2.5 二次函数与一元二次方程 第2课时(共19张PPT) 北师大版九年级下册数学
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| 名称 | 2.5 二次函数与一元二次方程 第2课时(共19张PPT) 北师大版九年级下册数学 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 839.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-16 20:13:51 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
第二章 二次函数
5 二次函数与一元二次方程 第2课时
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，利用图象体会方程与函数之间的联系，会用图象法求方程的近似根.
2.知道一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y＝m(m是实数)交点的横坐标，发展估算能力，体会数形结合的数学思想.
◎重点:二次函数图象与x轴(或y＝m)交点的横坐标与一元二次方程的根的关系.
问:某中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论:求方程x2＝x＋3的解时，几乎所有学生都是先将方程化为x2－x－3＝0，画出函数y＝x2－x－3的图象，然后观察它与x轴的交点，得出方程的解.唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y＝x2和y＝x＋3的图象，认为它们的交点A、B的横坐标－和2就是原方程的解.
问:1.这两种解法的结果一样吗？
2.小刘解法的理由是什么？
3.函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？
4.函数y＝x2和y＝bx＋c的图象交点的横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗？
5.如果函数y＝x2和y＝bx＋c的图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解是怎样的？
用图象法估算一元二次方程的根
阅读教材本课时“做一做”前面的内容，完成下列问题.
在估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似根时利用了哪个函数的图象？为什么选择此函数？
y＝x2＋2x－10.因为一元二次方程x2＋2x－10＝0的根即为二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标.
1.在教学中，让学生经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求近似根的体验.
2.应关注学生能否利用图象法求一元二次方程的近似根，能否理解这种求解方程的思路.
·导学建议·
二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m(m是实数)的关系
阅读教材本课时“做一做”，完成下列问题.
一般地，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m，求自变量x的值(或求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝m的交点的横坐标），可以看作解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝m .反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m也可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m，求自变量x的值.
ax2＋bx＋c＝m
1.根据下列表格中的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a、b、c为常数)的自变量x与函数y的对应值，判断ax2＋bx＋c＝0的一个解x的取值范围为( C )
x 1.43 1.44 1.45 1.46
y＝ax2＋bx＋c －0.095 －0.046 0.003 0.052
A.1.40＜x＜1.43 B.1.43＜x＜1.44
C.1.44＜x＜1.45 D.1.45＜x＜1.46
C
2.如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝3 的解为 0或2 .
0或2
已知函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，且a≠0)的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是( A )
A
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D.无实数根
关于x的方程mx2＋mx＋5＝m有两个相等的实数根，则相应的二次函数y＝mx2＋mx＋5－m与x轴必然相交于 一 点，此时m＝ 4 .
一
4
利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式.
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的根为 －1或3 ；
(2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根为 0或2 ；
(3)方程ax2＋bx＋c＝－4的根为 1 ；
－1或3
0或2
1
(4)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 x＜－1或x＞3 ；
(5)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 －1＜x＜3 .
x＜－1或x＞3
－1＜x＜3
变式训练 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题:
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
解:(1)观察图象，抛物线与x轴交于两点(1，0)，(3，0)，
故方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3.
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0，反映在函数图象上，应为图象在x轴上方的部分，因此不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为1＜x＜3.
(3)因为抛物线的对称轴为x＝2且开口向下，所以在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故此时自变量x的取值范围为x＞2.
(4)若使方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，也就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与直线y＝k有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当k＜2时才能满足条件.
1.已知二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则不等式x2－x－2＞0的解集为( C )
A.－1＜x＜2 B.x≥2或x≤－1
C.x＞2或x＜－1 D.x＞2且x＜－1
C
2.已知一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一个根为 2.
(1)求q关于p的关系式.
(2)求证:抛物线y＝x2＋px＋q与x轴有两个交点.
解:(1)由题意，得22＋2p＋q＋1＝0，即q＝－(2p＋5).
