辽宁省辽东南协作校2023-2024学年高二上学期12月月考数学（A卷）试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省辽东南协作校2023-2024学年高二上学期12月月考数学（A卷）试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 726.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-16 16:30:44 | ||
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文档简介
辽东南协作校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学
时间：120分钟 分数：150分
命题范围：选择性必修一，选必二到3.1章
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线过点，则此直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ）
A．48 B．54 C．72 D．84
4．已知点是圆上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的一个焦点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．． D．
6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．152 B．126 C．90 D．54
7．若双曲线的离心率为，则点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．满足方程的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
10．若椭圆的焦距是2，则的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．已知空间三点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．若双曲线过点，且它的渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．曲线经过双曲线的一个焦点
C．双曲线的离心率为 D．直线与双曲线有两个公共点
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与双曲线相交于两点，则______；
14．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有______种．
15．圆上的点到直线的距离的最大值是______；
16．已知在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是______．
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 。
17．（本小题满分10分）
经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点．
（I）若直线的斜率是，求的值；
（II）若是坐标原点，求的值．
18．（本小题满分12分）
已知圆经过两点，且圆心在轴上．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与直线垂直，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，点、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，底面为正三角形，，平面平面为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为．
（1）若为等边三角形，求椭圆的方程；
（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程．
高二数学（A）答案
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C A D B D C AB BD AC ABD
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．； 14．12； 15．； 16．
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
解：（I）抛物的焦点是，直线方程是，与联立得，解得．所以．
（II）当垂直于轴时，．
当不垂直于轴时，设代入得，
所以，从而．
故．综上．
18．（本小题满分12分）
解析：（1）已知圆心在轴上，
故设圆的标准方程为，
∵圆经过两点，
∴解得，
故圆的标准方程为．
（2）由题意可得，，
所以直线的斜率为，
设直线的方程为，
圆心到直线的距离，
∵直线与圆相交所得弦长为，
∴，解得或，
故直线的方程为或．
19．（本小题满分12分）
解析（1）证明：如图，连接、，因为三棱柱为直三棱柱，
所以为的中点．又因为为的中点，所以．
又平面平面，所以平面．
（2）以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
令，得，
记与平面所成角为，则
20．（本小题满分12分）
解（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为，所以．
由可得，解得，
故双曲线的标准方程为
（2）设中点的坐标为，
则，①，②②－①得，，
即，又，所以，
所以直线的方程为，即
21．（本小题满分12分）
解析（1）证明：∵底面为矩形，∴，
又∵平面平面平面．
又∵平面，平面平面．
（2）如图，取的中点，连接，过点作交于点．
∵侧面为正三角形，∴，
∵平面平面，且交线为，
∴平面底面为矩形，∴．
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，
∴．
设，则，
∴．
设平面的法向量为，
则
令，则平面的一个法向量为．
易知是平面的一个法向量．
∴，
解得．
又∵平面的一个法向量，
∴点到平面的距离为
22．（本小题满分12分）
解（1）由题意知，为等边三角形，
所以，又，所以，
又由，可得，
故椭圆的方程为
（2）易知椭圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
设，
则，
因为，所以，即，解得，即，
故直线的方程为或
数学
时间：120分钟 分数：150分
命题范围：选择性必修一，选必二到3.1章
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线过点，则此直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ）
A．48 B．54 C．72 D．84
4．已知点是圆上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的一个焦点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．． D．
6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．152 B．126 C．90 D．54
7．若双曲线的离心率为，则点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．满足方程的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
10．若椭圆的焦距是2，则的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．已知空间三点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．若双曲线过点，且它的渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．曲线经过双曲线的一个焦点
C．双曲线的离心率为 D．直线与双曲线有两个公共点
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与双曲线相交于两点，则______；
14．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有______种．
15．圆上的点到直线的距离的最大值是______；
16．已知在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是______．
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 。
17．（本小题满分10分）
经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点．
（I）若直线的斜率是，求的值；
（II）若是坐标原点，求的值．
18．（本小题满分12分）
已知圆经过两点，且圆心在轴上．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与直线垂直，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，点、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，底面为正三角形，，平面平面为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为．
（1）若为等边三角形，求椭圆的方程；
（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程．
高二数学（A）答案
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C A D B D C AB BD AC ABD
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．； 14．12； 15．； 16．
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
解：（I）抛物的焦点是，直线方程是，与联立得，解得．所以．
（II）当垂直于轴时，．
当不垂直于轴时，设代入得，
所以，从而．
故．综上．
18．（本小题满分12分）
解析：（1）已知圆心在轴上，
故设圆的标准方程为，
∵圆经过两点，
∴解得，
故圆的标准方程为．
（2）由题意可得，，
所以直线的斜率为，
设直线的方程为，
圆心到直线的距离，
∵直线与圆相交所得弦长为，
∴，解得或，
故直线的方程为或．
19．（本小题满分12分）
解析（1）证明：如图，连接、，因为三棱柱为直三棱柱，
所以为的中点．又因为为的中点，所以．
又平面平面，所以平面．
（2）以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
令，得，
记与平面所成角为，则
20．（本小题满分12分）
解（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为，所以．
由可得，解得，
故双曲线的标准方程为
（2）设中点的坐标为，
则，①，②②－①得，，
即，又，所以，
所以直线的方程为，即
21．（本小题满分12分）
解析（1）证明：∵底面为矩形，∴，
又∵平面平面平面．
又∵平面，平面平面．
（2）如图，取的中点，连接，过点作交于点．
∵侧面为正三角形，∴，
∵平面平面，且交线为，
∴平面底面为矩形，∴．
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，
∴．
设，则，
∴．
设平面的法向量为，
则
令，则平面的一个法向量为．
易知是平面的一个法向量．
∴，
解得．
又∵平面的一个法向量，
∴点到平面的距离为
22．（本小题满分12分）
解（1）由题意知，为等边三角形，
所以，又，所以，
又由，可得，
故椭圆的方程为
（2）易知椭圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
设，
则，
因为，所以，即，解得，即，
故直线的方程为或
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