数学参考答案
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A D D B B
1.解析：由题意，，所以,
所以．故选：D．
2.【答案】C.
解析：a2 = 4，a1a5 = 64，而a2a4 =a1a5 = 64 ，所以a4 =16，故选C.
3.【答案】B
【解析】，，，，
推不出，，
是的必要不充分条件，即是的必要不充分条件．
故选B
4.【答案】A
解析：
由对数函数的性质知
故选A.
5．【答案】D．
【解析】由,
所以,故选D．
6.【答案】D
【解析】，，选D.
7．【答案】B
解析：已知的边长，此时外接圆的半径为，又，故球心到面的距离为，故点到面的最大距离为，此时，故选B．
8．【答案】B
【解析】∵时，，，∴，即右移个单位，图像变为原来的倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，∴(舍)，∴，，∴时，成立，即，∴，故选B ．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD ABC ACD
9．答案：AC
解析：22出现的次数最多，众数是22，所以A对；
80百分位数是（26+20）/2 = 23, 所以B错；
计算易知平均数30，C对；
前4各数据的平均数是25，方差为，
后4个数据的平均数是25，方差为，故D错.
10.【答案】 ABD
【解析】对于， ，所以 为纯虚数，故 A正确
对于，，因为 ，所以 ，所以复数对应的点位于第二象限，故B正确；
对于， ，复数 的共轭复数为 ，故C错误
对于，复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为的半圆，故 D正确．故本题选：．
11．【答案】
【解析】①已知，，且，所以，则，故正确．
②利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故正确．
③由于，，且，
利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故正确．
④，故D错误
故选：．
12. 【答案】ACD
【解析】由抛物线的方程可得焦点，，由题意可得直线，的斜率存在且不为0，设直线 的方程为：，设，，，，
联立，整理可得：，
显然，，，
，，
所以，所以A正确；
由于 , ,
所以将中的换成代入中得 ,
，当且仅当时等号成立，所以四边形的最小面积为，所以B不正确；
设,，,，
若，即，
整理可得，
即，解得，即，而直线的斜率，
所以直线的斜率为，所以D正确；
可得弦长,，
所以，所以C正确；
故选：ACD
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 18 （满足即可）.
13.【答案】
解析：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
14.【答案】（满足即可）
【解析】与关于轴对称，
即关于轴对称， ，
则，当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
15.【答案】
【解析】在的垂直平分线上，
在圆满足条件的有且仅有一个，直线与圆相切，
16.【答案】
【解析】设被挖去的正方体的棱长为，圆锥底面半径为，取过正方体上下底面面对角线的轴截面，由相似三角形得则，解得．模型的体积为，
因此，制作该模型所需材料质量约为．
故答案为：
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）
【答案】（1）；（2）,
解析：(1)由知为等差数列，设的公差为，则
成等比数列，所以，即
解得又，所以的通项公式为．.........................5分
(2)由(1)得................................................................7分
所以当时，取得最小值，最小值为．....................................10分
18.（本小题满分12分）
【答案】(1)，；
(2)众数为70，分位数为；
(3).
【解析】（1）由题意可知：，，
解得，；...........................................................................................4分
（2）由频率分布直方图得众数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
第分位数等于；...................................................8分
（3）根据分层抽样，和的频率比为
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和
则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有
共10个，
即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含的样本点有
共4个，即，
所以.......................................................................................................12分
（本小题满分12分）
【答案】（1）证明见解析 （2）．
【解析】
因为，取中点M，连接CM，则，,,所以,即又平面ABCD，所以，................................4分
由.......................6分
以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，
因为E是PB的中点,则，
所以．...............7分
设平面EAC的法向量为，
则即所以平面EAC的法向量为，
显然，平面PDC的法向量为..................................................10分
设平面PDC和平面EAC的夹角为，为锐角
则．......................12分
故平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为．
20.（本小题满分12分）
【解析】
（1），
，.................................4分
.....................................6分
由（1）知.........................................8分
设，
.......................10分
......................................12分
21.（本小题满分12分）
解析：(1)证明：当时，，解得，
当时，由，
得，
两式相减得，即，
∴是首项为3，公比为3的等比数列；...........................................6分
(2)由（1）可得：，
．..............................................................8分
当时，，所以，
.........................................................................10分
∴
所以................................................................................12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）由，得，
所以圆心为，半径为4，连接，由l是线段的中垂线，得，
所以，又，
根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，
所以，所求曲线C的方程为． ……………………… 5分
（2）由（1）知D（－2，0），E（2，0）．
设过点F的直线为x = ty + 1，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立x = ty + 1和，
消去x，整理得 （3t2 + 4）y2 + 6ty－9 = 0，
∴ ，，...............................8分
从而 ． ……………………… 10分
∴ =．…………… 12分云南省下关教育集团2023-2024学年高二上学期12月段考（二）
数学试卷
试卷满分150分 考试时间120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.设全集，集合，则( )
A． B． C． D．
2.设{an}是等比数列，若a2 = 4，a1a5 = 64，则a4 =（ ）
A.8 B.12 C.16 D.32
3.设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
则（ ）
5．若,则( )
A． B． C． D．
2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（ ）
A B.
C. D.
7．设是同一个球面上四点，球的表面积为，是边长为6的等边三角形，则三棱锥体积的最大值为( )
A． B． C． D．
8．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则
A．众数是22 B．80百分位数是28
C．平均数是30 D．前4个数据的方差比最后4个数据的方差大
10.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是( )
A. 复数为纯虚数 B. 复数对应的点位于第二象限
C. 复数的共轭复数为
D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
11．已知，，且，则
A． B．
C． D．
12. 已知点F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦且，直线AB的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方，则（ ）
A. B. 四边形ABCD面积最小值为64
C. D. 若，则直线CD的斜率为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
14. 若点关于轴对称点为点，写出的一个取值
为 ．
已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为__________.
学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为.打印所用材料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需材料的质量为________.
（取）
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知数列满足，且成等比数列，
(1)求的通项公式；
(2) 设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.
18. （本小题满分12分）
2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；
(3)在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，
平面，，E是棱PB上一点．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若E是PB的中点，求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．
20.（本小题满分12分）
在中，的对边分别为
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.
21.（本小题满分为12分）
已知数列的前项和为，且．
(1)求证：是等比数列；
(2)若,数列的前项和为，求证：．
22．（本小题满分12分）已知圆和定点F（1，0），P是圆H上任意一点，线段FP的中垂线l和直线PH相交于点M，当点P在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C与x轴的两个交点为D,E, 过点 F的直线与曲线C交与A,B两点(注：点A,B与D,E不重合），设直线AD，BE的斜率分别是k1，k2，求的值.
