河北省邯郸市永年区第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

永年区第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学（人教版）试题
内容与范围：选择性必修二第二册第一章数列，选择性必修一全册
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在等差数列中，，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．在数列中，，，若，则n等于（ ）
A．671 B．673 C．674 D．675
3．在等比数列中，，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
5．已知两点，，直线l过点且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
6．设等差数列和的前n项和分别为，，若对任意的，都有，则（ ）
A． B． C． D．
7．在等比数列中，若，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知焦点分别在x，y轴上的两个椭圆，，且椭圆经过椭圆的两个顶点与两个焦点，设椭圆，的离心率分别是，，则（ ）
A．且 B．且．
C．且 D．且
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知等差数列满足，前3项和，则（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列的公差为
C．数列的前n项和为
D．数列的前22项和为
10．设等比数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A．数列的公比为2 B．数列的公比为
C． D．
11．设数列前n项和，且，，则（ ）
A．数列是等差数列 B．
C． D．
12．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限的公共点，设方程为，则有（ ）
A．
B．的内切圆与x轴相切于点
C．若，则的离心率为
D．若，则椭圆方程为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为________．
14．若数列的前n项和，则数列的通项公式________．
15．学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃。欲将轻骑逐，大雪满弓刀。”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情。这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归。月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想（，1，2，…）是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设（，2，…），，则数列的前n项和________．
16．若数列的首项，且．令，则________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。第17题10分，其余各题均为12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知等差数列中，，，公差．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和的最大值及相应的n的值．
18．（本小题12分）
等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前n项和．若，求m．
19．（本小题12分）
已知为数列的前n项和，已知，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足的n的最大正整数值．
20．（本小题12分）
已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，且，．
（1）证明是等比数列．
（2）令，求数列的前n项和．
21．（本小题12分）
如图，在四棱锥中，四边形BCDE为梯形，，，平面平面BCDE，．
（1）求证：平面BCDE；
（2）若，求平面CAB与平面DAB夹角的余弦值．
22．（本小题12分）
已知椭圆E：离心率为，焦距为．
（1）求E的方程；
（2）过点分别作斜率和为1的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．求证：直线MN过定点．
永年区第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学（人教版）参考答案
内容与范围：选择性必修二第二册第一章数列，选择性必修一全册
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．C 2．C 3．B 4．A 5．A
6．B 7．C 8．A
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．BCD 10．AD 11．BCD 12．BCD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．； 14．； 15．； 16．5050．
5．解：如图，要使直线l与线段MN相交，则应满足或，
因为，，所以或．
故选A．
6．解：由题意得：
．
故选B．
7．解：由，得，因为，则且，
由，得，即，则或，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选C．
8．解：由已知，，，所以，，
又因为，即，即即化简得，
所以，，得，，
令，则．
故选A．
9．解：设等差数列的公差为d，
由题知，，解得，，则，
故A错，BC正确；
记的前n项和为，因为，
所以
所以，故D正确．
故选：BCD
10．解：设等比数列的公比为q则根据题意有：
；
即；
解得；
则；
故选AD．
11．解：时，，
∴，即．
∵，解得，
∴是以2为公比1为首项的等比数列，
∴，故A错，B对，
∴是1为首项4为公比的等比数列，
∴，∴C对，
，
∴，
∴
，∴D对，
故选BCD．
12．
解：
由双曲线：可得，
可得，则，故A错误；
设的内切圆的圆心为I，与边，，相切于N，M，K，
可得，，，
而，即，
又，解得，
可得M的横坐标为1，即的内切圆与x轴相切于点，故B正确；
椭圆中，，，
可得，
由，
则，解得．
则的离心率，故C正确；
，，
可得，，
若，可得，
又，，
解得，，则椭圆的方程为，故D正确．
故选：BCD．
13．解：∵点在抛物线C：上，
∴，得，得抛物线的准线方程是，
则A到C的准线的距离为，
故答案为．
14．解：当时，，
当时，．
∵不适合上式，∴
故答案为
15．解：因为，
所以，
所以，
所以数列的前n项和
．
故答案为．
16．解：∵数列的首项，且，∴，
∴是首项为3，公比为3的等比数列，∴，
∴，
∴．
故答案为5050．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。第17题10分，其余各题均为12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）解：（1）∵为等差数列，∴∴
解得：（因，舍去）
∴，……5分
（2）令，解得，
∴或11时，取得最大值，
∴，
故当或11时，取得最大值，其最大值为55．……10分
18．（本题12分）解：（1）∵等比数列中，，．
∴，
解得，
当时，，
当时，，
∴的通项公式为，，或．……6分
（2）记为的前n项和．
当，时，，……8分
由，得，，无解；……9分
当，时，，……11分
由，得，，
解得．……12分
19．（本题12分）解：（1）当时，，可得；
当时，，①
，②
①-②得
整理得，……3分
因为，
可得，，
所以是等差数列，首项3，公差为2，……5分
所以，
所以；……6分
（2）设，……8分
所以
令，……11分
解得，
所以n的最大正整数值为8．……12分
20．（本题12分）解：（1）∵，∴，
∴，又．
∴数列是首项为，公比为3的等比数列．……4分
（2）由（1）知，
∴，，……5分
设等差数列的公差为d，∴，
∴，∴．……6分
∴
．……7分
令，①，
∴，②，
①-②得
，
∴，……10分
∴
．……12分
21．（本题12分）解：（1）因为平面平面BCDE，平面平面，
，平面BCDE，所以平面AED，
因为平面AED，所以，
因为，，BD，平面BCDE，所以平面BCDE．……4分
（2）因为平面BCDE，，所以BE，DE，AE两两互相垂直，
以E点为原点，EB，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
得各点坐标分别为：、、、，
得，，．……6分
设平面CAB的一个法向量为，由，，得
令得，，从而……8分
设平面ABD的一个法向量为，
由，，
得令得，，从而……10分
，
所以平面CAB与平面DAB夹角的余弦值为．……12分
22．（本题12分）解：（1）由题可得，，解得：，
∴椭圆E：；……4分
（2）设直线AB与直线CD的斜率分别为，，且都过点，
则有直线AB：，直线CD：，且，……．5分
设，，
联立直线AB与椭圆E，有，
消y得：，……6分
恒成立，
∴，，
所以AB中点．同理可得，CD中点，……7分
由题可知，
所以直线MN斜率，
，……9分
所以直线MN方程为：
，
当时，，
即直线MN恒过定点．……12分