山东省烟台市爱华高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（PDF版含答案）

爱华高级中学 2023 级高一上学期 12 月月考数学试题
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．函数 f x 2 x lg 3x 2 的定义域为（ ）
A ． 0,
2 2
B． 0,2 C． ,2 D． 1,2
3 3
2．用二分法求方程 log2 x x 2的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A．(0,1) B． (1, 2) C． (2,3) D． (3, 4)
3．下列各式正确的是（ ）
3 2 1
A n ． 3 2 23 2 B． 12 ( 3)4 3 3 C． 4 x3 y3 (x y)4 D． n m 2
m
4．若 a 0.87 ，b log 7， c 70.80.8 ，则 a，b，c的大小关系为 （ ）
A．b5．若 -5，则角 的终边所在的象限是（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
6．已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x轴的正半轴，若角 终边有一点 P 2, y ，且 sin 5 ，则 y
5
（ ）
A．1 B． 1 C． 1 D．2
7．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司
的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在
一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对
相关产业的研发投入.若该公司 2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为 120亿元，在此基础上，计划
以后每年投入的研发资金比上一年增长 9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过 200亿
元的年份是（ ）参考数据： lg1.09 0.0374， lg2 0.3010， lg3 0.4771.
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
8．已知函数 f x 2 x 1 (x 1)2，若 f log3a f 2 ，则实数 a的取值范围是（ ）
A
1
． ,

9, B． ,1 9,
9
C ． 0,
1 9, 0,1 9,
9
D．

二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有
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多项符合题目要求.全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0 分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．钝角大于锐角
B．时间经过两个小时，时针转了 60°
C．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角

D．若 是第三象限角，则 是第二象限角或第四象限角
2
10．下列不等式中正确的是（ ）
A．1.20.3 1.30.3 B． 0.20.3 0.20.2
C． log0.31.2 log0.31.3 D． log1.2 0.3 log0.2 0.3
11．下列命题正确的是（ ）
2
A．函数 y log1 (x 2x 3)在区间 (1, )上单调递减
2
B y e
x 1
．函数
ex
在 R 上单调递增
1
C．函数 y lg x 在区间 ( , 0)上单调递减
D y 1
x

．函数 与 y log3 x的图像关于直线 y x对称
3
x2 2x 1, x 0
12．已知函数 f (x) ，若关于 x的方程 f x k(k R)有四个不同的实数解，它们从小到
| ln x 2 , x 0
大依次记为 x1, x2 , x3 , x4 ，则（ ）
A．0 k 1 B x x 2 4． 1 2 1 C． e x3 e D．0 x1x2x3x4 e
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.
13．点 P( 1,2)是角 终边上一点，则cos
14．若 2m n
2 1
3 k，且 1，则实数 k的值为 .m n
15．方程 log3 9 x 4 x 1的实数解为 .
16 2．若函数 f x log2 x ax 3a 在区间 1, 上单调递增，则实数 a的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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1
1
17 3 0．求值：（1）1 1 3 32 3 7 103 （2） log2 0.25 ln e 24 log2 3 lg 4 2lg5 4 2 42 3 8
18．已知函数 f x loga 1 2x loga 1 2x a 0,a 1 .
(1)求 f x 的定义域；(2)判断 f x 的奇偶性并给予证明；(3)求关于 x的不等式 f x 0的解集.
19.如图，点 A，B，C是圆O上的点．
ACB π(1)若 ， AB 4cm，求扇形 AOB的面积和弧 AB的长；
6
(2)若扇形 AOB的面积为10cm2，求扇形 AOB周长的最小值，并求出此时 AOB的值
20．已知函数 f x loga 2x 4 loga 5 x (a 0且 a 1)的图象过点 P 3, 2 .

