2023-2024学年九年级上册人教版第二十四章圆过关练习（含解析）

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第二十四章圆过关练习2023-2024学年九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．注意卷面整洁
一、单选题
1．下列语句中正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．以下必为正多边形的是（　　）
A．圆内接平行四边形 B．圆内接矩形
C．圆内接菱形 D．圆内接梯形
3．下列说法正确的是（　　）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心
4．如图，正三角形的三个顶点均在上，动点在上，且不与点重合，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，是的直径，是外一点，交于点，连接．若，则当等于__________时，与相切（ ）

A． B． C． D．
6．如图，，分别切于点，，切于点，分别交，于点，，若，则的周长是（　　）

A． B． C． D．
7．如图，在中，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°
二、填空题
9．的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于 度．
10．一个扇形半径为2分米，弧长7分米，这个扇形的面积是 平方分米．
11．如图，若点为的圆心，则线段 是圆的半径；线段 是圆的弦，其中最长的弦是 ； 或 是劣弧； 是半圆．

12．已知的半径，点到圆的最近距离为，则点到圆的最远距离为 ；若点到的最近距离为，则点与圆的位置关系是 （填“在圆外、在圆上或在圆内”）．
13．如图，，，是上的三点，，在圆心的两侧，若，，则的度数为 ．

14．如图，在中，，，点是的内心，则的度数为 ．

15．如图，的正方形网格中，格点是半径为1的圆的圆心，则图中两个小扇形（阴影部分）的面积之和为 （结果保留）．

16．已知，四边形顶点都在正方形网格的格点上，如图所示，请用直尺和圆规画出四边形的外接圆，这个圆中所对的圆心角的度数是 ．

三、解答题
17．已知一个圆锥沿轴剖开是一个等腰三角形．若这个三角形的底为，腰为．
(1)求圆锥侧面展开图的扇形弧长．
(2)求圆锥的全面积．
18．如图，的半径，圆心到直线的距离，在直线上有，，三点，并且，，，点，，与圆的位置关系分别是怎样的？

19．如图，正方形内接于，为的中点．

(1)作等边三角形，使点，分别在和上（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求的度数；
(3)若正方形的边长为4，求（1）中等边三角形的边长．
20．已知为的直径，为上一点，为的延长线上一点，连接．

(1)如图1，若，，，求的长；
(2)如图2，若与相切，为上一点，且．求证：．
21．如图，是的直径，，是弦，点在的延长线上，且，求证：是的切线．

22．以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题．
试题分析
（Ⅰ）如图1，在中，，，是外一点，且．求的度数．
小丽：我发现．则点，，到点的距离相等，所以点，，在以点为圆心、线段长为半径的圆上……
猜想证明
（Ⅱ）如图1，在中，，，点，在同侧．
猜想：若___________，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上．
对于这个猜想的证明，小华有自己的想法：
以点为圆心，长为半径画圆．根据点与圆的位置关系，知道点可能在内，或点在上，或点在外．故只要证明点不在内，也不在外，就可以确定点一定在上．
（Ⅲ）进一步猜想：
如图2，在中，，，点，在同侧．若___________，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上．
（Ⅳ）对（Ⅲ）中的猜想进行证明．
问题1．完成（Ⅰ）中的求解过程；
问题2．补全猜想证明中的两个猜想：
（Ⅱ）___________；（Ⅲ）___________．
问题3．证明上面（Ⅲ）中的猜想．

参考答案：
1．A
【分析】根据圆心角定理，以及轴对称图形的定义即可解答．
【详解】解：A、要强调在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故错误．
B、平分弦的直径垂直于弦，其中被平分的弦不能是直径，若是直径则错误．
C、对称轴是直线，而直径是线段，故错误．
D、正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的相关知识，熟练掌握圆的知识是解决此题的关键．
2．C
【分析】根据圆内接四边形的性质判断即可．
【详解】解：A、圆内接平行四边形是矩形，不一定是正多边形，本选项说法错误，不符合题意；
B、圆内接长方形
C、圆内接四边形的对角互补，菱形的对角相等，
菱形的内角为，
圆内接菱形是正方形，本选项说法正确，符合题意；
D、圆内接梯形不一定是正多边形，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3．D
【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断．
【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理及垂径定理的推论，掌握并理解定理的内容是解答此题的关键
4．B
【分析】根据等边三角形的性质求出，根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：为正三角形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，解题关键是熟练掌握同弧所对的圆周角相等性质．
5．B
【分析】根据与相切，可得，根据直角三角形中两锐角互余可得的度数，根据圆周角定定理及求解．
【详解】解：∵与相切，
∴，
在中，，
∴，
在中，是圆周角，是圆心角，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角角定理，直角三角形中两锐角互余的知识，掌握圆的基础知识是解题的关键．
6．D
【分析】根据切线长定理可得，的周长可转化为进行求解．
【详解】直线分别与⊙O相切于点，
，
的周长（cm）．
故选：D．
【点睛】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
7．A
【分析】由所对的圆周角，可求得所对的圆心角，再根据弧长公式计算即可得出答案．
【详解】解：
，
又，
由弧长公式得的长，
故选：A．
【点睛】本题考查了求弧的长度，熟练掌握弧长的计算公式是解题关键．
8．B
【分析】由题意得可得与的最大值的和为，结合和关于圆心中心对称即可求解．
【详解】解：∵
∴与的最小值为
∴与的最大值的和为
∵和关于圆心中心对称
∴
∴，最大值为
故选：B
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．得出与的最大值的和为是解题关键．
9．或
【分析】一条弦所对的圆周角有两种情况：当圆周角的顶点在优弧上，圆周角应是一个锐角；当圆周角的顶点在劣弧上，圆周角是一个钝角．
【详解】解：∵弦的长等于半径，
∴当把圆心分别与点A，B连接，可得等边三角形，等边三角形的内角是，
∴弦所对的圆心角是，
∴弦把圆分成和的两段弧，
根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数，而一条弧所对的圆周角的度数等于所对圆心角度数的一半，
∴弦所对的圆周角等于或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．7
【分析】根据扇形面积公式，即可解答．
【详解】解：这个扇形的面积（平方分米），
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式：．
11． 或或 或或 直径
【分析】根据圆的基本概念进行作答即可．
【详解】解：如图，若点为的圆心，
则线段或或是圆的半径；
线段或或是圆的弦，其中最长的弦是直径；
或是劣弧；是半圆．
故答案为：或或；或或；直径；；；
【点睛】本题考查了圆的基本概念，正确掌握圆的基本概念相关内容是解题的关键．
12． 或 在圆外
【分析】根据的半径，点到圆的最近距离为，可知点分两种情况，一种情况在圆内，一种在圆外；根据点到的最近距离，的半径，可以判断点与圆的位置关系．
【详解】解：的半径，点到圆的最近距离为，
点在圆内或者圆外，
当点在圆内时，点到圆的最远距离为：；
当点在圆外时，点到圆的最远距离为：；
当点到的最近距离，的半径，，
此时点在圆外；
故答案为：或，点在圆外．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是明确点到圆的距离的最近与最远与半径的关系．
13．/100度
【分析】过A、O作的直径，首先根据等边对等角得到，，进而得到，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：过A作的直径，交于D

