陕西省西安市重点中学2023-2024学年高一上学期12月联考数学试卷（含解析）

西安市重点中学2023-2024学年高一上学期12月联考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.是（ ）
A.第一象限角 B.第三象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
4.西安市是陕西省的省会，拥有悠久的历史和丰富的文化遗产.根据所给信息可得“甲在陕西省”是“甲在西安市”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的减函数，且，则的零点可能为（ ）
A.2 B.-0.5 C.-1.5 D.4
7.溶液酸碱度是通过计算计量的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，取，则该溶液的值为（ ）
A.7.201 B.6.799 C.6.699 D.7.301
8.已知函数，设，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设为定义在上的偶函数，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
10.下列命题是真命题的是（ ）
A.是幂函数 B.不是指数函数
C.不是幂函数 D.是指数函数
11.已知是定义在上的函数，函数恰有5个零点，则的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
12.某超市在双十二当天推出单次消费满188元有机会获得消费券的活动，消费券共有4个等级，等级与消费券面值（元）的关系式为，其中为常数，且为整数.已知单张消费券的最大面值为68元，等级2的消费券的面值为20元，则（ ）
A.消费券的等级越大，面值越大
B.单张消费券的最小面值为5元
C.消费券的等级越小，面值越大
D.单张消费券的最小面值为10元
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为__________.
14.已知在半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为__________.
15.已知在上是增函数，则的取值范围是__________.
16.已知，且，则的最小值是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知函数.
（1）求的值；
（2）若的定义域分别为集合，求.
18.（12分）
从以下三题中任选两题作答，若三题都分别作答，则按前两题作答计分，作答时，请在答题卷上标明你选的两个题的题号.
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）求方程的解集.
19.（12分）
已知函数.
（1）求的最小值；
（2）比较与的大小.
20.（12分）
如图，在正方形中，分别为的中点，为边上更靠近点的三等分点，一个质点从点出发（出发时刻），沿着线段作匀速运动，且速度，记的面积为.
（1）当质点运动后，求的值；
（2）在质点从点运动到点的过程中，求关于运动时间（单位：）的函数表达式.
21.（12分）
设，且是定义在上的奇函数，且不是常数函数.
（1）求的值；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
22.（12分）
已知函数的定义域，且对任意，当时，恒成立，则称为上的函数.
（1）若定义在上的函数为减函数，判断是否为上的函数，并说明理由；
（2）若为上的函数，且，求不等式的解集；
（3）若为上的函数，求的取值范围.
高一联考数学参考答案
1.D 【解析】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法，考查数学运算的核心素养..
2.C 【解析】本题考查象限角，考查数学运算的核心素养.
因为是第三象限角，所以是第三象限角.
3.B 【解析】本题考查命题的否定，考查逻辑推理的核心素养.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
4.B 【解析】本题考查充分必要条件的判定，考查逻辑推理的核心素养.
若甲在陕西省，则甲未必在西安市.若甲在西安市，则甲必在陕西省.故“甲在陕西省”是“甲在西安市”的必要不充分条件.
5.A 【解析】本题考查抽象函数的定义域，考查数学抽象与数学运算的核心素养.
由，得，所以函数的定义域为.
6.A 【解析】本题考查函数零点存在定理，考查逻辑推理的核心素养.
是定义在上的减函数，且，所以的零点必在区间内，所以的零点可能为2.
7.C 【解析】本题考查对数的运算，考查应用意识.
因为溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，所以该溶液的值为.
8.D 【解析】本题考查复合函数的单调性与对称性以及对数大小的比较，考查逻辑推理的核心素养.
因为，所以的图象关于直线对称.又为减函数且在上单调递增，所以在上单调递减.
因为，且，
所以.因为，所以.
综上，.
9.AC 【解析】本题考查函数的奇偶性，考查逻辑推理的核心素养.
与均满足，且定义域均为，所以均正确.不满足的定义域不是，所以错误.
10.ACD 【解析】本题考查幂函数 指数函数的概念，考查逻辑推理的核心素养.
是幂函数，不是幂函数.因为，所以都是指数函数.
11.BCD 【解析】本题考查函数的图象与零点，考查直观想象与笽辑推理的核心素养.
令，得或，设直线与的图象的交点个数为，直线与的图象的交点个数为，依题意得.
对于选项，则，不符合题意；对于选项，则，符合题意；对于选项C，，则，符合题意；对于选项，则5，符合题意.
12.BC 【解析】本题考查函数的实际应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想.
设，则为增函数，则等级4的消费券的面值为68元，
所以两式相减得，则，令，则，解得，此时不是整数，所以不满足条件.
设，则为常数函数，显然不满足条件.
设，则为减函数，则等级1的消费券的面值为68元，
所以两式相减得，则，令，则，解得或，因为为整数，所以，此时，所以消费券的等级越小，面值越大，且单张消费券的最小面值为元.
13. 【解析】本题考查函数图象过定点问题，考查数学运算的核心素养.
因为的图象过定点，所以点的坐标为.
14.3 【解析】本题考查弧度的概念，考查数学运算的核心素养.
该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为.
15. 【解析】本题考查分段函数的单调性，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
依题意得解得.
16.9 【解析】本题考查基本不等式中“1”的活用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
因为，所以，所以，当且仅当，即，即时，等号成立.所以的最小值是9.
17.解：（1）因为，
所以.
（2）对于，由
得，则.
对于，由，
得，解得，则.
所以.
18.解：（1）因为，
所以.
（2）因为，所以，
所以，
所以.
（3）由，得，
则，
解得或20，
所以方程的解集为.
19.解：（1）因为，所以，
当且仅当，即，即时，等号成立，
所以的最小值为.
（2）
，
因为，所以，所以.
当时，；
当时，；
当时，.
20.解：（1）因为，所以当质点运动到点时，经过了，
所以当质点运动后，在线段上，且，
所以.
（2）当时，；
当时，；
当时，.
综上，
21.解：（1）因为是奇函数，所以，
即，解得或.
当时，不符合题意；
当时，满足.
所以.
（2）可化为.
因为是增函数，是减函数，所以是增函数，
所以对恒成立，
即对恒成立.
当时，，
所以，
解得，故的取值范围是.
22.解：（1）设任意，且，因为定义在上的函数为减函数，所以，所以.
因为，且，所以，
则，所以恒成立，故为上的函数.
（2）由，得，
因为为上的函数，所以在上为减函数.
因为，所以.
因为，所以，
即，
所以，解得，则的解集为.
（3）因为为上的函数，
所以在上为减函数.
设，则在上为减函数，
则，
即，因为为上的增函数，且，所以，即的取值范围为.