广东省揭阳市重点中学2023-2024学年高一上学期期中联合质量监测数学试卷（含解析）

揭阳市重点中学2023-2024学年高一上学期期中联合质量监测
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若是幂函数，则
A.2 B.1 C.0 D.
2.已知集合，，则
A. B. C. D.
3.已知，则的最小值为
A.50 B.40 C.20 D.10
4.已知函数则
A. B.1 C.7 D.5
5.巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军.其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”.若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的
A.1.1倍 B1.25倍 C.1.1025倍 D.1.0025倍
7.函数的图象大致为
A. B. C. D.
8.已知，，，则
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列函数的定义域为的是
A. B. C. D.
10.已知函数在区间上是单调函数，则可能为
A. B. C. D.
11.人们常用里氏震级表示地震的强度，（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为焦耳，则
A.
C.乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为焦耳
D.甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的倍
12.已知函数，若，则
A. B.若，则
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.“，”的否定是_________.
14.已知集合，则的子集个数为___________.
15.函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为___________.
16.已知函数.若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）计算：（1）.
（2）.
18.（12分）已知实数满足（且），且函数满足.
（1）求的值；
（2）求在上的值域.
19.（12分）如图，对数函数的图象与一次函数的图象有，两个公共点.
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式的解集中恰有1个整数解，求的取值范围.
20.（12分）已知定义在上的偶函数.当时，.
（1）在平面直角坐标系中作出在上的图象；
（2）若在上单调递增，求的取值范围.
21.（12分）某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量（单位：万件）与年广告宣传费用（单位：万元）之间满足关系式（，），生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为万元，每件产品的生产费用为64元.已知该厂家销售的该类产品的产品单价每件产品的生产费用平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出.
（1）请写出该类产品的年度总利润（单位：万元）与年广告宣传费用（单位：万元）之间的函数关系式.（注：年度总利润=年销售总收入+年度政府的专项补贴－总成本，总成本=固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用）
（2）试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润.
22.（12分）已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）试判断的单调性，并用定义证明；
（3）设函数，若，函数的两个零点分别为，（），函数的两个零点分别为，（），求的最大值.
高一数学参考答案
1.A 由，得.
2.C 依题意得，则.
3.C ，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为20.
4.B ，，故.
5.B 会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”.
6.C 该湖泊的蓝藻变为原来的倍.
7.B 因为，所以为奇函数，排除选项A.因为的定义域为，所以排除选项D.因为，所以排除选项C.
8.A 由题意可得，，，因为函数在上单调递增，所以，则.
9.AB 函数，的定义域为，的定义域为，的定义域为.
10.ACD 因为函数在上单调递增，上单调递减，函数单调递增，根据复合函数的单调性可得的单调递增区间为，单调递减区间为.
11.BD 由题意可得，即，解得，A错误，B正确.若，则，，C错误.若，则，，，D正确.
12.ABD 因为的定义域为，且，所以是奇函数.
因为函数，在上都单调递减，所以在上是减函数.
由，得，即，则，A正确.
因为，所以，则，所以，B正确.
因为在上是增函数，且，所以，即，C错误.因为，所以，因为幂函数在上单调递增，所以，D正确.
13.， 存在量词命题的否定是全称量词命题.
14.4 因为有2个元素，所以的子集个数为.
15. 由题意可得恒成立，即恒成立.当时，恒成立，符合题意.当时，由解得，故的取值范围为.
16. ，令，则关于的方程在上有两个不相等的实数根，则，解得.
17.解：（1）原式.
（2）原式.
18.解：（1）由题意得，则，解得.
（2）因为在上单调递减，
所以，，
故在上的值域为.
19.解：（1）因为，所以.
设（且），则，解得，
所以.
（2）不等式即.
因为的定义域为，
所以关于的不等式的解集中只有1个整数元素1，
所以，即的取值范围为.
20.解：（1）因为为偶函数，所以的图象关于轴对称.
作出在上的图象，如图所示.
（2）由图可知的单调递增区间为，.
当时，，解得.
当时，由，解得.
综上，的取值范围为.
21.解：（1）由题意知，当年生产量为万件时，总成本为（万元），
当销售量为万件时，年销售总收入为（万元），
由题意得，
即（，）.
（2）由（1）得（，），因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元.
22.解：（1）由，可得，
即，化简得，故.
（2）在上单调递增.
由（1）得.任取，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
故在上单调递增.
（3）由题意得.
由，得，，即，
由，得，，，
则，
又因为，所以，
则，即的最大值为.