华安县2023-2024学年上学期第二次月考
高一数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
***
第 I卷（选择题 共 60分）
一、单项选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的 4 个选项中，
只有一项符合题目要求。）
1、已知集合A {0,1,2},B {x Z ∣ x2 3},则A B
A. 0,1 B. 1,0,2 C. 1,0,1,2 D. 1,0,1
f x f x x2 2x 4 f ( 3)
2、已知 为 R 上的奇函数，当 x 0时， ，则 的值是（ ）
A．19 B．7 C． 7 D． 19
x21 2x 3f (x)
3、已知函数 3 ，则函数 f (x)单调递增区间为（ ）
,1 1,
A． B．
, 1 1, C． D．
4、已知 a log2 2.8，b log 2.8 c 2
0.8
0.8 ， 试比较 a，b，c 的大小为（ ）
A．b a c B．b
C． c b a D． a c b
5、函数f x lnx 3 的零点所在的区间是
x
1,2 2,e e,3 3, 4
A． B． C． D．
6、核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定
量 PCR 法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在 PCR 扩增过程中的靶标 DNA 进行实时
检测．已知被标靶的 DNA 在 PCR 扩增期间，每扩增一次，DNA 的数量就增加 p%．若被
测标本 DNA 扩增 5 次后，数量变为原来的 10 倍，则 p 的值约为（ ）．
0.2
（参考数据：10 1.585 10
﹣0.2
， 0.631）
A．36.9 B．63.1 C．41.5 D．58.5
{#{QQABAQQUggAIAAAAABhCUQHaCkMQkAECCIoOBBAMIAAAAQNABAA=}#}
x3
7、函数f x x x的图像大致为（ ） 3 3
A． B．
C． D．
8、设函数f (x) ln( x2 1) x2+2，则关于x的不等式 f (x 1) f (2x)的解集为（ ）
( 1, 1 )
A． 3 B． ( 1 ,1)
3
1C．
，- (1, ) D． ，-1 (
1
, )
3 3
二、多项选择题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的 4 个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）
9、下列表示中正确的是（ ）
A． π | π 2kπ,k Z 与 终边相同的角的集合是 B． π＝180°3 3
C． π在半径为6的圆中， 弧度的圆心角所对的弧长为2 D．第二象限角都是钝角
3
10、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的
f 1, x Qx
0, x RQ f x 函数 ，称为狄利克雷函数，则关于 ，下列说法正确的是（ ）
f 2 1 f x
A． B． 的定义城为R
x R f f x 1 f x C． ， D． 为偶函数
11、已知正数 x, y满足 x y 2，则下列选项正确的是（ ）
1 1
A． x y的最小值是 2 B． xy的最大值是 2
9
x2 y2
C． 的最小值是 4 D． x(y 1)的最大值是 4
{#{QQABAQQUggAIAAAAABhCUQHaCkMQkAECCIoOBBAMIAAAAQNABAA=}#}
2
12、已知函数f x x 2x 3, x 0 ，则下列说法正确的是（ ）
2 lnx, x 0
f x 0,
A．函数 的单调递增区间为
f x
B．函数 的值域为 R
f x k k R
C．若方程 仅有 1 个实根，则 k , 4
1
D．若方程 f x m m R 有 3 个实根 x1, x2 , x3 ,则x1 x2 x3 2 2,
1
2
e e
第 II卷（非选择题 共 90分）
三、填空题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、点 P( 1,2)是角 终边上一点，则 cos ．
14、已知f x loga x 1 4， a 0且a 1 的图像恒过定点P，则点 P 的坐标为
(3a 2)x 1, x 115、已知函数 f x 是R上的减函数，则 a的取值范围为
a
x , x 1
x2 6x 5, x 0,
16、 x 2已知函数f x x 1 ，若关于 的方程 f x a 2 f x 2a 0
1 , x 0,
2
有 5 个不等的实数根，则 a的取值范围为 .
四、解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（10 分）
（1）已知 cos 4 ， 在第二象限，求 sin ， tan 的值；
5
sin cos
（2）已知 tan = -2，求 sin 3cos 的值；
18、（12 分）化简求值：
1
2
2 1 1 1
a 3b a 2b3 1 lg 25 lg 2 lg 1 log2 9 log3 2
(1) ； （2） 2 100 ．
6 ab5
{#{QQABAQQUggAIAAAAABhCUQHaCkMQkAECCIoOBBAMIAAAAQNABAA=}#}
19、（12 分）
已知集合A x y lg( x2 5x 4) ,集合B x x2 (a 2)x 2a 0
(1)当 a 3时，求 A RB
(2)若“ x A”是“ x B”的必要不充分条件，求实数 a的取值范围．
20、（12 分）
f x log 3 x已知函数 3 log
3 ．
x 27
f x
(1)求函数 的值域；
x f x 5 a a x 0, (2)若关于 的不等式 对任意的 恒成立，求正实数 a的取值范围．
21、（12 分）
f (x) 2
x a
已知定义在 R 上的函数 2x 1 2是奇函数．
f (t 1) f 1 0
(1) 求实数 a的值；(2)证明 f (x)在R 上为减函数并解不等式 t ．
22、（12 分）
g x mx 2 2mx 1 n m 0 1,2
已知函数 ， 在区间 上有最大值 0，最小值 1.
