12.5.1.1 因式分解(提取公因式) 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
课前准备
请拿出你的课本、彩色笔和练习本等用品，还有你的激情和坐姿。
学而不思则罔 思而不探则空
12.5.1.1因式分解——提取公因式
第一课时
1.整式乘法有几种形式
2.乘法公式有哪些
(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式
(3)多项式乘以多项式
(1)平方差公式
(2)完全平方公式
（两数和的平方或两数差的平方）
回顾 & 思考

运用前两节所学的知识填空
1).m(a+b+c)= 。
2).(a+b)(a-b)= 。
3).(a+b)2= 。
1).ma+mb+mc= m ( )
2).a2-b2=( )( )
3).a2+2ab+b2=( )2
ma+mb+mc
a2-b2
a2+2ab+b2
a+b+c
a+b a-b
a+b
根据上面结果填空：
想一想：上面两组有何特点？
获取新知
m
a
m
b
m
a
a
b
a
a+b+c
x
x
x
1
x
1
1
1
x+1
观察下面的拼图过程,写出相应的关系式。
ma+mb+mc=m(a+b+c)
x2+2x+1=(x+1)2
1.
2.
m
m
m
m
x
x
x
x
因式分解
1).ma+mb+mc= m ( a+b+c)
2).a2-b2=( a+b)(a-b)
3).a2+2ab+b2=(a+b)2
1).m(a+b+c)=ma+mb+mc
2).(a+b)(a-b)=a2-b2
3).(a+b)2=a2+2ab+b2
整式乘法
特点：左边为几个整式(至少有一个多项式)积的形式；右边为几个单项式和的形式。
特点：左边为几个单项式和的形式；右边为几个整式(至少有一个多项式)积的形式。
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。
特点：将和差形式的多项式转化为几个整式积的形式。
1.因式分解与整式乘法是互逆过程。
(x+y)(x-y)
x2-y2
因式分解
整式乘法
2.因式分解的结果必须是整式乘积的形式，如这些不
是因式分解：
3.把一个单项式拆分成几个单项式的乘积也不能称为
因式分解，如
4.因式分解必须分解到不能分解为止，如：
注意
指出下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
(3) (5a-1)2=25a2-10a+1
(4) x2+4x+4=(x+2)2
(5) (a-3)(a+3)=a2-9
(6) m2-4=(m+2)(m-2)
(7) 2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
因式分解
因式分解
【训练1】
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明原因。
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c；
24x2y=3x ·8xy；
x2-1=(x+1)(x-1)；
(2x+1)2=4x2+4x+1；
x2+x=x2(1+ )；
2x+4y+6z=2(x+2y+3z).
最后不是积的运算.
因式分解的对象是多项式，而不是单项式.
是整式乘法.
每个因式必须是整式.
【训练2】
观察下面这个等式中左右两边的m
ma + mb + mc =( m )( a+b+c );
m是等式左边多项式的每一项共有的因式，m是等式右边积的一个因式。
上面这个等式中由左到右边的变形叫什么呢？你能总结出来变形的方法吗？
因式分解，把公因式提出来
怎样分解因式:
　　公因式：多项式中各项都有的因式，叫做这个多项式的公因式
多项式ma+mb+mc各项均有因式m，逆用乘法分配律可将多项式改写成m(a+b+c)的形式。
像这种将各项都有相同因式提出的分解方法，叫做提公因式法。
提公因式法
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。
相同因式p
这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
【例1】找 3x 2 – 6xy的公因式
系数：最大公约数
3
字母：相同的字母
x
所以公因式是3x。
指数：相同字母的最低次幂
1
找多项式公因式的基本步骤
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母。 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的，即字母最低次幂。
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
提公因式法
下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1) 3x+6y；
(2)ab-2ac；
(3) a2 - a3；
(4)4 (m+n) 2+2(m+n)；
(5)9m2n-6mn ；
(6)-6x 2y-8xy2.
