八年级期末复习大串讲+练 专题六 全等三角形的常见辅助线（一）

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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题六 全等三角形的常见辅助线（一）
类型一 半角模型构造全等三角形
过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.
半角模型
方法：①利用旋转构造全等三角形； ②利用翻折构造全等三角形。
典例剖析1
【例1-1】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是　 　；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【例1-2】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．
小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　 　（直接写结论，不需证明）；
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．
针对练习1
1 .已知：边长为1的正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点．
（1）若MN＝BM+ND，求证：∠MAN＝45°；
（2）若△MNC得周长为2，求∠MAN的度数．
2 .综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　．
类型二 对角互补模型构造全等三角形
对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
方法：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
典例剖析2
【例2-1】如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA＝PE．
（1）求证：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．
【例2-2】（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【例2-3】（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 　 　；则中线AD的取值范围是 　　 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF　　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF　 EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；
（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝　 　（用含α的代数式表示）.
针对练习2
1 .如图，，，，，垂足为．
（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：．
2 .在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形
经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝
（2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．
3 .已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120 ，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
类型三 平移模型
把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.
【常见模型】
常用解题思路:
（1）在平移的直线上,根据线段的和(差)中点等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等.
【例3-1】我们知道两个全等的直角三角形（△ABD和△ACE）可以拼成一个等腰三角形（如图1），那么对其中一个直角三角形作适当改变又能得到什么结论呢？现在我们一起来探究吧．
(1)如图2，将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC，求证：MB＝MC．
(2)将CE向上平移，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC．
①如图3，当∠CAE=∠BAD时，求证：MB＝MC；
②当∠CAE＞∠BAD时，在图4中补全相应的图形，并直接写出MB、MC的数量关系_______．
【例3-2】）数学活动—三角形平移中的数学问题．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片和的斜边放在同一直线上，其中，顶点C与顶点E重合．
(1)独立思考：将向左平移使得AC的中点G恰好落在DE上，连接AE，CD，AD，如图2，试判断四边形AECD的形状并证明．
(2)合作交流：①“希望”小组受此问题的启发，将沿CB方向平移，使得DE与AB交于点M，DF交AC于点N，DF交AB于点H，如图3，求证：．
②“希望”小组还发现图3中还有其它相等的线段，在不添加字母的前提下，请你再写出一组相等的线段．
(3)提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，在图3的基础上继续探索．
“爱心”小组提出的问题是：如图3，若M恰好是DE的中点，请直接写出线段HM的长度，请解答“爱心”小组提出的问题．
针对练习3
1.如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC为格点三角形．
(1)如图1，计算图中格点△ABC的面积为_______；
(2)如图，图2、图3、图4都是6×6的正方形网格，点M、点N都是格点
①在图2中作格点△MNP，使△MNP，与△ABC全等；
②在图3中作格点△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图4中作格点△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称．
2 .如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
3 .如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，．给出下列三个条件：①，②，③．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件序号为______，你判定的依据是______（填“”或“”或“”或“”）；
(2)请用（1）中所选条件证明；
(3)可看作是由沿方向平移得到的，过B作于M，当，，是以为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离的长．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题六 全等三角形的常见辅助线（一）（解析版）
类型一 半角模型构造全等三角形
过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.
