4.3.2等比数列的前n项和公式（第一课时） 课件（共29张PPT）

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第四章 数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
人教A版 选择性必修第二册
教学目标
1.理解等比数列的前n项和公式的推导方法
2.会用错位相减法求数列的和．
3.掌握等比数列的n项和公式并能运用公式解决一些简单问题
01
情景导入
情景导入
国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
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已知1000颗麦粒的质量约为40，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王能否实现他的诺言.
情景导入
问题1：这位聪明的宰相要求的麦粒总数是多少呢？
麦粒总数为
问题2：1,21,22,…263 构成什么数列？
等比数列
问题3：1+21+22+…+263 应归结为什么数学问题呢？
求等比数列的前n项和问题
02
等比数列的前n项和公式
新知探究
所以将①式两边同乘以2则有
探究2：观察上式相邻两项，有什么特征？
如果我们把每一项都乘以2，就变成了与它相邻的项
S64=1+2+22+···+ 262 +263 ①
探究1：如何求这个数列的前n项和？
2S64=2+22+23+···+263+264 ②
新知探究
①
②
思考：观察整个过程，①式两边为什么要乘以2 ？
探究3：比较①、②两式，你有什么发现？
①-②得：
错位相减法
新知探究
一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016 ~ 2017年度世界小麦产量的981倍．
因此，国王根本不可能实现他的诺言．
探究4：根据以上计算判断国王能否实现他的诺言.
新知探究
①
②
①-②得：
①×q 得
思考1：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？
思考2：要求出Sn,是否可以把上式两边同除以（1-q）？
新知探究
①当1-q≠0，即q≠1时，除以1-q得
②当1-q＝0，即q＝1时，
注意：分类讨论
新知探究
等比数列前n项和公式
(1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法.
(3)步骤: 乘公比，错位写，对位减.
注意：
新知探究
思考3：等比数列的前n项和公式有何函数特征？
03
等比数列前n项和公式的应用
新知探究
例1.已知数列是等比数列.
(1)若求
(2)若求；
(3)若求.
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新知探究
(2)：由，∴即
又由，得：
所以，
解(1)：∵，，所以
新知探究
(3)：把，，代入，
得：
整理，得：
解得，
新知探究
B
新知探究
例2.在等比数列中，公比为，前项和为.
(1)若，求；
(2)若，，求及.
解(1)：显然，
由，即，
∴.又
即∴.
新知探究
得，
∴
代入得，∴
∴
(2)：（方法一）由得，由题意得：
新知探究
(2)：（方法二）由
∴∴
代入得，∴
∴
新知探究
方法总结
新知探究
新知探究
新知探究
例3.已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn，若 求公比q.
新知探究
例4.在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求{an}的通项公式．(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
新知探究
04
课堂小结
课堂小结