【训练】
解：（1）2p3q2+p2q2
=-p2q2(2p-1)
（2）xn-xny
=xn(1-y)
（3）a(x-y)-b(x-y)
=(x-y)(a-b)
例2.把下列多项式分解因式
1). -2p3q2+p2q3 2). xn-xny 3). a(x-y)-b(x-y)
注意：
1.当某一项整体成为因式时，提公因式后括号内不要把1漏掉。
2.提公因式后，括号内的第一项的系数一般要求是正号的。
解：原式=2a(y-z)-3b(y-z)
(1)2a(y-z)+3b(z-y)
例3.把下列多项式因式分解
注意：互为相反数的两个因式，要当成相同因式看，但在提公因式前必须先其变为相同因式。
找准公因式要“五看”，即：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆开；
五看首项符号，若多项式中首项是“－”，一般情况下公因式符号为负。
提公因式法分解因式，要注意分解彻底；当某项恰好是公因式时，提取公因式后要用“1”把守；出现形如(b－a)3、(b－a)2等形式的问题，可化成－(a－b)3、(a－b)2的形式，即指数是奇数时要改变符号，指数是偶数时不改变符号，简言之：奇变偶不变。
1、若x2－x－m=（x+2)(x-3) 则m=_____
2、若 x2－ax+b=能分解成（x-1)（x-4），
则a=___,b=___。
学以致用
6
5
4
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
（4）3a+3b
（5）5x-5y+5z
（6） 4a3b-2a2b2
24x3y-18x2y
7(m-a)-14(a-m)2
(3) -16x4+32x3-56x2
把下列多项式因式分解
例4.快速计算：
解：原式=999×999+999×1
=999×（999+1）
=999×1000
=999000
解： 原式=2004×（2004+1 ）
=2004×2005
所以，能被5整除。
(2)20042+2004能被2005整除吗
(1).13.8×0.125+86.2×1/8
（1）12x2y+18xy2=3xy(4x + 6y)；
解：（1）错误，公因式没有提尽，还可以提出公因式2。
正解：原式=6xy(2x+3y)
下面的因式分解正确吗？如果有错，错在哪里？
怎样改正？
【易错】
（2）3x2 - 6xy+x =x(3x-6y)；
（3）- x2+xy-xz= - x(x+y-z).
（2）错误，提公因式后漏项1。
正解：原式=3x·x-6y·x+1·x=x(3x-6y+1)
（3）错误，提出负号后括号里的项没变号。
正解：原式= - (x2-xy+xz)=- x(x-y+z)
1.把下列各式分解因式：
(1)8m2n+2mn；
(2)12xyz-9x2y2；
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )；
(4) -x3y3-x2y2-xy.
2mn(4m+1)
3xy(4z-3xy)
(a2+b2)(p-q)
-xy(x2y2+xy+1)
2.分解因式：(x-y)2+y(y-x)
解法1：(x-y)2+y(y-x)
=（x-y）2-y(x-y)
=(x-y)(x-y-y)
=(x-y)(x-2y).
解法2：(x-y)2+y(y-x)
=（y-x)2+y(y-x)
=(y-x)(y-x+y)
=(y-x)(2y-x).
因式
分解
定义
ma+mb+mc=m(a+b+c)
方法
提公因式法
公式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
基本步骤（分两步）：第一步找公因式；第二步提公因式
（下节课学习）
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号要注意变号。
课堂总结
1. 指出下列各式的公因式
3.把下列各式分解因式：
⑴.2a－4b; ⑵.ax2+ax－4a; ⑶.3ab2－3a2b;
⑷.2x3+2x2－6x; ⑸.7x2+7x+14; ⑹.－12a2b+24ab2;
⑺.xy－x2y2－x3y3; ⑻.27x3+9x2y
4.已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值。
课后作业
2.下列分解因式正解的是（ ）
补充练习
(1)若a=101,b=99,求a2-b2的值。
(2)若x=-3,求20x2-60x的值。
谢谢指导