半角模型
方法：①利用旋转构造全等三角形； ②利用翻折构造全等三角形。
典例剖析4
【例1-1】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是　 　；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【思路引领】（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论；
（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答；
（3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答．
解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
（2）（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF∠BAD，
∴∠3+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，
同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EH，
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键．
【例1-2】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．
小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　 　（直接写结论，不需证明）；
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．
【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）成立，理由详见解析；（3）14．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，由“SAS”可证△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再由“SAS”可证△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
（2）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题；
（3）延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，由“SAS”可证△ABH≌△CBF，可得BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，由“SAS”可证△EBH≌△EBF，可得EF＝EH，可得EF＝EH＝AE+CF，即可求解．
【详解】证明：（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，
∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，
∴∠EAF＝∠FAG＝50°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵2∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF，
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD；
（3）如图，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAH＝∠BCF＝90°，
又∵AH＝CF，AB＝BC，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，
∵∠EBF＝45°，
∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，
∴∠EBH＝∠EBF，
又∵BH＝BF，BE＝BE，
∴△EBH≌△EBF（SAS），
∴EF＝EH，
∴EF＝EH＝AE+CF，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝14．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
针对练习1
1 .已知：边长为1的正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点．
（1）若MN＝BM+ND，求证：∠MAN＝45°；
（2）若△MNC得周长为2，求∠MAN的度数．
【思路引领】（1）延长CB到E，使BE＝DN，连接AE，因为∠D＝∠B，AD＝AB，DN＝BE，所以△ABM≌△ADN，则有∠BAM＝∠DAN，AN＝AE，又因为MN＝BM+DN，BM＝DN，所以△AEM≌△ANM，故∠EAM＝∠NAM＝∠EAN＝90°，即∠MAN＝45°；
（2）延长CB至E，使BE＝DN，则Rt△ABE≌Rt△AND，故AE＝AN，进而求证△AMN≌△AME，即可求得∠MAN＝∠MAE＝45°．
【解答】（1）证明：延长CB到E，使BE＝DN，连接AE，
∵∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，DN＝BE，
∴∠ABE＝∠D＝90°，
∴△ABE≌△ADN．
∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN，
∵MN＝BM+ND＝BM+BE＝ME，AM＝AM，
∴△AME≌△AMN（SSS），
∴∠EAM＝∠NAM．
∴∠MAN＝∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM，
∵∠EAN＝90°，
∴∠MAN＝45°．
（2）解：如图，延长CB到E，使BE＝DN，连接AE，
∵∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，DN＝BE，
∴∠ABE＝∠D＝90°，
∴△ABE≌△ADN．
∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN，
∴∠EAN＝∠DAB＝90°，
又MN＝2﹣CN﹣CM＝DN+BM＝BE+BM＝ME，
∴△AMN≌△AME，
∴∠MAN＝∠MAE＝45°．
【总结提升】此题把全等三角形的判定和性质结合求解，有利于培养学生综合运用数学知识的能力．
2 .综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　．
【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析
【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC ，∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，
∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（2）MN=AM+CN；理由如下：
如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（3）MN=CN-AM，理由如下：如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，
∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CB M'，
∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，∴∠MA M'=∠ABC，
∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN，
∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，
∵M'N=CN-C M'， ∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM
类型二 对角互补模型构造全等三角形
对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
方法：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
典例剖析2
【例2-1】如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA＝PE．
（1）求证：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA＝PC，由于PA＝PE，得PC＝PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，进而得∠DAP＝∠DCP，由PA＝PC，得到∠DAP＝∠E，∠DCP＝∠E，最后∠CPE＝∠EDF＝90°得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∴∠CPB＝∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB＝180°，
∴∠PEB+∠PCB＝180°，
∴∠ABC+∠EPC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EPC＝90°；
（3）∠ABC+∠EPC＝180°，
理由：解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠DCP，
∴∠PAE＝∠PEA，
∴∠CPB＝∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB＝180°，
∴∠PEB+∠PCB＝180°，
∴∠ABC+∠EPC＝180°．
【例2-2】（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2，
理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，
在△DCG与△DBE中，
，
∴△DCG≌△DBE（SAS），
∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分线段EG，
∴FG＝FE，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠FCG＝90°，
在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，
∴EF2＝BE2+CF2；
（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，
理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，
∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，
∴∠MBD＝∠C，
在△BDM和△CDF中，
，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，
∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，
在△DEM和△DEF中，
，
∴△DEM≌△DEF（SAS），
∴EF＝EM，
∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．
【例2-3】（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 　 　；则中线AD的取值范围是 　　 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF　　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF　 EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；
（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝　 　（用含α的代数式表示）.