(1) 求实数m， n的值；
x 0,1 g 2x 1 k 2x 1 0
(2)存在 ，使得 成立，求实数 k的取值范围；
h x a 1 x2 3x f x g x h x x 0,1 f x 1
(3)若 ，且 ，如果对任意 都有 ，试求
实数 a的取值范围
{#{QQABAQQUggAIAAAAABhCUQHaCkMQkAECCIoOBBAMIAAAAQNABAA=}#}华安县2023-2024 学年上学期第二次月考
高一数学参考答案
一、单选题：
1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6. D 7.A 8.B
二、多选题：
9. ABC 10.BCD 11.AD 12. BCD
三、填空题：
13. 5 14. 2,4 15. 1 2 ． 16． , 0,1
5 2 3
四、解答题：
17、（1）
cos 4
， 在第二象限，
5
；
sin 1 cos2 3 , tan sin 3
5 cos 4
tan sin sin cos tan 1 2 1 1（2）由 ，所以 ；
cos sin 3cos tan 3 2 3 5
2
1
1 1 1
a 3 2
b 2 a 2b 3 1 1 1 1 1 5 18 1、（1）解：原式 1 5 a 3 2 6b 2 3 6 a
1 .
a 6
a
b6
1
（2） lg 25 lg 2 lg
1
log2 9 log2 100 3
2
1
lg 52 lg 2 lg10 2 log 32 log 2 .
2 2 3
lg5 lg 2 2 2log 23 log 32 1 2 2 3
19.（1） A (1,4) a 3 B 2,3
RB ,2 3,
A RB 1,2 3,4
（2）解：因为“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，所以集合 B是A的真子集，
2
由不等式 x a 2 x 2a 0，可得 x 2 x a 0，
当 a 2时，不等式的解集为 a x 2，即 B a, 2 ，因为 B A，则1 a 2；
当 a 2时，不等式为 (x 2)2 0，解得 x 2，即 B 2 ； B A成立；
当 a 2时，不等式的解集为 2 x a，即 B 2,a ，因为 B A，则 2 a 4，
{#{QQABAQQUggAIAAAAABhCUQHaCkMQkAECCIoOBBAMIAAAAQNABAA=}#}
综上所述1 a 4，即 a的取值范围是 1,4 ．
20、（1）因为 f x 1 log3x log3x 3 log x
2
3 4log3x 3，令 log3x t t R ，
可得 y t 2 4t 3 t 2 2 1 1 ，
所以当且仅当 t 2，即 x 9时，函数 f x 取到值域为 ,1 ．
（2）由（1）可得：当且仅当 t 2，即 x 9时，函数 f x 5取到最大值 6，
所以 a a 6，即 a 2 a 3 0，且 a 0，解得 a 3，即 a 9，
故实数 a的取值范围为 9, ．
21、（1）由题意 f (0)
1 a a 1
0，解得 a 1，经检验，实数 a的值为 1.
2 2 4
（2） x1, x2 R ，不妨设 x1 x2，则
f x f x 1 1 2
x x
1 2 1 1 2 2 2 1
1 2 2 2 x 1
1 2 2 x 1 2x1 1 2x
x x ，
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1
2x2 2x1
因为 x1 x2，所以 2x2 2x1 ,2x1 1 0,2x2 1 0，从而 f x1 f x2 0 2x1 1 2x2 1 ，即
f x1 f x2 ，
1
所以 f (x)在R 上为减函数，由题意 f t 1 f 0 f t 1
1 1
f
t
f
t t
，
t 1
1
所以当且仅当 t ，解得 t 0 .即不等式 f (t 1)
1
f t
0的解集为 ,0 .
t 0
22．（1）由题意，函数 g x 的对称轴为 x 1，开口向上，
g 1 m 2m 1 n 1
所以函数 g x 在 1,2 上单调递增，则 ，解得m 1，n 1 .
g 2 4m 4m 1 n 0
2 2
（2）由（1）知， g x x 2 x，则存在 x 0,1 ，使得 2x 2 2x 1 k 2x 1 0成立，
存在 x 0,1 2，使得 2x 2 2k 2x 1 0 x成立，令 2 t 1 t 2 2，即 t 2 2k t 1 0成立，
即 2 2k t
1
成立，则只需满足 2
1
2k t
1
.因为函数 y t 在 t 1,2t 上单调递增，t max t
t 2 t
1 5
2 2k 5 k 1 1 k , 所以当 上， t 2，所以 ，即 ，所以实数 的取值范围为 . max 2 4 4
{#{QQABAQQUggAIAAAAABhCUQHaCkMQkAECCIoOBBAMIAAAAQNABAA=}#}
（3）法一：由题意， f x g x h x x2 2x a 1 x2 3x ax2 x，
因为对任意 x 0,1 都有 f x 1，即 1 ax2 x 1恒成立，
当 x 0时，显然成立；
1 1
a
x 0,1 x
2 x
当 时， 1 ax2 x 1转化为 恒成立，
a 1 1
x2
x
由 x 0,1 1，则 1, ，
x
1 1 1 1 2 1 1 1 1
对于 2
，所以当 1，即 x 1时， 0，即 a 0；x x x 2 4 x x
2 x min
1 1 1 1 2 1 1 1 1
对于 ，所以当 1，即 x 1时， 2，即 a 2 .
x2 x x 2 4 x x
2 x max
综上所述，实数 a的取值范围为 2,0 .
法二：由题意， f x g x h x x2 2x a 1 x2 3x ax2 x，
因为对任意 x 0,1 都有 f x 1，即 1 ax2 x 1恒成立
分a 0,a 0,a 0，等价于求动轴定区间的最值
{#{QQABAQQUggAIAAAAABhCUQHaCkMQkAECCIoOBBAMIAAAAQNABAA=}#}