12.5.4用十字相乘法分解因式 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
十字相乘法
华师大版八(上)数学因式分解(增补)之
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
观察与发现
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
整式的乘法
反过来，得:
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
即：x ＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
2
x
x
a
b
ax＋bx=(a＋b)x
x
2
ab
观察与思考
（1）
反之
x
x
+2
+3
+3x+2x
（2）
a
a
-4
+1
-4a+a
反之
（3）
反之
a
a
-2
-3
-3a-2a
规律——
∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x
x
a
b
例1 分解因式 x －6x＋8
2
解：x －6x＋8
2
x
x
－2
－4
－4x－2x=－6x
=(x－2)(x－4)
步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱。
练一练：
小结——
将下列各式分解因式
当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一定同号,符号与一次项系数相同；
当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异号，绝对值大的数与一次项系数同号
练一练：
将下列各式分解因式
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解。
例2 分解因式：
解：
例3 分解因式 3x －10x＋3
2
解：3x －10x＋3
2
x
3x
－3
－1
－9x－x=－10x
=(x－3)(3x－1)
练一练
( 1 ) 2x2 + 13x + 15
( 2 ) 3x2 － 15x － 18
( 3 ) -6x2 +3x +18
( 4 ) 2x2+5xy - 12y2
( 5 ) 6x2 - 7xy – 5y2
(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5
(7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2
(8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
练一练
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd
解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd)
= a (b – c) + d (b – c)
= (a + d) (b – c)
还有别的解法吗？
例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1
解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1)
= (x3+1)(x2+x+1)
= (x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)
立方和公式
分组分解法随堂练习：
1）xy–xz–y2+2yz–z2
2）a2–b2–c2–2bc–2a+1
完全立方公式 ：
立方和差公式 ：
知识拓展
例1：因式分解 x6+14x3y+49y2
换元法
分析：注意到x6=(x3)2把单项式x3换元
解：设x3=m 则x6=m2
∴ 原式 =m2+14my+49y2
=(m+7y)2
=(x3+7y)2
换元法
例2：因式分解 (x2+4x+6)(x2+6x+6)+x2
分析：前面两个多项式有相同部分，我们可以只把相同部分换元
解：设x2+6=m 则x2+4x+6=m+4x x2+6x+6=m+6x
∴ 原式 =(m+4x)(m+6x)+x2
=m2+10mx+24x2+x2
=m2+10mx+25x2
=(m+5x)2
=(x2+6+5x)2
=[(x+2)(x+3)]2
=(x+2)2(x+3)2
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1
另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
= (x+1)(x4+2x2+1–x2)
= (x+1)[(x2+1)2–x2]
= (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)
拆项添项法
怎么结果与刚才不一样呢？
因为它还可以继续因式分解
例
因式分解x4 +4
解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)
都是平方项
猜测使用完全平方公式
完全平方公式
平方差公式
拆项添项法随堂练习：
1）x4–23x2y2+y4
2）(m2–1)(n2–1)+4mn
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3 。
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
= 3
= 14
10
+ 4
2 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20
双十字相乘法
双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
2
1
–3
3
6
– 3
4
5
= –3
12
– 15
∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
1
2
－5
－1
－1－10=－11
练习1 将 2(6x ＋x) －11(6x ＋x) ＋5 分解因式
2
2
2
解：2(6x ＋x)－11(6x ＋x) ＋5
2
2
2
= [(6x ＋x) －5][2(6x ＋x)－1]
2
2
= (6x ＋x－5) (12x ＋2x－1 )
2
2
= (6x －5)(x ＋1) (12x ＋2x－1 )
2
6
1
－5
1
－5＋6=1
练习2 将 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2 分解因式
2
2
解： 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2
2
2
=(2x －3xy－2y )＋3x＋4y－2
2
2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
2
1
1
－2
－4＋1=－3
(2x＋y)
(x－2y)
－1
2
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
待定系数法
试因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
展开比较两式同类项的系数可得：
解得： ，∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)