(1)求 a的值及 f x 的定义域；(2)求 f x 在 3,
9
上的最大值； 2
5
(3)若 2m 3n t t 3

，比较 f 2m 与 f 3n 的大小.
2
21．某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药 1小时后血液中含药量
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达到峰值8μg，7小时后血液中含药量为1μg，服药后每毫升血液中的含药量C μg 与服药后的时间 t h 之
间，近似满足如图所示的连续曲线，其中曲线段 OA是函数C t 4 loga t 1 的图象，曲线段 AB是函数
C t C0 e kt（ t 1，k为吸收常数，C0为常数，e为自然对数的底）的图象．
(1)写出服药后每毫升血液中含药量 C关于时间 t的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于 2 μg 时治疗有效，假若某病人第一次
服药为早上 8点，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
(3)若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过 3h，该病人每
毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
f x lg 2x22．已知函数 ， f 1 1 0 ，当 x 0时，恒有 f x f lg x．
ax b x
（1）求 f x 的表达式及定义域；
（2）若方程 f x lg t有解，求实数 t的取值范围；
（3）若方程 f x lg 8x m 的解集为 ，求实数m的取值范围．
答案
1．C 2．B 3．A 4．D
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5．D【详解】因为 2π 5
3π
，所以 是第一象限角，
2
y 5
6．B【详解】由题意得 y 1
22 y2 5
，解得 ，
7．D【详解】设 2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过 200亿元，
n 5 lg5 lg3 1 lg2 lg3
由120 (1 9%) n 200 得 (1.09) ，两边同取常用对数，得 n 5.93
3 lg1.09 lg1.09
，所以 n 6，
所以从 2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过 200亿元.
8．D【详解】由 f x 2 x 1 x 1 2可得：f x 1 2 x x 2 ，则 f x 1 2 x x 2 2 x x 2 f x 1 ，
所以函数 y f x 1 是偶函数，则函数 y f x 1 的图象关于直线 x 0对称，所以函数 f x 的图象关于
直线 x 1对称，又 x 1时， f x 2x 1 x 1 2在 1, 上单调递增，则 f x 在 ,1 上单调递减，
若 f log3a f 2 ，则 f log3 a 1 f 2 1 ，即 log3 a 1 1，所以 log3 a 2 或 log3 a 0，解得：a 9
或 0 a 1，所以实数 a的取值范围是 0,1 9, ，
9．AD
10．AC【详解】对于 A，因为 y x0.3在 (0, )上递增，且1.2 1.3，所以1.20.3 1.30.3，所以 A正确，
对于 B，因为 y 0.2x 在 R上递减，且0.3 0.2，所以0.20.3 0.20.2，所以 B错误，
对于 C，因为 y log0.3 x在 (0, )上递减，且1.2 1.3，所以 log0.31.2 log0.31.3 ，所以 C正确，
对于 D，因为 log1.2 0.3 log1.21 0， log0.2 0.3 log0.21 0 ，所以 log1.2 0.3 log0.2 0.3，所以 D错误，
11．BCD【详解】对于 A，由 x2 2x 3 0，解得 x 1，或 x 3，故函数定义域为 ( , 1) (3, ) ，
由复合函数的单调性可知该函数的减区间为 3, ，故 A错；
2 1
对于 B， f x 1 x ，由于 y ex 1在 x R 单调递增，且 ex 1 0，所以 y 在R 上单调递减，e 1 ex 1
y 2 x 在R 上单调递增，因此 f x 在R 上单调递增，B正确；e 1
对于 C，当 x 0时， y lg x （即 y lg x）在区间 0, 上单调递增，又因为 y lg x 为偶函数，其图象
关于 y轴对称，所以在区间 ,0 上单调递减，C正确；
1 x
对于 D，由于函数 y 与 y log1x （即 y log x）互为反函数．所以两函数图象关于 y x3 对称，D
3 3
正确．
12．ACD【详解】当 x 0时，函数 f (x) x 2 2x 1在 ( , 1)上递减，函数值集合为 (0, )，在 ( 1,0)上
递增，函数值集合为(0,1)，当 x 0时，函数 f (x) | ln x 2 |在 (0,e2 )上递减，函数值集合为 (0, )，在 (e2 , )
上递增，函数值集合为 (0, )，作出函数 y f (x)的部分图象，如图，
方程 f (x) k有四个不同的实数解，等价于函数 y f (x)的图象与直线 y k有 4个公共点，
观察图象知，当0 k 1时，函数 y f (x)的图象与直线 y k有 4个公共点，
即方程 f (x) k有四个不同的实数解，A正确；
因为二次函数 y x2 2x 1图象对称轴为 x= 1，因此 x1 x2 2，B不正确；
当 x (0,e2)时， f (x) 2 ln x ，由 f (x) 2 ln x k ，0 k 1，得 e x e2 2，因此 e x3 e ，C正确；
当 x 0时， e x e 23 x4 ，由 f (x3 ) f (x4 ) k，得 2 ln x3 ln x4 2，解得 x3x
4
4 e ，
x1 1 x2 0且 x1 x2 2，则 x1x2 ( 2 x2)x2 (x2 1)
2 1，有0 x x 1 0 x x x 41 2 ，所以 1 2 3x4 e ，D
正确.
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13 5
1 5
． 【详解】根据任意角的三角函数定义，得 cos
5 ( 1)2 22 5
2 1 2 1
14．12【详解】由题设，m log2 k ， n log3 k，所以 logk 4 log 3 log 12 1m n log2 k log3 k
k k ，
则 k 12 .
15 log 4 log 9x 4 x 1 log 9x x 1 2． 3 【详解】由 3 ，得 3 4 log3 3 ，所以9x 4 3x 1，即 3x 4 3 3x ，
即 3x 4 3x 1 0，所以3x 4或3x 1（舍去），所以 x log3 4 .
1
16． , 2

