(共41张PPT)
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
探究:1.之前研究指数函数、对数函数的思路是怎样的?
研究思路:函数的定义、函数的图象、函数的性质
探究:2.绘制新函数图象的基本方法是什么?
描点法
探究:3.根据三角函数的定义,需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗?还是选择哪一个区间即可?
探究:4.在上任取一个值,如何利用正弦函数的定义,确定正弦函数值,并画出点?
在平面直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆,单位圆与轴正半轴的交点为,在单位圆上,将点A绕着点O旋转弧度至点B.
根据弧度制的定义,既是∠AOB的大小,也是弧AB的长度;根据正弦函数的定义,点B的纵坐标.
因此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点.
把轴上这一段分成12等份,从而使的值分别为;它们所对应的角的终边与单位圆的交点同样将圆周12等份,再按照上述方法依次画点.
1
-1
0
y
x
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1.函数的图象:
探究:5.根据函数的图象,你能想象函数的图象吗?依据是什么?
x
y
0
1
-1
2.函数的图象:
正弦函数的图象叫做正弦曲线,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
探究:6.对函数的研究,能够快速又比较准确的作出其简图,往往起重要的作用.你能画出函数图象的简图吗?在确定图象形状时,应抓住哪些关键点?
五点(画图)法:
探究:7.由三角函数的定义可知,正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数.你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系,通过怎样的图形变换,才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象?
3.函数的图象:
余弦函数的图象叫做余弦曲线,它是与正弦函数具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
探究:8.类似于“五点法”作正弦函数的图象,如何作出余弦函数的图象?
探究:8.类似于“五点法”作正弦函数的图象,如何作出余弦函数的图象?
根据余弦曲线的特点,你认为选取哪个区间研究比较合理?
例1 画出下列函数的简图:
(1); (2).
例1 画出下列函数的简图:
(1);
例1 画出下列函数的简图:
(2).
变式1 用“五点法”作下列函数的图象:
(1).
变式1 用“五点法”作下列函数的图象:
(2).
例2 不等式,的解集为( )
A. B.
C. D.
D
探究:1.回顾上一节课对于正弦函数、余弦函数的研究,填写下表:
项目 正弦函数 余弦函数
图象
定义域
值域
周期
奇偶性
R
R
[-1,1]
[-1,1]
奇函数
偶函数
探究:2.由上一节课学习的正弦函数、余弦函数的周期性可知,研究函数的性质只需要对一个周期内函数的性质进行研究.那么,在研究正弦函数单调性与最大(小)值时,选用哪个周期比较合适?
探究:2.观察正弦函数的图象,研究函数的单调性与最值.
探究:3.类比上述正弦函数的单调性与最值的研究方法,请思考余弦函数的单调性与最值.
1.正弦函数、余弦函数的单调性、最值
项目 正弦函数 余弦函数
单调性
最值
例1 下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出最大值、最小值时自变量的集合,并求出最大值,最小值:
(1);
(2).
变式1 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合,并求出最大值,最小值:
(1);
(2).
例2 不通过求值,比较下列各组数的大小:
(1)与;
(2)与.
>
<
变式2 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1)与;
(2)与.
>
>
变式2 判断下列函数的奇偶性:
(1); (2);
(3); (4).
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
例3 求函数的单调递增区间.
变式3 求函数的单调递减区间.
变式3 你能求出函数的单调递增区间吗?
教材P214拓广探索T19
容易知道,正弦函数是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗?如果有,那么对称中心的坐标是什么?另外,正弦曲线是轴对称图形吗?如果是,那么对称轴方程是什么?你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗?对余弦函数,讨论上述同样的问题.
项目 正弦函数 余弦函数
图象
定义域
值域
周期
奇偶性
对称中心
对称轴
R
R
[-1,1]
[-1,1]
奇函数
偶函数
项目 正弦函数 余弦函数
单调性
最值
例4 函数的图象的对称轴是直线_____________,
对称中心是_____________.
变式4 求函数的对称轴、对称中心.