山东省烟台市爱华高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(无答案)

烟台市爱华高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
满分：150分 时长：120分钟
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设，向量，则（ ）
A．2 B．1 C． D．4
2．设直线，则的倾斜角的范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆的圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是的重心，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆C：上的点到直线的最短距离为，则的值为（ ）
A．或2 B．2或 C．或 D．或2
7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．如图，在鳖臑中，平面分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
8．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．20
二、多项选择题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．对于空间任意两个非零向量是的充要条件
B．若向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．若，则与向量共线的一个单位向量为
D．若构成空间一组基底，则共面
10．已知圆C：，则下述正确的是（ ）
A．圆截直线所得的弦长为
B．过点的圆C的最短弦所在的直线方程为
C．直线与圆相切
D．圆与圆相交
11．已知正方体的棱长为是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ）
A．与一定不垂直 B．的面积是
C．点P到平面的距离是定值 D．二面角的正弦值是
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．在直线上存在异于的两点，使得
三、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知，若直线与直线平行，则_______．
14．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则的长度为_______．
15．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是_______．
16．已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为_______．
四、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
已知的三个顶点，边的中线所在直线方程为．
（1）求实数；
（2）试判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱台中，平面，且为中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求此时直线和平面所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
圆过点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）为圆上的任意一点，定点，求线段中点的轨迹方程．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上．
（1）证明：平面平面；
（2）当时，求二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知圆与直线相切于点，圆心在轴上．
（1）求圆的方程；
（2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线是的中点，四边形为正方形．
（1）设平面平面，证明：；
（2）设为的中点，是线段上的一个点，当与平面所成角最大时，求的长．