，再解方程即可；②根据导出多项式的定义可得，然后根据的解为整数，求解正整数即可．
【详解】（1）若，则它的导出多项式；
故答案为：．
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵有整数解，
∴，
∴为整数，
∵为正整数，
∴的值为或4，即的值为2或3．
又因为是关于的二次多项式，
所以，m的值是2．
【点睛】本题以新定义：导出多项式为载体，主要考查了一元一次方程的求解，正确理解新定义、熟练掌握一元一次方程的解法是关键．
24．(1)②，去括号时第二项没变号
(2)过程见解析
【分析】（1）去括号时，括号前是负数，第二项应该变号；
（2）正确解方程即可．
【详解】（1）解：从第②步出现错误，错误原因是：去括号时第二项没变号；
故答案为：②，去括号时第二项没变号；
（2）方程两边同乘6，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
解得，
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，正确去分母和去括号是本题解题的关键．
25．(1)成人720张，学生280张
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设成人票x张，则学生票张，根据题意列出方程进行求解，得出答案；
（2）设成人票y张，则学生票张，然后根据题意列出方程求出y的值，看y是否为整数，如果是整数则符合条件，如果不是整数则不符合条件．
【详解】（1）解：设售出的成人票为x张，
根据题意得：
解得：
则张
答：成人720张，学生280张．
（2）当售出1000张票，所得的票款是7290元时，设售出的成人票为y张，
根据题意得：，
解得：，
∵y不是整数
∴所得的票款不可能是7290元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程式是解题的关键．
26．(1)平方米
(2)
(3)方案一
【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可求解；
（2）根据两种方案一样省钱列出方程计算可求的值；
（3）把代入计算可求应该选择哪个方案更省钱．
【详解】（1）解：该房屋地面总面积为平方米．
故房屋地面总面积为平方米；
（2）解：依题意有，
解得，
故当为时两种方案一样省钱；
（3）解：若时，
，
．
若，于阿姨应该选择方案一更省钱．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值，结合图形根据矩形的面积等于长乘以宽列出算式是关键．
27．(1)
(2)或80
(3)
(4)或
【分析】（1）直接根据数轴上线段中点位置计算即可；
（2）分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，根据数轴上两点之间的距离求解即可；
（3）设相遇时间为，根据题意列出方程求解即可；
（4）分两种情况：①追及前相距20，②追及后相距20，根据题意，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：线段的中点对应的数为，
答：线段的中点对应的数为；
（2）当点在点的左侧时，点所对应的数为：，
当点在点的右侧时，点所对应的数为：，
答：点对应的数为或80；
（3）设相遇时间为，由题意得，
，
解得，
点对应的数为；
（4）①追及前相距20，设行驶的时间为，由题意得，
，
解得，
此时李明所在位置点对应的数为；
②追及后相距20，设行驶的时间为，由题意得，
，
解得，
此时李明所在位置点对应的数为；
答：李明所在位置点对应的数为或．
【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及一元一次方程的应用，理解题意，进行分情况讨论分析是解题关键．
28．(1)，
(2)甲：元；乙：元
(3)
【分析】（1）根据甲菜苗基地和乙菜苗基地的优惠方式分别列式计算即可．
（2）根据甲菜苗基地和乙菜苗基地的优惠方式分别列式即可．
（3）根据（2）中列式，令甲菜苗基地和乙菜苗基地的价钱相等，即可得出答案．
【详解】（1）根据题意甲菜苗基地需付款：，乙菜苗基地需付款：，
故答案为：108，96．
（2）在甲菜苗基地购买该种菜苗的费用为：（元），在乙菜苗基地购买该种菜苗的费用为：（元），
（3）根据题意，得：，解得：，
答：当购买30该种菜苗多少捆时，到甲、乙两菜苗基地用的钱一样多．
【点睛】本题主要考查了列代数式和一元一次方程的应用，能够根据不同的优惠方式列出代数式是解题的关键．
29．(1) ，12 ，15
(2)秒或秒
(3)存在，或或或
【分析】（1）利用原来的数加上点运动的距离即可得到点表示的数，再根据两点间的距离公式求出点M，N的距离；
（2）先求出点M运动到点O位置时，用的时间是：秒，当点N在折线数轴上运动4秒时，则在CB上的运动时间是秒，在BO上的运动时间是秒，设点M，点N在BO上的运动时间是t1，分两种情况：当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，列方程解答即可；
（3）分六种情况分别列方程解答．
【详解】（1）解：当时，
点M表示的数为，
N表示的数为，
此时点M，N在折线数轴上的和谐距离为，
故答案为： ，12 ，15；
（2）如图示：
点M运动到点O位置时，用的时间是：秒，
当点N在折线数轴上运动4秒时，则在CB上的运动时间是秒，在BO上的运动时间是秒，
则，
∴，
设点M，点N在BO上的运动时间是t1，
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，
依题意得：，
解得：，
∴总用时是：秒；
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，
依题意得：，
解得：，
∴总用时是：秒；
综上所述，当运动秒或秒时，M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
（3）存在，理由如下：
根据题意可知，点M在AC上的运动，并返回时，使用的时间秒，
点N在CA上的运动，使用的时间是秒，
可得，点M在到达点C时，继续返回运动了2秒，
①当点M在AO，点N在BC上运动时，依题意得：
解得：；
∵点N在到达点B时，使用的时间是秒，先于点M在OB上运动，
②当点M在AO，点N在OB上运动时，依题意得：
解得：；
③当点M，点N在OB上运动时，依题意得：，解得：；
④∵点M在到达点B时，使用的时间是秒，先于点N到达点O，
当点M在BC，点N在OB上运动时，
无法找到任一点，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
故不存在这样的时间t；
⑤当点M在BC，点N在AO上运动，且点M没有返回时，
依题意得：
解得：，不合题意，舍去；
⑥当点M在BC，点N在AO上运动，且点M返回时，
依题意得：解得：；
综上所述，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等的时间t是：或或或．
【点睛】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离公式，一元一次方程的实际应用，正确理解动点问题分类讨论并列出方程是解题的关键．