5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
§5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
一
旧知回顾
口诀：奇变偶不变，符号看象限
诱导公式
三
正弦函数的图象
根据三角函数的定义，单位圆上任意一点旋转一周回到原来的位置，sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα.所以我们可以先画出y=sinx，x∈[0,2π]的图象，然后再画出y=sinx，x∈R的图象.
在[0,2π]上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值并画出点T，)？
取哪些点比较合适？
如何利用单位圆确定sinx0？
三
正弦函数的图象
如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，圆O与x轴正半轴的交点为A(1,0)．在单位圆上，将点A绕着点O旋转弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（，）.也是AB的弧长.
三
正弦函数的图象
我们已经学习了绘制正弦函数的上的某一个点，你能制定一个方案画出y=sinx,x∈[0,2π]的图象吗？
在[0,2π]内任取一些横坐标的值，代入sinx,绘制各点，再用光滑的曲线连接.
为方便计算，取特殊三角值
三
正弦函数的图象
若把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使的值分别为, , , …，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T(，)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．
三
正弦函数的图象
O1
O
y
x
-1
1
A
B
连线：用光滑曲线
将这些正弦线的终点连结起来
利用信息技术，可使在区间[0,2π]上取到足够多的值而画出足够多的点T(，),将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数， ∈[0,2π]的图象.
三
正弦函数的图象
三
正弦函数的图象
根据y=sinx,x∈[0,2π]的图象，你能想象出y=sinx,x∈R的图象吗？
由诱导公式一可知，函数, ∈[2kπ，2(k＋1)π ] , k∈Z且k≠0的图象与 ∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数, ∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，可得到正弦函数, ∈R的图象.
三
正弦函数的图象
正弦函数的图象叫做正弦曲线(sinecueve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
三
正弦函数的图象
正弦函数的图象叫做正弦曲线(sinecueve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
三
正弦函数的图象
问题3：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
在函数, ∈[0,2π]的图象上，以下五个点：
描出这五个点，函数, ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．
精确度要求不高时，先找出这五个关键点，用光滑的曲线将它们连接，
得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．
三
正弦函数的图象
问题4：正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
由 得，∈R,
而函数∈R 的图象可以通过正弦函数
∈R 的图象向左平移个单位长度而得到.
四
余弦函数的图象
将正弦函数的图象向左平移个单位长度，得到余弦函数的图象，如图所示．
四
余弦函数的图象
将正弦函数的图象向左平移个单位长度，得到余弦函数的图象，如图所示．
四
余弦函数的图象
类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间[－π，π]上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表，然后画出， ∈［－π，π］的简图.
0
π
2π
练一练
练一练
练一练
练一练
练一练
练一练
1. 在同一直角坐标系中，画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,
x∈的图象，观察两条曲线，说说它们之间的异同.
练一练
2. 用五点法分别画下列函数在[-π,π]上的图象
(1)y=-sinx (2)=2-cosx
复习引入（1）
具体到三角函数的每一点上，横坐标每隔2 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律，实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式sin(x+2k )=sinx(k∈Z)中得到反映，即自变量x的值增加2 整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等，数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.
概念引入（1）
请阅读教科书5.4.2节“1.周期性”中的内容，回答下列问题：什么是周期函数？什么叫做周期？
问题3
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x + T)= f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.
非零常数T叫做这个函数的周期.
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期（minimal positive period）.
概念理解（1）
1、注意定义中的“对每一个x”例如:f(x)=x(x-1)(x-2) (x-3)
x=0,x=1,x=2时都有f(x+1)=f(x),但1不是f(x)的周期， f(x)
不是周期函数 ，
因为x=3时f(3)=0，f(3+1)＝f(4) ＝24≠f(3)
3、周期函数，不一定都有最小正周期。
如：f(x)＝a (a是常数)，因为f(x+T)＝a ＝ f(x) (T≠0)
所以它的周期是任意非零实数。
2、因f(x+T)=f(x),x∈D则x+T ∈D,所以D一定是无限集。
概念理解（1）
4、T是f(x)的周期，则-T 、k T (k∈Z且k≠0)都是它的周期。
①T是f(x)的周期则f(x+T)＝ f(x)
以x-T代x有f((x-T) + T)＝ f(x-T)＝ f(x)
则-T也是f(x)的周期
② k＞0时 f(x+k T )=f(x+(k-1) T + T)= f(x+(k-1) T)
= f(x+(k-2) T + T)= f(x+(k-2))=……＝ f(x)
k＜0时，再由①知k T (k∈Z且k≠0)都是它的周期
(以x+(-k+1)T代x，也能证明此结论，你会证吗？)
概念理解（1）
根据周期定义，我们有：
正弦函数是周期函数，2k （k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2 .
类似地，
余弦函数也是周期函数， 2k （k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2 .
概念理解（1）
因为sin(x+2k )=sinx (k∈Z)
所以sinx是周期函数，周期是2k (k∈Z且k≠0 )
当k＞0时2 ≤2k ，所以2 是它的最小正周期
余弦雷同
今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.
同学们会证明上述结论吗？
问题3
巩固与练习
分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x+T)=f(x)而求出相应的周期.
(x∈R，有3sin(x+2 )=3sinx.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为2 .
巩固与练习
分析：对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x+T)=cos2x，x∈R；
(2)令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cosz的周期为2 ，
即cos(z+2 )=cosz，
于是cos(2x+2 )=cos2x，
所以cos2(x + )=cos2x，x∈R.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .
巩固与练习
分析：对于(3)应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin[x+T)]＝sin( x) ，x∈R.
(令z＝ x，由x∈R得z∈R，且y=2sinz的周期为2π，
即 2sin(z＋2π)=2sinz，
于是 2sin( x+2π)=2sin( x),
所以 2sin[( (x+4π)] =2sin( x),
由周期函数的定义知，原函数的周期是4π.
巩固与练习
回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
(1)中3sin(x+2 )=3sinx. 周期是2π
(2)中cos2(x + )=cos2x，x∈R. 周期是π
(3)中2sin[( (x+4π)] =2sin( x),周期是4π
三角函数的周期仅仅与解析式中自变量x的系数有关。
现在你能看出三角函数的周期与解析式中哪些量有关了吗？
巩固与练习
概念引入（2）
不难看出，y=sinx的图像关于原点对称，所以它是奇函数.
其实由诱导公式有sin(-x)＝-sinx (x∈R)，也能说明它是奇函数.
同学们认真观察三角函数的图像你还能发现什么性质？
问题4
概念引入（2）
不难看出，y=cosx的图像关于y轴对称，所以它是偶函数.
其实由诱导公式有cos(-x)＝cosx (x∈R)，也能说明它是偶函数.
同学们认真观察三角函数的图像你还能发现什么性质？
问题4
概念理解（2）
1.当函数具有周期性时，可以首先研究它在一个周期内的图像，只需考察这一个周期内的函数的性质(值域、单调性、最值等），由各周期内性质相同，即可得出整个定义域内的性质。
知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？
2.当函数值具有奇偶性时，可以首先研究它在y轴一侧的图像，只需考察这一侧的函数的性质(值域、单调性、最值等），由关于原点对称性，即可得出整个定义域内的性质。
巩固与练习
温馨提示：判断函数奇偶性一般先化简再判断。
巩固与练习
温馨提示：当函数定义域不为R时，首先要判断定义域是否关于原点对称。若不对称则一定存在 f(-x)≠±f(x)
巩固与练习
规律方法