甘肃省武威市民勤县2023-2024学年高一上学期12月第二次月考数学试题（含答案）

民勤县2023-2024学年高一上学期12月第二次月考
数学试卷
（时间：120分钟总分：150分）
一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集，集合，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．若两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
4．计算的值为（ ）
A．4 B．10 C．8 D．6
5．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，结果精确到）
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
7．幂函数在上单调递增，则函数的图像过定点（ ）
A． B． C． D．
8．设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．设，且，则实数；
B．若是的真子集，则实数；
C．集合，若，则实数；
D．设集合至多有一个元素，则；
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若．则 D．若，则
11．下列说法中正确的有（ ）
A．命题，则命题的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．若命题“”是真命题，则的取值范围为
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
12．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上是减函数C．
D．不等式的解集为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．设且关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______．
14．设是定义在上的偶函数，且，当时，，______．
15．已知函数在上任意，都有成立，则实数的取值范围是______．
16．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意都有，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（10分）
（1）已知，则的值．
（2）若，用表示
18（12分）．已知函数的定义域为．
（1）求实数的取值集合；
（2）设为非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式：．
20（12分）已知函数．
（1）若，求的单调区间
（2）若有最大值3，求的值
（3）若的值域是，求的值
21（12分）．佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
22（12分）．设函数．
（1）求函数的值域；
（2）设函数，若对，求实数取值范围．
高一数学答案
一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．A 7．D 8．C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．ABD 10. BC 11. ACD 12. ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13. 14．
15. 16.
四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10)（1）已知，则的值.
（2）若，，用a，b表示
【详解】（1）∵，
，
由立方差公式得
（2）由，所以，
则.
18(12). 已知函数的定义域为.
（1）求实数的取值集合；
（2）设为非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【详解】（1）可知，上恒成立，
当时，，成立；
当时，，解得；
综上所述，. 所以集合
（2）因为，是的必要不充分条件. 所以，
故,解得
所以，实数的取值范围是.
19．（12分）
已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式：．
【解析】（1）由题意，得，
∴（经检验符合题意），故．
（2）任取，且，
则．
∵，∴，，．
又，∴．∴，即，
∴在上是增函数．
（3）由（2）知在上是增函数，又在上为奇函数，
，∴，
∴，解得．
∴不等式的解集为．
20．（12分）
已知函数．
（1）若，求的单调区间
（2）若有最大值3，求的值
（3）若的值域是，求的值
【解析】（1）当时，，
令，由在上单调递增，在上单调递减，
而在R上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）令，，
由于有最大值3，所以应有最小值，
因此必有．解得，即有最大值3时，a为1．
（3）由指数函数的性质知，要使的值域为，
应使的值域为R，
因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R），
故a的值为0．
21（12分）. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
【详解】（1）当时，；
当时，
∴
（2）当时，；
当时，取最大值万元；
当时， ，
当且仅当时，取等号
综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
22. （12分） 设函数，.
（1）求函数的值域；
（2）设函数，若对，，，求实数a取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求函数值域；
（2）将问题转化为的值域为值域的子集求解.
【小问1详解】
∵，又∵，，
∴，当且仅当，即时取等号，
所以，
即函数的值域为.
【小问2详解】
∵，
设，因为，所以，函数在上单调递增，
∴，即，
设时，函数的值域为A.由题意知，
∵函数
①当，即时，函数在上递增，
则，即 ，∴
②当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，
而且，不合题意，
③当，即时，函数在上递减，
则，即 ，满足条件的不存在，
综上所述，实数a取值范围为.
【点睛】对于双变量双函数类似，，的问题转化为值域包含值域的问题