08冲刺 中考数学 探索性问题怎样解
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冲刺 中考数学 探索性问题怎样解
规律探索
【简析】
规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳、揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题．
通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：
1． 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。
2． 结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目。
3． 存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。
4． 规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目。
由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律。
2.反演推理法(反证法),即假设结论成立,根据假设进行推理,看是推导出矛盾还是能与已知条件一致。
3．分类讨论法。当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果。
4．类比猜想法。即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证。
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用。
【典型考题例析】
（一）、条件探索型
例1．（2007呼和浩特市）在四边形中，顺次连接四边中点，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形．这个条件是 ．
解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）
例2．（2007荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．
(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．
(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．
(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)
解：(1)是，此时ADBC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(2)是，在平移过程中，始终保持ABC1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(3)，此时∠ABC1=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
，此时点D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（二）、结论探索型
例3．（2007云南省）已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE =AD，DF⊥AE，垂足为F． 请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．
解：经探求，结论是：DF = AB．
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B = ， AD∥BC，
∴ ∠DAF = ∠AEB．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD = ，
∵ AE = AD ，
∴ ABE ≌DFA．
∴ AB = DF．
例4．（2007北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点分别在上，
设相交于点，若，．
请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形
是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）．
（2）答：与相等的角是（或）．
四边形是等对边四边形．
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形．
证法一：如图1，作于点，作交延长线于点．
因为，为公共边，
所以．
所以．
因为，
，
所以．
可证．
所以．
所以四边形是等边四边形．
证法二：如图2，以为顶点作，交于点．
因为，为公共边，
所以．
所以，．
所以．
因为，
，
所以．
所以．
所以．
所以．
所以四边形是等边四边形．
说明：当时，仍成立．只有此证法，只给1分．
（三）、存在探索型
存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在.
例5．(2006山东省威海市)抛物线y = ax2+bx+c (a≠0)过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点.⑴求该抛物线的解析式.
⑵试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90.若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标.
解：⑴ y= x2 4x ⑵ 易求得顶点M的坐标为(2，4).
设抛物线上存在一点P，使OP⊥OM，其坐标为(a，a2 4a).
过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，
则∠POE+∠MOF=90，∠POE+∠EPO=90.∴∠EPO=∠FOM.
∵∠OEP=∠MFO=90，∴Rt△OEP∽Rt△MFO.
∴OE∶MF=EP∶OF.即(a2 4a)∶2=a∶4.解得a1 =0(舍去)，a2 =.
故抛物线上存在一点P，使∠POM=90，P点的坐标为(,)
（四）、规律探索型
规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.
例6．（2007资阳）设a1=32-12，a2=52-32，…，an=(2n+1)2-(2n-1)2 (n为大于0的自然数).
(1) 探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
(2) 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数(不必说明理由) .
解：(1) ∵ an=(2n+1)2-(2n-1)2=，
又 n为非零的自然数，∴ an是8的倍数.
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数 .
说明：第一步用完全平方公式展开各1分，正确化简1分.
(2) 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256.
n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数 。
练习
1．（2007内江）如图（11），某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置出发沿街道行进到达位置，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有 种．
解：10种
2．（2007内江）探索研究
（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ；
（2）如果欲求的值，可令
……………………………………………………①
将①式两边同乘以3，得
………………………………………………………②
由②减去①式，得 ．
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为，则 （用含的代数式表示），如果这个常数，那么 （用含的代数式表示）．
．解：（1）2； 218； 2n；
（2）3S＝3＋32＋33＋34＋…＋321； S＝；
（3）a1qn-1； 。
3．（07自贡）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．
解；（或（只填一个均可））
4．（2007德阳）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第个点的坐标为____________．
解；（14，8）
5．（2007河南省）将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②,再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③, 再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…,则第n个图形中,共有________个正六边形.
