5.5.1两角和差的正弦余弦公式 第一课时 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
5.5三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦公式
一、复习回顾
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．
二、新课引入
探究：请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．
①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝ ＝ ；
②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝ ＝ ；
③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝ ＝ ；
④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝ ＝ ．
猜想：
cos αcos β＋sin αsin β＝ ；
即： .
1
cos 0°
cos 30°
0
cos(－90°)
cos(－60°)
cos(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
两角差余弦公式的证明
cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ
对于任意角α，β有
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α-β)
三、新课讲解
1、两角差的余弦公式
方法2：
练习：
cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝________.
分析：注意到 ，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以 代 得
思考：由 如何
求:
cos(α+β) = cosαcosβ－ sinαsinβ
2、两角和的余弦角公式：
cos(α+β) = cosαcosβ－ sinαsinβ
分析：用两角差的余弦公式及诱导公式推导.
两角和的正弦公式推导：
故两角和的余弦公式为：
分析：用两角和的正弦公式推导.
两角差的正弦公式推导：
故两角差的余弦公式为：
3、两角和与差的正弦、余弦角公式：
[例3] 化简求值.
(1)sin(30°+α)-sin(30°-α);
(2)cos(20°+x)cos(x-25°)+sin(20°+x)·sin(x-25°);
(3)cos 10°cos(-20°)+sin 20°sin 170°.
方法总结
(1)给角求值问题的求解方法
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及特殊角之间的关系.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:
①α=(α-β)+β;
③2α=(α+β)+(α-β);
④2β=(α+β)-(α-β)等.
一、复习回顾
两角和与差的正弦、余弦角公式：
( C( - ) )
( C( + ) )
cos( - )= cos cos +sin sin
cos( + )= cos cos -sin sin
( S( + ) )
( S( - ) )
sin( + )= sin cos +cos sin
sin( - )= sin cos -cos sin
两角和的正切公式推导：
分子分母同除以
两角差的正切公式推导：
二、新知探究
两角和差的正切公式
(T( - ))
(T( + ))
三、例题讲解
(1)使用两角和、差正切公式求解“给值求值”问题时,若已知条件中的三角函数值中的角有两个或多个时,常利用角的变换,将待求角表示为其中的“已知角”的和或差的形式后求解.
方法总结
例3：求下列各式的值：
(1)
(2) tan17 +tan28 +tan17 tan28
解（1）原式=
（2） ∵
∴tan17 +tan28 =tan(17 +28 )(1 tan17 tan28 )
=1 tan17 tan28
∴原式=1 tan17 tan28 + tan17 tan28 =1
针对训练3:（1）计算:(1+tan 17°)(1+tan 28°).
（2）计算:tan 20°tan 30°+tan 30°tan 40°+tan 20°·tan 40°.
变形：
(2)若α,β均为钝角,且(1-tan α)(1-tan β)=2,则α+β=　　　　.
(1)α-β的值;
(2)tan(2α-β)的值.
例7 化简下列格式