5.2.2同角三角函数的基本关系 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
5.2.2同角三角函数的基本关系
复习引入
1.任意角三角函数的定义
如图，设 是一个任意角，它的
终边与单位圆交于点P(x,y)，则
x
y
o
P(x,y)
1
-1
1
- 1
的终边
2.三角函数在各象限的符号
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
o
x
x
x
y
y
y
o
o
-
3. 公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等
其中
如图，设 是一个任意角，它的
终边与单位圆交于点P(x,y)，则
x
y
o
P(x,y)
1
-1
1
- 1
的终边
M
同角三角函数的基本关系：
△OMP直角三角形，而且OP=1。
由勾股定理有
OM2+MP2=1。
因此，x2+y2=1，即 。
由三角函数定义有
同角的三角函数的基本关系:
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。
请判断下列结论是否正确？
（ ）
（ ）
（ ）
√
√
√
辨析
注：“同角”的概念与角的表达形式无关.
1.“同角”的含义；
2.关系式的使用条件（使函数有意义的任意角）
基本关系的等价变形
思考
练一练
1.化简求值：
1
1
例1.已知 ，且　 是第三象限角，　
求　　　　　　　的值。
解：因为
，所以
第三象限角，所以
因为 　　　　　
先定象限,后定值
先定象限,后定值
化弦为切
化弦为切
练一练
注重平方关系中“1”的应用
注重平方关系中“1”的逆用
化切为弦
小结：注意三角函数名的统一，当式中弦和切同时出现时，我们一般是把“切化弦”，即统一成弦来解决问题.
-1
例4.化简 (1) .
练一练
化切为弦
化弦为切
(一)基本关系式:
平方关系:
商数关系:
(二)基本关系式的应用:
课堂小结
(1)求值
(2)化简
(3)证明
先定象限,后定值
(1)重视对“1”变形
(2)弦切互化
例 析
思考1：对于本题，你能想到哪一些解决的思路
思考2：以上思路，哪一些思路解决本题相对来说容易一些
思路一比较自然，但运算较繁琐，思路二和思路三相对来说容易一些要容易一些.
解：
另解：
思考1：本例与上例相比较，有何不同
思考2：“ sin2α-sinαcosα ”能化成分式的形式吗，你能用例1的方法解决本题吗
解：
另解：
　 思路1：将分子分母同时除以cosα，cos2α…，把齐次分式化为关于tanα的式子.
思路2：利用tanα的值得出sinα和cosα的关系，再代入齐次分式
若没有分母，可将分母添作1，即“sin2α+cos2α”
思路3：利用tanα的值和sin2α+cos2α=1求出sinα，cosα，再代入求值。
关于sinα 和cosα齐次分式的处理思路
练习
例 析
解: (1)
解: (2)
sinα±cosα与sinα±cosα的关系
练习
解: 原式=
升幂，
以便开方
1的变形:
sin2x+cos2x
∴ 原式=
例 析
解: (1)原式=
练习
切化弦：
减少函数种类
(2)原式=
课堂小结
1.说一说本节(5.2三角函数)知识发展的基本过程？
现实背景 →
获得研究对象 →
分析对应关系本质 →
定义 →
研究性质。
（周而复始的变化规律）
（单位圆上点的运动）
（点的位置坐标(x,y)与形成角α的关系）
2.说一说任意角三角函数的定义过程？
具体例证 →
共性归纳 →
定义 →
符号表示 →
概念应用
3.说一说任意角三角函数其它如幂、指、对等函数的区别和联系是怎样的？
4.我们是如何发现三角函数的符号规律，公式一以及同角三角函数间的基本关系的？在这些过程中有什么值得总结的？
三角函数其它如幂、指、对等函数都满足函数的定义；
但三角函数主要是用来刻画周期性变化现象的，其对应关系是几何量之间的对应，无明显的代数意义。其其它函数的对应关系则是代数规律的反映，具有代数意义。
利用定义和单位圆上点的坐标符号我们得三角函数的符号规律；利用定义和单位圆上点运动的周期性我们得到了公式一；利用定义中三个函数的内在联系，我们得到了同角三角函数间的基本关系。
一个数学对象，可以从不同地层次进行体现，而且其间往往有着内在的联系，并可以相互转化。
5.请画出说说本节(5.2三角函数)的知识结构框图，并说说本节的主要思想方法？
单位圆上点的运动规律
三角函数的概念
三角函数的基本性质
三角函数值的符号
公式一
同角三角函数间的基本关系
主要思想方法：
知识结构框图：
特殊与一般，
数形结合，
化归与转化，
分类与整合。
作 业