13.1.1 命题定理与证明
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(共28张PPT)
数学家名言分享
树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我愿一辈子从实而终。
—华罗庚
请拿出你的课本、彩色笔和练习本等用品，还有你的激情和坐姿。
第13章 全等三角形
13.1.1 命题、定理与证明
华师版数学八年级上册
命题的概念
试判断下列句子是否正确？
（1）两条直线相交，只有一个交点。
（2）内错角相等。
（3）矩形的对角线相等
（4）如果a2=b2，那么a=b
（5）经过平面内一点确定一条直线。
(1)(3)是正确的，句子(2)(4)(5)是错误的。
特点:用作判断一件事情的正确或错误
称这样的句子就是命题
什么叫命题
反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
例如：
（1）你喜欢数学吗？
（2）作线段AB=CD
（3）请出去
判断正确或者错误的句子叫做命题。
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
注意：1、错误的判断也是命题； 2、命题必须是对某种事情作出判断，一般用陈述句叙述。但疑问句、祈使句、感叹句、几何的作法等都不是命题。
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
1．对顶角相等。
2．画一个角等于已知角。
3．两直线平行，同位角相等。
4．a、b两条直线平行吗？
5．温柔的小明。
6．玫瑰花是动物。
否
是
否
否
是
是
练习练习
下列句子哪些是命题？是命题的，指出
是真命题还是假命题？
1、猪有四只脚；
2、三角形两边之和大于第三边；
3、画一条曲线；
4、四边形都是菱形；
5、你的作业做完了吗？
6、同位角相等，两直线平行；
7、对顶角相等；
8、多边形的内角和等于180度；
9、过点P作线段MN的垂线。
练一练
是
真命题
不是
是
真命题
是
假命题
不是
是
真命题
是
真命题
是
假命题
不是
下列语句是命题吗？
①熊猫没有翅膀。
②大象是红色的。
③同位角相等。
④连接A、B两点。
⑤你多大了？
句子 ① ② ③ 能判断一件事情。 是命题
句子 ④ ⑤ ⑥ 不能判断一件事情.。 不是命题
⑥请你吃饭。
问题 判断下列语句是不是命题？
（1）你喝水了吗？（ ）
（2）两点之间，线段最短。（ ）
（3）请画出两条互相平行的直线。 （ ）
（4）过直线外一点作已知直线的垂线。 （ ）
（5）如果两个角的和是90 ，那么这两个角互余。（ ）
（6）对顶角不相等。（ ）
√
√
√
命题的结构
在数学中，许多命题是由条件、结论两部分组成的，条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分就是条件，而用“那么”开始的部分就是结论。
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
条件
结论
（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等。
条件
结论
例1、把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的条件与结论。
解：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。
条件：一个三角形的三个角都相等
结论：这个三角形是等边三角形
典例分析典例分析
注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的条件和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。
例2、将命题“对顶角相等”改写成“如果、、那么、、”的形式，并分别指出命题的题设和结论。
解：如果两个角是对顶角,那么这两个角相等；
题设：两个角是对顶角,
结论：这两个角相等
方法总结
添加“如果”、“那么”后，命题的意
义不能改变，改写的句子要完整，语句要
通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于
分辨，改写过程中，要适当增加词语，切
不可生搬硬套。
练习：55页第1题
下列命题中的条件是什么？结论是什么？
② 如果a＞b，b＞c，那么a=c
条件是：
①如果两个角是邻补角，那么这两个角互补
结论是：
条件是：
结论是：
两个角是邻补角
这两个角互补
a＞b，b＞c
a=c
下列命题中的条件是什么？结论是什么？
条件是：
结论是：
③同位角相等。
如果两个角是同位角，那么这两个角相等。
两个角是同位角
这两个角相等
要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”。
例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例“某一锐角与某一钝角的和不是180°”即可。
如何判断一个命题的真假
例3、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题则举一个反例加以说明。
(1)一个钝角、一个锐角的和必为一个平角；
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）两个锐角的和等于直角；
（4）全等三角形对应边相等。
假，92°+ 30° ≠ 180°
假，只有两条直线平行时才对
假，30° + 50° ＝ 80° ≠ 90°
真
练习：55页第2题
1．数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
2．有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，这样的真命题叫做定理。
公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。
3．在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
公理与定理
公理举例：
经过两点有且只有一条直线。
2、线段公理：
两点的所有连线中，线段最短。
5、平行线判定公理：
同位角相等，两直线平行。
6、平行线性质公理：
两直线平行，同位角相等。
1、直线公理：
4、平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
3、垂直公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
同角或等角的补角相等。
2、余角的性质：
同角或等角的余角相等。
4、垂线的性质：
5、平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
1、补角的性质：
3、对顶角的性质：
对顶角相等。
垂线段最短。
定理举例：
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
6、平行线的判定定理：
7、平行线的性质定理：
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
定理举例：
注意:
1、相同：公理与定理都是真命题，都可作为逻辑推理的依据。
2、不同：公理是人们实践活动中总结出来的，定理是通过逻辑推理证明得到的；