解；
(3n－2)
6．（2007安徽省）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；
当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5。
(1) 观察图形，填写下表：
钉子数(n×n) S值
2×2 2
3×3 2+3
4×4 2＋3＋( )
5×5 ( )
(2) 写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)
【解】
(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式。
【解】
（1）4，2＋3＋4＋5（或14）
（2）类似以下答案均给满分：（i）n×n的钉子板比(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种；（ii）分别用a，b表示n×n与(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数，则a=b＋n。
（3）S=2＋3＋4＋…＋n
7．（07贵阳市）如图12，平面内有公共端点的六条射线，，，，，，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 上．
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．
（3）“2007”在哪条射线上？
（1）“17”在射线上．
（2）射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
（3）在六条射线上的数字规律中，只有有整数解．解为
“2007”在射线上．
8．（07无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．
图１ 图2 图3 图4
如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
（1）67． 2分
（2）图4中所有圆圈中共有个数，
其中23个负数，1个0，54个正数，
图4中所有圆圈中各数的绝对值之和
9．（07乐山）如图（15），在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，（为正整数）
（1）求点的坐标；
（2）求的面积；
（3）我们规定：把点（）
的横坐标、纵坐标都取绝对值后得到的新坐标
称之为点的“绝对坐标”．
根据图中点的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．
（1）根据旋转规律，点落在轴的负半轴，而点到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的倍，故其坐标为，即． 3分
（2）由已知可得，
，
设，则
又
，
（3）由题意知，旋转次之后回到轴正半轴，在这次中，点分别落在坐标象限的平分线上或轴或轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点的坐标可分三类情况：
令旋转次数为
①当或时（其中为自然数），点落在轴上，
此时，点的绝对坐标为；
②当或或或时（其中为自然数），点落在各象限的平分线上，
此时，点的绝对坐标为，即
③当或时（其中为自然数），点落在轴上，
此时，点的绝对坐标为．
10．（07山东东营）根据以下10个乘积，回答问题：
11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；
16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）
⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；
14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42；
17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202－12；
20×20＝202－02．
例如，11×29；假设11×29=□2－○2，
因为□2－○2=（□＋○）（□－○）；
所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29．
解得，□＝20，○＝9．故．
（或11×29＝（20－9）（20＋9）=202－92 ．
⑵ 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：
．
⑶ ① 若，a，b是自然数，则ab≤202＝400．
② 若a＋b＝40，则ab≤202＝400．
③ 若a＋b＝m，a，b是自然数，则ab≤．
④ 若a＋b＝m，则ab≤．
⑤ 若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝40．且
| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| an－bn|，
则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn．
⑥若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝m．且
| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| an－bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn．
说明：给出结论①或②之一的得1分；给出结论③或④之一的得2分；
给出结论⑤或⑥之一的得3分．
A
B
D
E
F
G
H
C
图1
图2
图3
图4
F
A
D
C
E
B
图1
图2
图2-2-33
图（11）
O
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0)
x
(5,1)
(4,1)
(3,1)
(2,1)
(3,2)
(4,2)
(4,3)
(5,4)
(5,3)
(5,2)
y
第17题图
图①
图②
图③
(第13题)
……
图12
1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
第2层
第1层
……
第n层
O
x
y
图（15）
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冲刺 中考数学 探索性问题怎样解
规律探索
【简析】
规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳、揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题．
通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：
1． 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。
2． 结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目。
3． 存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。
4． 规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目。
由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律。
2.反演推理法(反证法),即假设结论成立,根据假设进行推理,看是推导出矛盾还是能与已知条件一致。
3．分类讨论法。当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果。
4．类比猜想法。即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证。
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用。
【典型考题例析】
（一）、条件探索型
例1．（2007呼和浩特市）在四边形中，顺次连接四边中点，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形．这个条件是 ．
解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）
例2．（2007荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．
(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．
(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．
(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)
解：(1)是，此时ADBC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(2)是，在平移过程中，始终保持ABC1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(3)，此时∠ABC1=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
，此时点D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（二）、结论探索型
例3．（2007云南省）已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE =AD，DF⊥AE，垂足为F． 请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．
解：经探求，结论是：DF = AB．
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B = ， AD∥BC，
∴ ∠DAF = ∠AEB．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD = ，
∵ AE = AD ，
∴ ABE ≌DFA．
∴ AB = DF．
例4．（2007北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点分别在上，
设相交于点，若，．
请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形
是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）．
（2）答：与相等的角是（或）．
四边形是等对边四边形．
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形．
证法一：如图1，作于点，作交延长线于点．
因为，为公共边，
所以．
所以．
因为，
，
所以．
可证．
所以．
所以四边形是等边四边形．
证法二：如图2，以为顶点作，交于点．
因为，为公共边，
所以．
所以，．
所以．
因为，
，
所以．
所以．
所以．
所以．
所以四边形是等边四边形．
说明：当时，仍成立．只有此证法，只给1分．
（三）、存在探索型
存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在.
例5．(2006山东省威海市)抛物线y = ax2+bx+c (a≠0)过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点.⑴求该抛物线的解析式.
⑵试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90.若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标.
解：⑴ y= x2 4x ⑵ 易求得顶点M的坐标为(2，4).
设抛物线上存在一点P，使OP⊥OM，其坐标为(a，a2 4a).
过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，
则∠POE+∠MOF=90，∠POE+∠EPO=90.∴∠EPO=∠FOM.
∵∠OEP=∠MFO=90，∴Rt△OEP∽Rt△MFO.