【详解】 f x log2 x2 ax 3a 在区间 1, 上单调递增所以 x2 ax 3a在区间 1, 上单调 2
a 1 1
递增所以对称轴 x 1，解得 a 2 当 x 1时， x2 ax 3a 0，解得 a ，a的取值范围是
2 2
, 2
2
3 1
17．（1） （2）79
2 2
【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）根据对数的运算法则及性质化简求值.
1
1 1 3 3 0 2 3 27
1
【详解】（1）1 32 3 7 103 1 3 ( )3 12 3 8 (2 3)(2 3) 8
3 1 3
1 3 2 3 (3) 3 1
2 2
2 4 log 3 4 4 log 1
1
4
（ ） log2 0.25 ln e 2 2 lg 4 2lg5 2 2 ln e 2 2
log2 3 lg 4 lg5 2 42 4
4
2 1 81 lg100 2 1 79
2 2
1 1
18．(1) , ；(2)函数 f x 为奇函数，证明见解析；(3)见解析.
2 2
1 2x 0
【详解】（1）根据题意，函数 f x log 1 2x log 1 2x 1 x 1a a ，所以 ，解可得 ，
1 2x 0 2 2
1 1
所以函数 f x 的定义域为 ,2 2 ；
1 1
（2）由（1）得函数 f x 的定义域为 , ，关于原点对称，因为函数 f x loga 1 2x loga 1 2x ，
2 2
所以 f x loga 1 2x loga 1 2x loga 1 2x loga 1 2x f x ，所以函数 f x 为奇函数.
（3）根据题意， loga 1 2x loga 1 2x 0即 loga 1 2x loga 1 2x ，
1 2x 0

