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第1章 直角三角形的边角关系
单元试卷答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则tanA＝（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】画出图形，根据余弦的概念可得，根据勾股定理可得BC与AC的关系，即可求出tanA．
【解答】解：根据题意可得：，
∴3AC＝AB，
在Rt△ABC中，，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了余弦和正切的概念，解直角三角形，画出图形，根据三角函数的值转化到直角三角形的边长之比是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanA＝，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
∴tanA＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，那么cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，
由勾股定理，得AB＝＝，
由锐角的余弦，得cosA＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键．
4．（2023 蕉城区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝
【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
则sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝，
故选：C．
【点评】此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用平方公式求出cosA的值，然后利用tanA＝求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，sin2A+cos2A＝1；
∴cosA＝＝＝，
∴tanA＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：（sin2A+cos2A＝1）；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA cosA．
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
【分析】根据正弦值的定义解决此题．
【解答】解：如图．
∵∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
∴sinA＝．
∴BC＝6．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦值的定义，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键．
7．如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为（ ）
A．atan55°米 B．米 C．米 D．米
【分析】连接AB，BC，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：连接AB，BC，
由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，
∴tan∠ABC＝tan55°＝，
∴AB＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
8．如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理求出AD＝2，AB＝，即可求出sinB＝＝．
【解答】解：连接AD，则∠ADB＝90°，
∵AD＝＝2，AB＝＝，
∴sinB＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是由勾股定理求出AD，AB的长．
9．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2+c2﹣2bccosA；b2＝a2+c2﹣2accosB；c2＝a2+b2﹣2abcosC．现已知在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠A＝60°，则AC的长为（ ）
A．2 B．+1 C．﹣1 D．3
【分析】根据AB＝c＝2，BC＝a＝4，∠A＝60°，a2＝b2+c2﹣2bccosA，可以计算出AC的长．
【解答】解：∵AB＝c＝2，BC＝a＝4，∠A＝60°，a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴42＝b2+22﹣2b×2cos60°，
即16＝b2+4﹣2b×2×，
解得b1＝1+，b2＝1﹣（不合题意，舍去），
∴AC＝b＝1+，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
10．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．5千米
【分析】图所示，过点B作BD⊥AC于D，由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，利用三角形内角和定理求出∠C＝45°，再求出∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，得到千米，CD＝BD，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出BC的长．
【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于D，
由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，
∴（千米），CD＝BD，
∴（千米），
∴（千米），
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB的值为 ．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝＝，
∴sinB＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
12．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为 6m ．
【分析】根据斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度为12米，可得AC＝12m，BC＝6m，然后利用勾股定理求出AB的长度．
【解答】解：∵斜面坡度为1：2，AC＝12m，
∴BC＝6m，
则AB＝＝＝（m）．
故答案为：6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
13．如图，△ABC的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则∠BAC的正切值为 ．
【分析】根据题意可知△ABD是直角三角形，利用正切的定义解答即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABD中，
tan∠BAC＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟记各个锐角三角函数的定义并灵活运用是解题的关键．
14．如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 21 m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】根据等腰三角形的三线合一性质可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC，AD的长，从而求出AB的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，
∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），
∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），
∴共需钢材约＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），
故答案为：21．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
15．已知△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝ 75 度．
【分析】先根据非负数的性质确定cosA＝，tanB＝1，再根据特殊角的三角函数解答．
【解答】解：∵（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，
∴cosA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
【点评】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，同时还考查了三角形内角和定理．
16．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，BC＝4，则△ABC的面积为 3 ．
【分析】过点A作AD⊥BC，在Rt△ABD中先求出AD，求出△ABC的面积．
【解答】解：如图所示：∠A为钝角时，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，
∵AB＝3，∠B＝30°，
∴AD＝．
∴S△ABC＝BC×AD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理及三角形的面积公式，过点A作BC边上的高构造直角三角形是解决本题的关键．本题易错，易对题意分析不准，出现漏掉一个解的问题．
三、解答题（共7小题，共计72分.解答应写出过程）
17．计算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：3tan30°+tan45°﹣2sin60°
＝3×+1﹣2×
＝+1﹣
＝1．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，，若AB＝8，求BC的长．
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tanC＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，
∴AD＝4，BD＝，
∵在Rt△ADC中，tanC＝，AD＝4，
∴，
∴CD＝3．
∴BC＝BD+CD＝．
【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，sinC＝，tanB＝，AD＝2．
（1）求cos∠BAD的值；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）在Rt△ABD中，根据，可得BD＝4，再由勾股定理可得，即可求解；
（2）根据，可得∠C＝45°，从而得到CD＝2，进而得到BC＝BD+CD＝6，再由三角形面积公式，即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，，AD＝2，
∴BD＝4．
∴，
∴；