∵
∴，
∴
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边对等角，圆周角定理，解答本题的关键是正确作出辅助线．
14．/117.5度
【分析】由点是的内心，可得分别为，的角平分线，由，，可得，，由三角形的内角和可求出答案．
【详解】解：点是的内心，
，分别为，的角平分线，
，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内心，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键．
15．
【分析】根据圆的半径正方形边长的一半，可得两个扇形的半径都是圆的半径，根据直角三角形两锐角互余，可得两个扇形的圆心角的和等于，可得两个扇形的面积和等于圆的面．
【详解】解：由题意，得两个扇形的半径都是1，
由直角三角形两锐角互余，得两个扇形的圆心角的和等于，
两个扇形的面积的和等于圆的面积的，即小扇形的面积的和是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了中心对称，利用了扇形的面积公式，直角三角形的性质．
16．/度
【分析】确定圆心，以为圆心，为半径作，，即可求解．
【详解】解：如图，即为所求；

观察图象可知，，
圆中所对的圆心角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，正确的作出图形是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知等腰三角形的底边长即为圆锥底面圆的直径，利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长进行求解即可；
（2）根据圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：圆锥的底面圆的直径为，
∴圆锥侧面展开图的扇形弧长为；
（2）由题意，得：底面圆的半径为，母线长为，
∴圆锥的全面积．
【点睛】本题考查求圆锥的全面积和扇形的弧长．熟练掌握圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，以及圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，是解题的关键．
18．点在圆上，点在圆内，点在圆外
【分析】连接，如图所示，根据圆的性质，由勾股定理得到，从而比较，，与的大小即可判断点，，与圆的位置．
【详解】解：连接，如图所示：

，
∵圆心到直线的距离，即，
∴由勾股定理可知，
∵，，，
∴点在圆上，点在圆内，点在圆外．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，涉及圆的性质及勾股定理，熟记点与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键．
19．(1)见解析
(2)；
(3)等边三角形的边长为．
【分析】（1）如图所示，连接并延长交于，以为圆心，为半径画圆，交于点，，点，即为所求；
（2）利用等边三角形的性质及圆周角定理求得，，据此即可求解；
（3）如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据勾股定理计算半径的长，再利用勾股定理求的长，可得等边三角形的边长．
【详解】（1）解：如图所示，连接并延长交于，以为圆心，为半径画圆，交于点，，点，即为所求，即得到等边三角形．

（2）解：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，过O作于N，

∵，
∴，
中，，
∴，
中，，，
∴，
∴，
∴，
∴等边三角形的边长为．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：作等边三角形，圆内接三角形，还考查了正方形和等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
20．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据直角三角形的边角关系可求出，进而求出；
（2）根据切线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．
【详解】（1）解：，，，
，
；
（2）与相切，
，
即，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系、等腰三角形的性质是解决问题的前提．
21．见解析
【分析】连接，根据圆周角定理得到，，可得出：，，即可得出结论．
【详解】证明：连接，

∵为直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定以及圆周角定理，熟练运用切线判定定理以及圆周角定理是解答本题的关键．
22．问题1：，见解析；问题2：（Ⅱ）45°；（Ⅲ）；问题3：证明见解析
【分析】问题1：由圆的定义，结合圆周角定理即可得到答案；
问题2：由问题1可知，在中，，，点、在同侧，若，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上；同理，若，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上；
问题3：根据题意，分两种情况：点在外；点在内讨论即可得到答案．
【详解】解：问题1：如图所示：

∵，
∴点，，在以为圆心，长为半径的圆上，
∴，
∵，
∴；
问题2：由问题1可知，在中，，，点、在同侧，若，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上；
同理，由问题1可知，在中，，，点、在同侧，若，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上；
故答案为：（Ⅱ）45°；（Ⅲ）；
问题3：证明：若点在外，如图所示：

∵点在上，
∴，
∵，，
∴点在外不成立，
若点在内，如图所示：
∵点在上，
∴，
又∵，，
∴点在内不成立，
综上所述，点在上．
【点睛】本题考查圆综合，涉及圆的性质、圆周角定理、点与圆的位置关系等知识，熟练掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
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