3、公理、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
公理(正确性由实践总结)
定理(正确性通过推理证明)
例4、
证明：直角三角形的两个锐角互余。
定理的证明
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，
求证：∠A+∠B=90°
证明：∵ ∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180)
∠C=90°(已知)
∴ ∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质)
你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？
已知：b∥c a⊥b
求证：a⊥c
请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？
已知：b∥c a⊥b
求证：a⊥c
证明：∵ a⊥b（已知）
∵ b∥c（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
∴∠2=∠1=90 （等量代换）
∴∠1=90 （垂直的定义）
∴ a⊥c（垂直的定义）
证明中的每一步推理都要有根据，不能想“当然”。
课堂小结
1.命题：判断一件事情的语句叫命题。
2.公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做公理。
3.定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推理的依据。
4.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
5.判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
（1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
（2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果…，那么…”的形式。
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．两直线平行，同旁内角相等
C．两个角相等，这两个角一定是对顶角
D．相等的两个角是平行线所得的内错角
2．下列语句中不是命题的是（ ）
A．延长线段AB; B．自然数也是整数
C．两个锐角的和一定是直角 D．同角的余角相等
当堂检测
A
A
3、下列命题中正确的是（ ）
A有限小数是有理数; B无限小数是无理数
C数轴上的点与有理数一一对应;
D数轴上的点与实数一一对应
AD
4、下列语句中是命题的是（ ）
A．这个问题 B．这只笔是黑色的
C．一定相等 D．画一条线段
5、下列命题是假命题的是（ ）
A．互补的两个角不能都是锐角;
B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．乘积是1的两个数互为倒数;
D．全等三角形的对应角相等
B
B
6.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式
(1)、正方形的两条对角线等
(2)、四个角相等的菱形是正方形
(3)、全等三角形的对应边相等
当堂检测
下列语句是不是命题？
（1）长度相等的两条线段是相等的线段吗
（2）两条直线相交，有且只有一个交点；
（3）不相等的两个角不是对顶角；
（4）欢迎前来参观！
（5）两个锐角的和是钝角；
（6）取线段AB的中点C。
解：（2）（3）（5）是命题，像（1）（4）（6）这样对某一件事的对错没有给出任何判断就不是命题。
注意:祈使句、疑问句、感叹句都不是命题。
当堂检测
数学家名言分享
树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我愿一辈子从实而终。
—华罗庚
请拿出你的课本、彩色笔和练习本等用品，还有你的激情和坐姿。
第13章 全等三角形
13.1.1 命题、定理与证明
华师版数学八年级上册
命题的概念
试判断下列句子是否正确？
（1）两条直线相交，只有一个交点。
（2）内错角相等。
（3）矩形的对角线相等
（4）如果a2=b2，那么a=b
（5）经过平面内一点确定一条直线。
(1)(3)是正确的，句子(2)(4)(5)是错误的。
特点:用作判断一件事情的正确或错误
称这样的句子就是命题
什么叫命题
反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
例如：
（1）你喜欢数学吗？
（2）作线段AB=CD
（3）请出去
判断正确或者错误的句子叫做命题。
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
注意：1、错误的判断也是命题； 2、命题必须是对某种事情作出判断，一般用陈述句叙述。但疑问句、祈使句、感叹句、几何的作法等都不是命题。
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
1．对顶角相等。
2．画一个角等于已知角。
3．两直线平行，同位角相等。
4．a、b两条直线平行吗？
5．温柔的小明。
6．玫瑰花是动物。
否
是
否
否
是
是
练习练习
下列句子哪些是命题？是命题的，指出
是真命题还是假命题？
1、猪有四只脚；
2、三角形两边之和大于第三边；
3、画一条曲线；
4、四边形都是菱形；
5、你的作业做完了吗？
6、同位角相等，两直线平行；
7、对顶角相等；
8、多边形的内角和等于180度；
9、过点P作线段MN的垂线。
练一练
是
真命题
不是
是
真命题
是
假命题
不是
是
真命题
是
真命题
是
假命题
不是
下列语句是命题吗？
①熊猫没有翅膀。
②大象是红色的。
③同位角相等。
④连接A、B两点。
⑤你多大了？
句子 ① ② ③ 能判断一件事情。 是命题
句子 ④ ⑤ ⑥ 不能判断一件事情.。 不是命题
⑥请你吃饭。
问题 判断下列语句是不是命题？
（1）你喝水了吗？（ ）
（2）两点之间，线段最短。（ ）
（3）请画出两条互相平行的直线。 （ ）
（4）过直线外一点作已知直线的垂线。 （ ）
（5）如果两个角的和是90 ，那么这两个角互余。（ ）
（6）对顶角不相等。（ ）
√
√
√
命题的结构
在数学中，许多命题是由条件、结论两部分组成的，条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分就是条件，而用“那么”开始的部分就是结论。
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
条件
结论
（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等。
条件
结论
例1、把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的条件与结论。
解：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。
条件：一个三角形的三个角都相等
结论：这个三角形是等边三角形
典例分析典例分析
注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的条件和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。