（2）∵，
∴∠C＝45°．
∵，AD＝2，
∴CD＝2，
∴BC＝BD+CD＝6，
∴．
【点评】本题考查了解直角三角形以及三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
20．为了办人民满意的教育，某校大门口建造了供家长休息的凉亭（如图1）．图2是抽象出的平面几何图形，已知点D，A，E在同一水平线上，测得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2 米．BC＝2.2米．求凉亭最高点B到地面的距离BN的长．
（sin80° ≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°＝5.671，≈1.732．结果精确到0.01米）
【分析】过点C作CG⊥DE于点G，过点B作BF⊥GC交GC的延长线于点F，在Rt△ACG与Rt△BFC中，分别通过解直角三角形求出CG与FC的长即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CG⊥DE于点G，过点B作BF⊥GC交GC的延长线于点F，
则GF＝BN，
∵sin∠DAC＝＝sin80°≈0.985，AC＝2米，
∴CG＝2×0.985＝1.97（米），
∵∠DAC＝80°，
∴∠ACG＝10°，
又∵∠BCA＝110°，
∴∠BCF＝60°，
又∵BC＝2.2米，
∴FC＝BC cos60°＝2.2×＝1.1（米），
∴GF＝GC+CF＝1.97+1.1＝3.07（米）．
∴凉亭最高点B到地面的距离BN的长约为3.07米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）
[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]
【分析】根据等腰三角形的性质可得CE＝BC＝80m．在Rt△BCF中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出EF的长度．
【解答】解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE＝45°，
∴CE＝BC＝80m．
在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，
∴．
∴CF≈133.3．
∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．
答：河宽EF的长约为53m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
22．大勇同学把借来的一辆自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方A处与坐垫下方B处平行于地面水平线，测得AB＝60cm，AC，BC与AB的夹角分别为45°与60°．
（1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）；
（2）若点C到地面的距离CD为30cm，坐垫中轴E与点B的距离BE为6cm．根据大勇同学身高比例，坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出大勇同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，设CM＝xcm，先在Rt△ACM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而求出BM的长，然后在Rt△BMC中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；
（2）过点E作EN⊥AB，垂足为N，根据题意可得∠EBN＝60°，然后在Rt△BEN中，利用锐角三角函数的定义求出EN的长，从而求出坐垫E到地面的距离，即可解答．
【解答】解：（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，
设CM＝xcm，
在Rt△ACM中，∠MAC＝45°，
∴AM＝＝x（cm），
∵AB＝60cm，
∴BM＝AB﹣AM＝（60﹣x）cm，
在Rt△BMC中，∠CBM＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴x≈38.1，
经检验：x＝38.1是原方程的根，
∴CM＝38.1cm，
∴点C到AB的距离为38.1cm；
（2）过点E作EN⊥AB，垂足为N，
由题意得：
∠EBN＝∠ABC＝60°，
在Rt△BEN中，BE＝6cm，
∴EN＝BE sin60°＝6×＝3≈5.19（cm），
∴坐垫E到地面的距离为：5.19+30+38.1＝73.29（cm），
∵坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适，
∴大勇同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．美丽的海南是我国的海洋国土，建设海南是我们的责任，如图，小岛B位于小岛A
的南偏东37°方向，在AB的中点处建设了灯塔C，一艘物资船位于小岛A的正南方向，小岛B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km，到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离小岛A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】如图作CH⊥AD于H．设CH＝xkm，在Rt△ACH中，可得AH＝，在Rt△CEH中，可得CH＝EH＝x，由CH∥BD，推出，由AC＝CB，推出AH＝HD，可得＝x+5，求出x即可解决问题．
【解答】解：如图作CH⊥AD于H．设CH＝xkm，
在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tan37°＝，
∴AH＝，
在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，
∴CH＝EH＝x，
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
∴CH∥BD，
∴，
∵AC＝CB，
∴AH＝HD，
∴＝x+5，
∴x＝≈15，
∴AE＝AH+HE＝+15≈35km，
∴E处距离港口A有35km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
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第1章 直角三角形的边角关系
一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则tanA＝（ ）
A．2 B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，那么cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
7．如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为（ ）
A．atan55°米 B．米 C．米 D．米
8．如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
9．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2+c2﹣2bccosA；b2＝a2+c2﹣2accosB；c2＝a2+b2﹣2abcosC．现已知在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠A＝60°，则AC的长为（ ）
A．2 B．+1 C．﹣1 D．3
10．（2023春 宁阳县期末）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．5千米
二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB的值为 ．
12．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为 ．
13．如图，△ABC的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则∠BAC的正切值为 ．
14．如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
15．已知△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝ 度．
16．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，BC＝4，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（共7小题，共计72分.解答应写出过程）
17．计算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．
18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，，若AB＝8，求BC的长．
19．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，sinC＝，tanB＝，AD＝2．
（1）求cos∠BAD的值；
（2）求△ABC的面积．
20．为了办人民满意的教育，某校大门口建造了供家长休息的凉亭（如图1）．图2是抽象出的平面几何图形，已知点D，A，E在同一水平线上，测得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2 米．BC＝2.2米．求凉亭最高点B到地面的距离BN的长．
（sin80° ≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°＝5.671，≈1.732．结果精确到0.01米）
21．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）
[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]
22．大勇同学把借来的一辆自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方A处与坐垫下方B处平行于地面水平线，测得AB＝60cm，AC，BC与AB的夹角分别为45°与60°．
（1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）；
（2）若点C到地面的距离CD为30cm，坐垫中轴E与点B的距离BE为6cm．根据大勇同学身高比例，坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出大勇同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
23．美丽的海南是我国的海洋国土，建设海南是我们的责任，如图，小岛B位于小岛A
的南偏东37°方向，在AB的中点处建设了灯塔C，一艘物资船位于小岛A的正南方向，小岛B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km，到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离小岛A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
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