(2)∵一元二次方程x2＋px＋q＝0的判别式Δ＝p2－4q，由(1)得Δ＝p2＋4(2p＋5)＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4＞0，∴一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实根，∴抛物线y＝x2＋px＋q与x轴有两个交点.
第二章 二次函数
5 二次函数与一元二次方程 第2课时
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，利用图象体会方程与函数之间的联系，会用图象法求方程的近似根.
2.知道一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y＝m(m是实数)交点的横坐标，发展估算能力，体会数形结合的数学思想.
◎重点:二次函数图象与x轴(或y＝m)交点的横坐标与一元二次方程的根的关系.
问:某中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论:求方程x2＝x＋3的解时，几乎所有学生都是先将方程化为x2－x－3＝0，画出函数y＝x2－x－3的图象，然后观察它与x轴的交点，得出方程的解.唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y＝x2和y＝x＋3的图象，认为它们的交点A、B的横坐标－和2就是原方程的解.
问:1.这两种解法的结果一样吗？
2.小刘解法的理由是什么？
3.函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？
4.函数y＝x2和y＝bx＋c的图象交点的横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗？
5.如果函数y＝x2和y＝bx＋c的图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解是怎样的？
用图象法估算一元二次方程的根
阅读教材本课时“做一做”前面的内容，完成下列问题.
在估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似根时利用了哪个函数的图象？为什么选择此函数？
y＝x2＋2x－10.因为一元二次方程x2＋2x－10＝0的根即为二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标.
1.在教学中，让学生经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求近似根的体验.
2.应关注学生能否利用图象法求一元二次方程的近似根，能否理解这种求解方程的思路.
·导学建议·
二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m(m是实数)的关系
阅读教材本课时“做一做”，完成下列问题.
一般地，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m，求自变量x的值(或求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝m的交点的横坐标），可以看作解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝m .反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m也可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m，求自变量x的值.
ax2＋bx＋c＝m
1.根据下列表格中的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a、b、c为常数)的自变量x与函数y的对应值，判断ax2＋bx＋c＝0的一个解x的取值范围为( C )
x 1.43 1.44 1.45 1.46
y＝ax2＋bx＋c －0.095 －0.046 0.003 0.052
A.1.40＜x＜1.43 B.1.43＜x＜1.44
C.1.44＜x＜1.45 D.1.45＜x＜1.46
C
2.如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝3 的解为 0或2 .
0或2
已知函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，且a≠0)的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是( A )
A
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D.无实数根
关于x的方程mx2＋mx＋5＝m有两个相等的实数根，则相应的二次函数y＝mx2＋mx＋5－m与x轴必然相交于 一 点，此时m＝ 4 .
一
4
利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式.
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的根为 －1或3 ；
(2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根为 0或2 ；
(3)方程ax2＋bx＋c＝－4的根为 1 ；
－1或3
0或2
1
(4)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 x＜－1或x＞3 ；
(5)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 －1＜x＜3 .
x＜－1或x＞3
－1＜x＜3
变式训练 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题:
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
解:(1)观察图象，抛物线与x轴交于两点(1，0)，(3，0)，
故方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3.
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0，反映在函数图象上，应为图象在x轴上方的部分，因此不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为1＜x＜3.
(3)因为抛物线的对称轴为x＝2且开口向下，所以在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故此时自变量x的取值范围为x＞2.
(4)若使方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，也就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与直线y＝k有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当k＜2时才能满足条件.
1.已知二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则不等式x2－x－2＞0的解集为( C )
A.－1＜x＜2 B.x≥2或x≤－1
C.x＞2或x＜－1 D.x＞2且x＜－1
C
2.已知一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一个根为 2.
(1)求q关于p的关系式.
(2)求证:抛物线y＝x2＋px＋q与x轴有两个交点.
解:(1)由题意，得22＋2p＋q＋1＝0，即q＝－(2p＋5).
(2)∵一元二次方程x2＋px＋q＝0的判别式Δ＝p2－4q，由(1)得Δ＝p2＋4(2p＋5)＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4＞0，∴一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实根，∴抛物线y＝x2＋px＋q与x轴有两个交点.