例2、将命题“对顶角相等”改写成“如果、、那么、、”的形式，并分别指出命题的题设和结论。
解：如果两个角是对顶角,那么这两个角相等；
题设：两个角是对顶角,
结论：这两个角相等
方法总结
添加“如果”、“那么”后，命题的意
义不能改变，改写的句子要完整，语句要
通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于
分辨，改写过程中，要适当增加词语，切
不可生搬硬套。
练习：55页第1题
下列命题中的条件是什么？结论是什么？
② 如果a＞b，b＞c，那么a=c
条件是：
①如果两个角是邻补角，那么这两个角互补
结论是：
条件是：
结论是：
两个角是邻补角
这两个角互补
a＞b，b＞c
a=c
下列命题中的条件是什么？结论是什么？
条件是：
结论是：
③同位角相等。
如果两个角是同位角，那么这两个角相等。
两个角是同位角
这两个角相等
要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”。
例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例“某一锐角与某一钝角的和不是180°”即可。
如何判断一个命题的真假
例3、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题则举一个反例加以说明。
(1)一个钝角、一个锐角的和必为一个平角；
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）两个锐角的和等于直角；
（4）全等三角形对应边相等。
假，92°+ 30° ≠ 180°
假，只有两条直线平行时才对
假，30° + 50° ＝ 80° ≠ 90°
真
练习：55页第2题
1．数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
2．有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，这样的真命题叫做定理。
公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。
3．在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
公理与定理
公理举例：
经过两点有且只有一条直线。
2、线段公理：
两点的所有连线中，线段最短。
5、平行线判定公理：
同位角相等，两直线平行。
6、平行线性质公理：
两直线平行，同位角相等。
1、直线公理：
4、平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
3、垂直公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
同角或等角的补角相等。
2、余角的性质：
同角或等角的余角相等。
4、垂线的性质：
5、平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
1、补角的性质：
3、对顶角的性质：
对顶角相等。
垂线段最短。
定理举例：
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
6、平行线的判定定理：
7、平行线的性质定理：
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
定理举例：
注意:
1、相同：公理与定理都是真命题，都可作为逻辑推理的依据。
2、不同：公理是人们实践活动中总结出来的，定理是通过逻辑推理证明得到的；
3、公理、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
公理(正确性由实践总结)
定理(正确性通过推理证明)
例4、
证明：直角三角形的两个锐角互余。
定理的证明
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，
求证：∠A+∠B=90°
证明：∵ ∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180)
∠C=90°(已知)
∴ ∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质)
你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？
已知：b∥c a⊥b
求证：a⊥c
请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？
已知：b∥c a⊥b
求证：a⊥c
证明：∵ a⊥b（已知）
∵ b∥c（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
∴∠2=∠1=90 （等量代换）
∴∠1=90 （垂直的定义）
∴ a⊥c（垂直的定义）
证明中的每一步推理都要有根据，不能想“当然”。
课堂小结
1.命题：判断一件事情的语句叫命题。
2.公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做公理。
3.定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推理的依据。
4.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
5.判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
（1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
（2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果…，那么…”的形式。
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．两直线平行，同旁内角相等
C．两个角相等，这两个角一定是对顶角
D．相等的两个角是平行线所得的内错角
2．下列语句中不是命题的是（ ）
A．延长线段AB; B．自然数也是整数
C．两个锐角的和一定是直角 D．同角的余角相等
当堂检测
A
A
3、下列命题中正确的是（ ）
A有限小数是有理数; B无限小数是无理数
C数轴上的点与有理数一一对应;
D数轴上的点与实数一一对应
AD
4、下列语句中是命题的是（ ）
A．这个问题 B．这只笔是黑色的
C．一定相等 D．画一条线段
5、下列命题是假命题的是（ ）
A．互补的两个角不能都是锐角;
B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．乘积是1的两个数互为倒数;
D．全等三角形的对应角相等
B
B
6.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式
(1)、正方形的两条对角线等
(2)、四个角相等的菱形是正方形
(3)、全等三角形的对应边相等
当堂检测
下列语句是不是命题？
（1）长度相等的两条线段是相等的线段吗
（2）两条直线相交，有且只有一个交点；
（3）不相等的两个角不是对顶角；
（4）欢迎前来参观！
（5）两个锐角的和是钝角；
（6）取线段AB的中点C。
解：（2）（3）（5）是命题，像（1）（4）（6）这样对某一件事的对错没有给出任何判断就不是命题。
注意:祈使句、疑问句、感叹句都不是命题。
当堂检测