当 a 1时，有 1 2x 0 0 x
1 1
，解可得 ，此时不等式的解集为 0, ；
2
2
1 2x 1 2x

1 2x 0
1 1
当 0 a 1时，有 1 2x 0 ，解可得 x 0，此时不等式的解集为 ,02 2 1 2x 1 2x

所以当 a 1时，不等式的解集为 0,
1 1
；当 0 a 1时，不等式的解集为 ,0 .
2 2
8π 4π
19．(1)面积为 cm2 ，弧 AB的长为 cm (2) 4 10 ， AOB 2
3 3
π 4π
【详解】（1）由题意知，设 AOB，所以 根据扇形弧长 l R cm；扇形面积
3 3
S 1 8π R 2 cm2 ；
2 3
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S lR 20（2）由 10 l 20 20，即 ，扇形的周长为 2R l 2R 2 2R 4 10 当且仅当
2 R 10cm
等号
R R R
成立，所以由 l R
20 20
知： AOB 2 2．R R
1
20．(1) a ，定义域为 (2,5)
5
；(2)最大值是 log2 ，2 2
f (3) log 2 log 2 2 a 1
2x 4 0
【详解】（1）由已知 a a ， ， 2 x 5 (2,5)5 x 0 ，定义域为 ；2
（2） f (x) log 1 (2x 4) log 1 (5 x) log 1 (2x 4)(5 x) log 1 ( 2x
2 14x 20)，
2 2 2 2
2x2 14x 20 2(x 7)2 9 3 x 9 5 2(x 7 9 9 2， ，则 ) ，
2 2 2 2 2 2 2
所以 log
9
1 log 1 ( 2x
2 14x 20) 5 5 5 log 9
2 1 ，
x
2 时取等号，最大值为
log 1 log ；
2 2 2 2
2
2 2 2
4log t 1 , (0 t 1)
2
22 t．(1)C t (2)第二次服药最迟是当天下午 13：00服药(3)4.7μg
8 2
2
, t 1
2


【详解】（1）当0 t 1时，C t 4 loga t 1 ，把 A(1,8)代入可得8 4log a 2，
解得： a 2，所以当0 t 1时，C t 4 log 2 t 1 ，
当 t 1时，把 A(1,8)、B(7,1) kt代入C t C0 e （k，a是常数），
C 8 2 4log t 1 , (0 t 1) C e k 8 0
t 2
0
得 7k ，解得 2 ，所以CC e 1 t 8 2
2
故C t
t
，
0 k ln 2
2
8 2
2
, t 1
2
t 1
t
（2）设第一次服药后最迟过 t小时服第二次药，则 2 ，解得： t 5，
8 2 2
2
即第一次服药后5h后服第二次药，也即下午 13：00服药；
8
2 2
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为： y1 8 2 g
2 2
3
2
每毫升血液中含第二次服药后剩余量为： y2 8 2 4 g 所以此时两次服药剩余的量为
2
2
4 4.7μg故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg
2
23．（1） f (x) lg
2x
， , 1 0, ；（2） 0,2 U 2, ；（3）0 m 18．
x 1
2
1 2x
【详解】（1）∵当 x 0时， f x f lgx ． lg lg xa lg x， x ax b b
x
2x 2 2x a bxlg lg lg x lg lg x 2x a bx即 ，即 ， x．整理得 a b x2 a b x 0恒ax b a bx ax b 2 ax b 2
成立，∴ a b，又 f 1 0，即 a b 2，从而 a b 1．
f (x) lg 2x 2x∴ ，∵ 0，∴ x 1，或 x 0，∴ f x 的定义域为 , 1 0, ．
x 1 x 1
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（2）方程 f x lgt 有解，即 lg 2x 2x lg t，∴ t ，∴ x 2 t t，∴ x t ，
x 1 x 1 2 t
t 1 t∴ ，或 0，解得 t 2或0 t 2，∴实数 t的取值范围 0,2 U 2, ．
2 t 2 t
（3）方程 f x lg 8x m 的解集为 ，
∴ lg
2x
lg 8x 2x m ，∴ 8x m，
x 1 x 1
∴8x2 6 m x m 0，
方程的解集为 ，故有两种情况：
2
①方程8x 6 m x m 0无解，即 ，得 2 m 18，
2
②方程8x 6 m x m 0有解，
两根均在 1,0 内， g x 8x2 6 m x m，
0
g 1 0

则 g 0 0 解得0 m 2．

1 6 m 0
16
综合①②得实数m的取值范围是0 m 18．
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