2024年江苏省普通高中学业水平合格性考试
数学全真模拟试卷05
(考试时间：75分钟 满分100分)
一、选择题(本大题共28小题，每小题3分，共84分。每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分)
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以.
故选：D.
2.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A选项：，则，故A正确；
B选项：，则，所以，故B错误；
C选项：当或时，，则，故C错误；
D选项：当时，，故D错误.
故选：A．
3.设，则=（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】，
故选：B.
4.已知向量，，若，则x＝（ ）
A. B. 1 C. D. －1
【答案】D
【解析】，，，解得：.
故选：D
5.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】设扇形的半径为，由题意可得：，则，
扇形的面积.
故选：B
6. 围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为，
取出的2粒颜色不同的概率为.
故选：D.
7. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ）
A. 3 B. －1 C. 1或－3 D. －1或3
【答案】A
【解析】因为是幂函数，
所以，解得或3；
又在上单调递增，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
故．
故选：A．
8.中，角，，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由余弦定理得，
．
故选：C．
9. 下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A：当时满足，此时不满足，所以A错误；
对于B：当时满足，此时不满足，所以B错误；
对于C：当时满足，此时不满足，所以C错误；
对于D：，所以是的充分不必要条件，
故选：D
10.党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（ ）
A. 16 B. 30 C. 32 D. 62
【答案】C
【解析】由扇形统计图可知参加数学类的人数为，
参加理化类的人数为，
故参加数学类的人数比参加理化类的人数多，
故选：C
11.已知是定义在上的偶函数，当时，，则时，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，，则 ①
又因为是定义在上的偶函数，
所以 ②
所以由①②得：当时，.
故选：A.
12.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B
13. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时） 7 8 9 10 11
党员人数 6 10 9 8 7
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（ ）
A. 8，8.5 B. 8，8 C. 9，8 D. 8，9
【答案】A
【解析】党员人数一共有，学习党史事件为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8，，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是
故选：A
14. 已知向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】向量满足，则，即，
故，即，向量夹角为，
则
故选：A.
15.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
16.在中，D为边BC上的一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵D为边BC上的一点，且，∴D是四等分点，
，
故选：B．
17.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B
18.设，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，，
则，
故选：D
19. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则，
∴，
当时，；
当时，；
结合选项可知：他至少经过4个小时才能驾驶汽车，
故选：C.
20. 已知函数，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
解得.
故选：D
21.已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由关于x的不等式的解集是，
得且，
则关于x的不等式可化为，
即，
解得：或，
所求不等式的解集为：.
故选：A.
22. 一个口袋内装有大小相同的红、篮球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，每次摸到红、篮球的概率均为，则三次都摸到篮球的概率为，
所以至少摸到一次红球的概率是.
故选：B
23.已知曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则下列曲线的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，曲线：，B正确；
显然的周期是，则与是不同函数，A错误；
选项CD对应函数的周期都是，它们与是不同函数，CD错误.
故选：B
24.如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】D
【解析】连接，则，
因为平面，在平面内，
所以，
因为，
所以平面，
因为在平面内，
所以，
所以异面直线与所成的角为，
故选：D
25.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
26.高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，故，取对数得，故，故最接近的是，
故选：C
27.关于的不等式在[1，6]内有解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题可得在[1，6]内有解，
只需，
设，
当时，，
所以，解得.
故选：C.
28.已知，为锐角，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以.
因为，为锐角，所以，
所以.
故选：B
二、解答题(本大题共2小题，共16分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
29．（本小题满分8分）已知的最小正周期为．
（1）求的值，并求的单调递增区间；
（2）求在区间上的值域．
【答案】（1）；单调递增区间为；（2）．
【解析】（1）因为的最小正周期为，
所以，则，则，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为
（2）由得，
所以，
所以．
30．（本小题满分8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA1，E是A1C的中点．
（1）若P为AB的中点，证明：DE∥平面PBA1．
（2）若平面PDA1⊥平面PDA，且DE⊥平面CBA1，求四棱锥A1﹣PBCD的体积．
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】（1）证明：令的中点为，连接，.因为为的中点且,
所以是中位线，所以,.
因为是的中点,且F为的中点,所以是的中位线,所以，且，于是有,
所以四边形为平行四边形,所以,
又平面，平面
所以有平面.
（2）解：因为平面，所以.
又因为是的中点，所以，
即是的中点.由可得，是的中点.
因为在中,，，沿翻折至，且平面平面，
利用面面垂直的性质可得平面，
所以.2024年江苏省普通高中学业水平合格性考试
数学全真模拟试卷05
(考试时间：75分钟 满分100分)
一、选择题(本大题共28小题，每小题3分，共84分。每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分)
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
3.设，则=（ ）
A. B. C. D. 2
4.已知向量，，若，则x＝（ ）
A. B. 1 C. D. －1
5.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
6. 围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ）
A B. C. D.
7. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ）
A. 3 B. －1 C. 1或－3 D. －1或3
8.中，角，，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
9. 下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
10.党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（ ）
A. 16 B. 30 C. 32 D. 62
11.已知是定义在上的偶函数，当时，，则时，（ ）
A. B. C. D.
12.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
13. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时） 7 8 9 10 11
党员人数 6 10 9 8 7
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（ ）
A. 8，8.5 B. 8，8 C. 9，8 D. 8，9
14. 已知向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
15.已知，则（ ）
A. B. C. D.
16.在中，D为边BC上的一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
17.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
18.设，，则=（ ）
A. B. C. D.
19. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
20. 已知函数，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
21.已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
22. 一个口袋内装有大小相同的红、篮球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
23.已知曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则下列曲线的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
24.如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
25.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
26.高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
27.关于的不等式在[1，6]内有解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
28.已知，为锐角，且，，则（ ）
A. B. C. D.
二、解答题(本大题共2小题，共16分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
29．（本小题满分8分）已知的最小正周期为．
（1）求的值，并求的单调递增区间；
（2）求在区间上的值域．
30．（本小题满分8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA1，E是A1C的中点．
（1）若P为AB的中点，证明：DE∥平面PBA1．
（2）若平面PDA1⊥平面PDA，且DE⊥平面CBA1，求四棱锥A1﹣PBCD的体积．
