5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第一课时）

(共26张PPT)
第5章 三角函数
5.4 三角函数的图象和性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第一课时）
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 1.数学抽象素养.
2.会求正弦函数、余弦函数 的周期； 2.直观想象素养、逻辑推理素养.
3.掌握函数、的奇偶性，会判定简单三角函数的奇偶性. 3.逻辑推理素养.
温故知新
－32°
1.正弦函数、余弦函数的简图怎么画的？
五点作图法
①列表确定五点坐标；
②描点；
③连线.
y＝sin x









y＝cos x
温故知新
2.正弦曲线、余弦曲线.
正弦函数y=sinx的图象（正弦曲线）：
x
y
o
-1
1
-
2
3
4
5
-2
-3
-4

余弦函数y=cosx的图象（余弦曲线）：
x
y
o
-1
1
-
2
3
4
5
-2
-3
-4

新知探究
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？
观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点,这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变换规律.实际上，这一点既可以从定义中看成，也能从诱导公式得到反映，即自变量x的值增加2π的整数倍时对应的函数值，与x对应的函数值相等.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．
x
y
o
-1
1
-
2
3
4
5
-2
-3
-4

正弦函数y=sinx的图象（正弦曲线）：
新知探究
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且
f(x+T) = f(x),
那么函数f(x)就叫做周期函数(period function)，T叫做这个函数的周期（period）.
思考：2π是y=sin x,x∈R 的周期，那么4π，6π，-2π，-4π等是不是它的周期呢
可以发现，以及都是正弦函数的周期.事实上，,常数都是它的周期.
这说明周期函数的周期不止一个.
如果在周期函数所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
如果不加特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期.
新知探究
注意：
⑴判定是周期函数，首先要满足“对每一个x∈D都有x+T∈D”.如果不满足这个条件，它肯定不是周期函数.
判定函数是不是周期函数？
⑵在满足“对每一个x∈D都有x+T∈D”前提下，满足这个条件，对都有.判定函数不是周期函数，只需找到一个,有即可.
⑶周期函数的周期不唯一．若T是函数f(x)的最小正周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是函数f(x)的周期.而周期函数不一定有最小正周期，如常函数
,是周期函数，但没有最小正周期.
正弦余弦函数得周期性：正弦函数y=sin x 和余弦函数y=cos x 都是周期函数；2kπ (k∈Z且 k≠0) 都是它们的周期， 最小正周期 2π.
新知形成
解：
【例1】求下列函数的周期：
⑴， ⑵;
⑶.
⑴由正弦函数的周期为，得
有
分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出,而求出相应的周期.对, “3”作为sinx 的系数,不影响自变量x的变化.
由周期函数得定义可知，的周期为.
新知形成
解：
【例1】求下列函数的周期：
⑴， ⑵;
⑶.
⑵令,得, 则.
分析：对于⑵，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出.
由的周期为，得
于是
所以
由周期函数得定义可知，的周期为.
新知形成
解：
【例1】求下列函数的周期：
⑴， ⑵;
⑶.
⑶令,得, 则.
分析：对于⑶，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出
.
由的周期为，得
于是
所以
由周期函数得定义可知，的周期为.
新知形成
回归例1得解题过程，你能发现函数周期与函数解析式中的哪些有关吗？
函数的周期与解析式中只与系数有关.
对于函数的最小正周期.
设,有
即
=
的最小正周期.
函数或的周期都为.
新知探求
思考：观察正弦曲线和余弦曲线，看它们是否关于原点或y轴对称？能否由此判定它们的奇偶性 ？如何证明？
正弦曲线关于原点O 对称 ,正弦函数y=sinx，x∈R为奇函数 ；余弦曲线关于 y 轴对称,余弦函数y=cos x,x∈R为偶函数.
新知探求
正弦曲线关于原点O 对称 ,正弦函数y=sinx，x∈R为奇函数 ；余弦曲线关于 y 轴对称,余弦函数y=cos x,x∈R为偶函数.
证明：
正余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
新知探求
除坐标原点外，正弦函数图像是否还有其它对称中心，它们的位置特征是什么？
正弦函数图像关于点（成对称中心，均为函数图像与交点，任意两个对称中心横坐标相差.
=
=图像关于点（成对称中心.
新知探求
正弦函数图像是否为轴对称图形 对称轴是否唯一？它们的位置特征是什么？
正弦函数图像关于直线成轴对称，每条对称轴经过图像最高或最低点，任意两条对称轴之间相差.
又
=图像关于直线成轴对称.
新知探求
类比正弦函数，请你根据余弦函数图像分析余弦函数对称轴、对称中心.
余弦函数图像关于直线成轴对称，每条对称轴经过图像最高或最低点，任意两条对称轴之间相差.
余弦函数图像关于点（成对称中心，均为函数图像与交点，任意两个对称中心横坐标相差.
知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？
新知探求
【例2】判断下列函数的奇偶性：
⑴， ⑵;
⑶; ⑷
解：
⑴∵函数的定义域不关于原点对称，
∴此函数既不是奇函数，也不是偶函数.
⑵∵函数的定义域R关于原点对称，
又
而
∴此函数是奇函数.
新知探求
【例2】判断下列函数的奇偶性：
⑶; ⑷
解：
⑶∵函数的定义域为，关于原点对称.
⑷由得,即得此函数定义域为，关于原点对称.
又
而
∴此函数是奇函数.
∴此函数是偶函数.
又
而
初试身手
1.函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
2.函数的周期是 .
解：
1.对则函数的最小正周期为,故选C.
2.函数的周期.
C
初试身手
3.判断下列函数的奇偶性：
⑴; ⑵; ⑶.
解：
⑴此函数为非奇非偶函数.
⑵此函数为偶函数.
⑶此函数的定义域为,它关于原点对称.
又
而
则此函数为奇函数.
初试身手
4.下列函数中是奇函数，且最小正周期为的函数是（ ）
A. B. C. D.
5.函数是奇函数，且对,都有,又,则
= .
解：
4.4.函数 , 都为偶函数;又也为偶函数；对,它为奇函数，周期,故选D.
5.由已知得，对，
则得周期为.
则.
D
又因为为奇函数，
-1
课堂小结
1.求函数的最小正周期的常用方法：
2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.　
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x+T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)结论法，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期.
作业布置
作业：P203练习 第3，4题 P213 习题5.4 第2,3题.
补充：
1.(多选题)下列关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法正确的是(　　)
A.对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数 B.存在φ，使f(x)是偶函数
C.存在φ，使f(x)是奇函数 D.对任意的φ，f(x)都不是偶函数
2.已知,则= .
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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