【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4；
（2）如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG，
∵点D是BC的中点，
∴DB＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵ED⊥FD，FD＝GD，
∴EF＝EG，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF，
故答案为：＞；
（3）BE+DF＝EF，
如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠D，
又∵CB＝CD，BG＝DF，
∴△CBG≌△CDF（SAS），
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
∴∠DCF+∠BCE＝70°，
∴∠BCE+∠BCG＝70°，
∴∠ECG＝∠ECF＝70°，
又∵CE＝CE，CG＝CF，
∴△ECG≌△ECF（SAS），
∴EG＝EF，
∵BE+BG＝EG，
∴BE+DF＝EF，
故答案为：＝；
（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
若BE+DF＝EF，
则EG＝EF，
∴△ECF≌△ECG（SSS），
∴∠ECG＝∠ECF，
∴∠BCD＝2∠ECF＝2α，
故答案为：2α．
针对练习2
1 .如图，，，，，垂足为．
（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：．
【解答】证明：（1），
，，，
在和中，，；
（2），，，由（1）知，，
，，，；
（3）延长到，使得，，，
在和中，，，，，
，，，，
，，，，
在和中，，，，
，．
2 .在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形
经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝
（2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．
【答案】（1）△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）连接AD，根据∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，可以得到∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，从而可以证明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，由∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，可得∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，即可证明；
（2）连接AD，同样证明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，再由∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，即可得到∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，即可证明．
【详解】解：（1）如图所示，连接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，
∴∠B=∠BAD=∠CAD，在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；故答案为：△BDE，△ADF，90°；
（2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由如下：连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠ABC=∠C=45°，AD⊥BC，，，
∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD，
在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
3 .已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120 ，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120 ，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60 （角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60 ，
∴∠MCO=90 -60 =30 ，∠NCO=90 -60 =30 ，
∴∠MCN=30 +30 =60 ，∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；
【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．
类型三 平移模型
把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.
【常见模型】
常用解题思路:
（1）在平移的直线上,根据线段的和(差)中点等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等.
【例3-1】我们知道两个全等的直角三角形（△ABD和△ACE）可以拼成一个等腰三角形（如图1），那么对其中一个直角三角形作适当改变又能得到什么结论呢？现在我们一起来探究吧．
(1)如图2，将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC，求证：MB＝MC．
(2)将CE向上平移，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC．
①如图3，当∠CAE=∠BAD时，求证：MB＝MC；
②当∠CAE＞∠BAD时，在图4中补全相应的图形，并直接写出MB、MC的数量关系_______．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②补全图形见解析，MB＝MC
【分析】（1）根据三角形SAS判定定理证明三角形△BDM≌△CEM，证得MB＝MC．
（2）先根据三角形ASA判定定理证明△ECM≌△DFM，再证明△BFM是等边三角形，证得MB＝MF＝MC；根据图4直接写出MB＝MC．
（1）如图2，依题意可知：∠ADB＝∠AEC，BD=CE，AD=AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADB﹣∠ADE＝∠AEC﹣∠AED，即：∠MDB＝∠MEC， ∵M是DE的中点，∴MD＝ME，在△BDM和△CEM中，∴△BDM≌△CEM（SAS），∴MB＝MC；
