2024年江苏省普通高中学业水平合格性考试
数学全真模拟试卷03
(考试时间：75分钟 满分100分)
一、选择题(本大题共28小题，每小题3分，共84分。每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分)
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 化简后等于（ ）
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知五个数平均数为4，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知均为实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数的定义域（ ）
A. B.
C. D.
9. 若扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ）.
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
10.在中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若，则（ ）
A. B. C. D.
11.数据的百分位数为（ ）
A. B. C. D.
12.已知向量，则等于（ ）
A B.
C D.
13. 已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 4
14. 已知R，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（ ）
A. B. C. D.
16.已知函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
17.甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）.
A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.2
18.函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
19.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限
C. 的共轭复数 D.
20. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
21.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比为（ ）
A. 1 B. C. D.
22. 如图所示的是函数的图像，则函数可能是（ ）
A. B. C. D.
23.已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
24.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（ ）
A. B. C. D.
25.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ）
A．若α∥β，m α，n β，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
26.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（ ）
A. 10% B. 20% C. 30% D. 50%
27.已知在中，，，，点为边上靠近的三等分点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
28.已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
二、解答题(本大题共2小题，共16分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
29．（本小题满分8分）如图在四棱锥中，面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，E为CD的中点，F为PD上一点.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面FAE；
30．（本小题满分8分）已知函数.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）若当时，关于不等式恒成立，求实数的取值范围.2024年江苏省普通高中学业水平合格性考试
数学全真模拟试卷03
(考试时间：75分钟 满分100分)
一、选择题(本大题共28小题，每小题3分，共84分。每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分)
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得，
所以，
故选：C.
2. 化简后等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故选:B．
3.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】命题为特称命题，则命题“，”的否定，，
故选：D.
4.已知五个数平均数为4，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】由题意可得，
故选：B
5.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A选项：，则，故A正确；
B选项：，则，所以，故B错误；
C选项：当或时，，则，故C错误；
D选项：当时，，故D错误.
故选：A．
6.已知均为实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意均为实数，且，
则，故，A错误；
取，满足条件，但是，B，C错误；
由知，，故，即 ，D正确，
故选：D.
7. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】首先定义域必须关于0对称，C错；不是奇函数，D错；在定义域内不是增函数，B错；
故选：A.
8. 设函数的定义域（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C
9. 若扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ）.
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】，
故选：B
10.在中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题且
由正弦定理得
故选：C
11.数据的百分位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】数据共有8个，，故第百分位数是数据从小到大排序后的第6，7个数的平均数，即，
故选：B.
12.已知向量，则等于（ ）
A B.
C D.
【答案】A
【解析】由，得，
所以，
故选：A.
13. 已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】∵函数f(x)满足f(2x)＝log2x，且f(16)＝f(24)，
∴f(16)＝f(24)＝log24＝2，
故选：C．
14. 已知R，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，得，
由，得，即或；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
15.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，至少答对一个问题的概率是.
故选：A
16.已知函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以.
故选：D
17.甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）.
A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.2
【答案】C
【解析】由题意可知甲不能解决该难题概率为1-0.4=0.6,
乙不能解决出该难题的概率为1-0.5=0.5，
故该难题被解决出的概率为，
故选：C
18.函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在区间是.
故选：B.
19.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限
C. 的共轭复数 D.
【答案】D
【解析】因为，，，所以的周期为4，故，
故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共
轭复数为，C错误；，D正确.
故选：D.
20. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设向量与的夹角为，则：
∵，
∴，所以,
故选：A
21.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点，
则由题意得：，
则设以该四棱锥的高为边长的正方形面积为，，
设该四棱锥侧面积为，
所以.
故选：D
22. 如图所示的是函数的图像，则函数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图可知：是非奇非偶函数，且在y轴右侧，先正后负．
若，则，所以函数为偶函数，
与条件矛盾，A错，
若，则，所以函数为奇函数，与条件矛盾，B错，
若，则，
当时，，与所给函数图象不一致，D错，
若，则，
当时，，
又， ，所以函数为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，
故选：C．
23.已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由关于x的不等式的解集是，
得且，
则关于x的不等式可化为，
即，
解得：或，
所求不等式的解集为：.
故选：A.
24.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，
则，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角，
设A1A＝a，则AO＝a，
所以.
故选：C
25.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ）
A．若α∥β，m α，n β，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
【答案】D
【解析】若α∥β，m α，n β，则m∥n或m与n异面，故A错误；
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故B错误；
若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故C错误；
若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又β∥γ，则m⊥γ，故D正确．
故选：D．
26.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（ ）
A. 10% B. 20% C. 30% D. 50%
【答案】C
【解析】由题意可知，，
，
故提升了，
故选：C．
27.已知在中，，，，点为边上靠近的三等分点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如下图所示：
，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
故选：D.
28.已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】因为，所以，即，
又，故，即①，
用代替得②，
由①②得，故的一个周期为8，
故，
又得，
时，，故，
故.
故选：A
二、解答题(本大题共2小题，共16分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
29．（本小题满分8分）如图在四棱锥中，面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，E为CD的中点，F为PD上一点.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面FAE；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵是菱形，∴，
又面ABCD，面ABCD，∴，
而，面，面，
∴BD⊥平面PAC；
（2）∵是菱形，，∴是等边三角形，又为中点，∴，而，∴，
又面ABCD，面ABCD，∴，
而，面，面，
∴⊥平面PAB，又平面，
∴平面PAB⊥平面FAE．
30．（本小题满分8分）已知函数.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）若当时，关于不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）易知原式可化为
.
由，得，
所以的单调递增区间为，
取及则在上的单调递增区间为；
（2）由题设知，
当时，，
则，即，
所以.