∴OE∶MF=EP∶OF.即(a2 4a)∶2=a∶4.解得a1 =0(舍去)，a2 =.
故抛物线上存在一点P，使∠POM=90，P点的坐标为(,)
（四）、规律探索型
规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.
例6．（2007资阳）设a1=32-12，a2=52-32，…，an=(2n+1)2-(2n-1)2 (n为大于0的自然数).
(1) 探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
(2) 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数(不必说明理由) .
解：(1) ∵ an=(2n+1)2-(2n-1)2=，
又 n为非零的自然数，∴ an是8的倍数.
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数 .
说明：第一步用完全平方公式展开各1分，正确化简1分.
(2) 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256.
n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数 。
练习
1．（2007内江）如图（11），某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置出发沿街道行进到达位置，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有 种．
解：10种
2．（2007内江）探索研究
（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ；
（2）如果欲求的值，可令
……………………………………………………①
将①式两边同乘以3，得
………………………………………………………②
由②减去①式，得 ．
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为，则 （用含的代数式表示），如果这个常数，那么 （用含的代数式表示）．
．解：（1）2； 218； 2n；
（2）3S＝3＋32＋33＋34＋…＋321； S＝；
（3）a1qn-1； 。
3．（07自贡）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．
解；（或（只填一个均可））
4．（2007德阳）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第个点的坐标为____________．
解；（14，8）
5．（2007河南省）将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②,再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③, 再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…,则第n个图形中,共有________个正六边形.
解；
(3n－2)
6．（2007安徽省）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；
当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5。
(1) 观察图形，填写下表：
钉子数(n×n) S值
2×2 2
3×3 2+3
4×4 2＋3＋( )
5×5 ( )
(2) 写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)
【解】
(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式。
【解】
（1）4，2＋3＋4＋5（或14）
（2）类似以下答案均给满分：（i）n×n的钉子板比(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种；（ii）分别用a，b表示n×n与(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数，则a=b＋n。
（3）S=2＋3＋4＋…＋n
7．（07贵阳市）如图12，平面内有公共端点的六条射线，，，，，，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 上．
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．
（3）“2007”在哪条射线上？
（1）“17”在射线上．
（2）射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
（3）在六条射线上的数字规律中，只有有整数解．解为
“2007”在射线上．
8．（07无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．
图１ 图2 图3 图4
如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
（1）67． 2分
（2）图4中所有圆圈中共有个数，
其中23个负数，1个0，54个正数，
图4中所有圆圈中各数的绝对值之和
9．（07乐山）如图（15），在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，（为正整数）
（1）求点的坐标；
（2）求的面积；
（3）我们规定：把点（）
的横坐标、纵坐标都取绝对值后得到的新坐标
称之为点的“绝对坐标”．
根据图中点的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．
（1）根据旋转规律，点落在轴的负半轴，而点到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的倍，故其坐标为，即． 3分
（2）由已知可得，
，
设，则
又
，
（3）由题意知，旋转次之后回到轴正半轴，在这次中，点分别落在坐标象限的平分线上或轴或轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点的坐标可分三类情况：
令旋转次数为
①当或时（其中为自然数），点落在轴上，
此时，点的绝对坐标为；
②当或或或时（其中为自然数），点落在各象限的平分线上，
此时，点的绝对坐标为，即
③当或时（其中为自然数），点落在轴上，
此时，点的绝对坐标为．
10．（07山东东营）根据以下10个乘积，回答问题：
11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；
16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）
⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；
14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42；
17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202－12；
20×20＝202－02．
例如，11×29；假设11×29=□2－○2，
因为□2－○2=（□＋○）（□－○）；
所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29．
解得，□＝20，○＝9．故．
（或11×29＝（20－9）（20＋9）=202－92 ．
⑵ 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：
．
⑶ ① 若，a，b是自然数，则ab≤202＝400．
② 若a＋b＝40，则ab≤202＝400．
③ 若a＋b＝m，a，b是自然数，则ab≤．
④ 若a＋b＝m，则ab≤．
⑤ 若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝40．且
| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| an－bn|，
则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn．
⑥若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝m．且
| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| an－bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn．
说明：给出结论①或②之一的得1分；给出结论③或④之一的得2分；
给出结论⑤或⑥之一的得3分．
A
B
D
E
F
G
H
C
图1
图2
图3
图4
F
A
D
C
E
B
图1
图2
图2-2-33
图（11）
O
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0)
x
(5,1)
(4,1)
(3,1)
(2,1)
(3,2)
(4,2)
(4,3)
(5,4)
(5,3)
(5,2)
y
第17题图
图①
图②
图③
(第13题)
……
图12
1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
第2层
第1层
……
第n层
O
x
y
图（15）
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