（2）①如图3，延长CM交BD于点F．∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴EC∥DF，∴∠CEM＝∠FDM， 在△ECM和△DFM中，，∴△ECM≌△DFM（ASA），∴CM＝FM， ∵∠BCM＝30°，∴∠BFM＝60°，BF＝CF＝FM，∴△BFM是等边三角形，∴MB＝MF＝MC． ②补全图形如图4，MB＝MC．
【点睛】此题考查了三角形判定定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出所需要的条件证明三角形全等得出相应的结论．
【例3-2】）数学活动—三角形平移中的数学问题．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片和的斜边放在同一直线上，其中，顶点C与顶点E重合．
(1)独立思考：将向左平移使得AC的中点G恰好落在DE上，连接AE，CD，AD，如图2，试判断四边形AECD的形状并证明．
(2)合作交流：①“希望”小组受此问题的启发，将沿CB方向平移，使得DE与AB交于点M，DF交AC于点N，DF交AB于点H，如图3，求证：．
②“希望”小组还发现图3中还有其它相等的线段，在不添加字母的前提下，请你再写出一组相等的线段．
(3)提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，在图3的基础上继续探索．
“爱心”小组提出的问题是：如图3，若M恰好是DE的中点，请直接写出线段HM的长度，请解答“爱心”小组提出的问题．
【答案】(1)矩形，理由见解析
(2)①见解析；②（或者等）
(3)
【分析】（1）只需要证明AC与DE互相平分即可证明四边形AECD是矩形；
（2）①只需要证明△MBE≌△NFC得到MB=NF，即可证明；②由△ABC≌△DFE，得到AB=DF，即可证明，；
（3）如图所示，连接AD，由△ABC≌△DFE，得到点D到EF的距离与点A到BC的距离相等，得到，证明△DAM≌△EBM（AAS），得到，设，则，在Rt△MDH中，由，得到，由此求解即可．
(1)
四边形AECD是矩形
理由如下
，
，
，
点G是AC的中点，
，
，
∴，
∴AG=CG，DG=EG，
∴四边形AECD是平行四边形，
又AC=DE，
四边形AECD是矩形；
(2)
解：① ∵，
，，，
∴，即BE=FC，
∴△MBE≌△NFC（ASA）
∴MB=NF，
∴HB-MB=HF-NF，即；
② ∵△ABC≌△DFE，
∴AB=DF，
∵HB=HF，
∴AB-HB=DF-HF，即，
同理可证；
(3)
解：如图所示，连接AD，
∵△ABC≌△DFE，
∴点D到EF的距离与点A到BC的距离相等，
∴，
∴∠DAM=∠EBM，∠BEM=∠ADM，
∵M是DE的中点，
∴ME=MD=3，
∴△DAM≌△EBM（AAS），
∴，
设，则，
在Rt△MDH中，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，矩形的判定，图形的平移等等，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．
针对练习3
1.如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC为格点三角形．
(1)如图1，计算图中格点△ABC的面积为_______；
(2)如图，图2、图3、图4都是6×6的正方形网格，点M、点N都是格点
①在图2中作格点△MNP，使△MNP，与△ABC全等；
②在图3中作格点△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图4中作格点△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析；③见解析
【分析】（1）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得出答案；
（2）依据平移，旋转，轴对称的性质即可画出图形．
（1）△ABC的面积为：，故答案为：；
（2）①如图，即为所求．②如图，即为所求．③如图，即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换，平移变换，全等变换等知识，熟练掌握网格中作图方法是解题的关键．
2 .如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
【答案】（1）甲、丙；（2）见详解
【分析】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A=∠D，只需要添加一个能得出对应边相等的条件，即可证明两个三角形全等，添加AC//DF不能证明△ABC≌△DEF；
（2）添加AB=DE，再由条件AB∥DE可得∠B＝∠DEC，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．
【详解】（1）解：∵AB//DE，
∴∠B＝∠DEC，
又∵∠A=∠D，
∴添加AB=DE，可得△ABC≌△DEF（ASA）；添加BE=CF，可得BC=EF，可得△ABC≌△DEF（AAS）
∴说法正确的是：甲、丙，
故答案为：甲、丙；
（2）选“甲”，理由如下：
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3 .如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，．给出下列三个条件：①，②，③．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件序号为______，你判定的依据是______（填“”或“”或“”或“”）；
(2)请用（1）中所选条件证明；
(3)可看作是由沿方向平移得到的，过B作于M，当，，是以为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离的长．
【答案】(1)②，（或③，）
(2)见解析
(3)12或
【分析】(1)根据三角形的判定定理即可解答；
(2)根据(1)所选取的条件，证明三角形全等即可；
(3)首先根据勾股定理可求得的长，再分两种情况，即和，分别计算即可求得．
【详解】（1）解：已知，，
故只要再添加一对角或已知相等角的边，即可使得，
故答案为：②，（或③，）；
（2）证明：选②，
在和中，
，
；
（3）解：如图：
在，，，
，
当时，
是等腰三角形，，
；
当时，
设，则，
在，，
得，
解得，
综上，的长为12或．
【点睛】本题考查了添加条件使三角形全等及证明，等腰三角形的性质，勾股定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
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