福建省福州市闽侯县2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

闽侯县2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试卷
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．己知圆的一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，圆心坐标为，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知点在抛物线的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得．其中正确命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于A，B两点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出得选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知数列满足，则下列各数不是的项的有（ ）
A． B． D． C．3
10．已知方程表示曲线C，则（ ）
A．当时，曲线C一定是椭圆
B．当或时，曲线C一定是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
11．如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为8 B．椭圆的离心率为
C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为
12．在棱长固定的正方体中，点E，F分别满足，，则（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，存在使得平面
C．当时，点A，B到平面的距离相等
D．当时，总有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为___________．
14．直线被圆截得的弦长为___________．
15．设，向量，且，则__________．
16．已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的渐近线交于M，N两点．若（O为坐标原点），则C的离心率为___________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
若直线l的方程为．
（I）若直线l与直线垂直，求a的值；
（Ⅱ）若直线l在两轴上的截距相等，求该直线的方程．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，平面ABCD，且．
（I）求证：；
（II）求AP与平面CMB所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
己知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（I）求双曲线C的方程：
（Ⅱ）已知双曲线C的左、右焦点分别为，直线l经过，倾斜角为，l与双曲线C交于A，B两点，求的面积．
20．（本小题满分12分）
已知：圆与圆．
（1）当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程．
（2）若两圆外切，求的值及外公切线的长．
21．（本小题满分12分）
在四棱锥中，平面ABCD，，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足．
（I）求证：平面PBC；
（I）求平面PGC与平面BPC夹角的余弦值．
（Ⅲ）在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知抛物C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，的面积为．
（I）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”；若没有，请说明理由．
闽侯县2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题答案
说明:(1)此评分标准仅供参考;
(2)学生解法若与此评分标准中的解法不同,请酌情给分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-4 DCDB 5-8 ACDA
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.AC 10. BD 11.CD 12.ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 4 15. 3 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本题满分10分）
解：（Ⅰ）直线与直线垂直， ，………………4分
解得．……………………………………………………………5分
（Ⅱ）当时，直线化为．不满足题意．………………………………6分
当时，可得直线与坐标轴的交点，．
直线在两轴上的截距相等，，解得：．……………9分
该直线的方程为：或．…………………………………10分
18. （本题满分12分）
解：Ⅰ证明：平面，，…………1分
四边形是矩形，，…………………2分
又， …………………3分
平面，又平面，…………4分
．……………………………………5分
Ⅱ解：以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，……………………………………6分
，，，
设平面的法向量为，则，即，
取可得，……………………………………9分
，，……………………………………11分
与平面所成角的正弦值为．…………………………………… 12分
19. （本题满分12分）
解（Ⅰ）设所求双曲线方程为 ……………………………………2分
代入点得，即
所以双曲线方程为，即. …………………………… 5分
（Ⅱ）.直线的方程为.设
联立得满足 ……………………………… 7分
由弦长公式得 ……………9分
点到直线的距离.……………11分
所以 …………………………………………12分
20．（本题满分12分）
解：且，…………………………2分
时，，所以，所以两圆相交．…………4分
用圆减去圆的方程得到两圆公共弦所在直线的方程为：．…………6分
（Ⅱ）若两圆外切，则，即，解得．……… 8分
此时，，所以外公切线长为：
，……………………… 12分
21．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）如图1，取中点，
且，又∵，分别为，的中点，
∴且，
且，四边形为平行四边形，……… 1分
，平面，平面，…………… 2分
平面.………………………………………………… 3分
（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DA，因为=45°，所以PD=DA，设，
又因为AB⊥AD，AB∥DC，所以DC⊥AD，如图2，以为原点，，，所在方向分别是，，轴正方向建立空间直角坐标系， ……………………… 4分
则，，，，，
所以，，，
设点坐标为，则，，由得，则，，……………………………………………… 5分
，
设平面的法向量为， 由，
令x=1，得 ，……………………………………… 6分
设平面的法向量为，由，
令b=1，得 ，……………………………………… 7分
所以，由图可知，平面与平面夹角为锐角，
故平面与平面夹角的余弦值为.……………………………… 8分
（Ⅲ）设，，
，，
与平面所成角的正弦值为
，………………………………………………………… 10分
整理得 ，解得 ，（舍）……………… 11分
存在满足条件的点，，则.…………………………………………… 12分
22．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意,………… 2分
,抛物线C的方程为……………………………………… 3分
（Ⅱ） 设,直线MN的方程为
联立 得
,,……………………… 5分
(i)时,, 同号,
又………………… 6分
不论a取何值,t均与m有关,即时A不是“稳定点”；…………… 8分
(ii) 时, , 异号,
又
………………………… 11分
所以,仅当,即时,t与m无关,此时A即抛物线C的焦点.
故抛物线C对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. ………………………… 12分