13.3.3 等边三角形的性质和判定 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第13章 全等三角形
13.3 等腰三角形
第3课时 等边三角形的
性质和判定
1
课堂讲解
等边三角形的性质
等边三角形的判定
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三
角形呢 我们已经知道的方法是按定义，看它是
否有两条边相等. 现在再看看能否找到其他的判
定方法.
1
知识点
等边三角形的性质
1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形是等边三
角形．
要点精析：(1)它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角
形的所有性质；(2)它是特殊的等腰三角形，任意两边都
可作为腰，任意一个角都可以作为顶角．
知1－讲
（来源于教材）
知1－讲
2．等边三角形的性质：(1)等边三角形的三条边
都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一
个角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有
三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的
高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
（此讲解来源于《点拨》）
知1－讲
例1 如图13.3 -5， △ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
导引：要计算出△DEF各个内角
的度数，有两个途径，即
证△DEF为等边三角形或
直接求各个角的度数，由
垂直定义及等边三角形的
性质，显然直接求各个角的度数较易．
（此讲解来源于《点拨》）
图13.3 -5
知1－讲
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，
∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF各个内角的度数都是60°.
（此讲解来源于《点拨》）
知1－讲
总 结
利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利
用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都
等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来
进行相关计算； 有时 还要结合全等图形等知识来
解决．
（此讲解来源于《点拨》）
知1－讲
例2 如图13.3 -6，已知△ABC，△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.
导引：要证AE＝CD，可通过证
分别含有AE，CD的两个
三角形全等来实现，即证
△ABE≌△CBD，条件可
从等边三角形中去寻找．
图13.3 -6
（此讲解来源于《点拨》）
知1－讲
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.
在△ABE与△CBD中，
AB＝CB，
∠ABE＝∠CBD，
BE＝BD，
∴△ABE≌△CBD.
∴AE＝CD.
（此讲解来源于《点拨》）
知1－讲
归 纳
运用等边三角形的性质证明线段相等的方法：
把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或
等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角
形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、
三条边相等、三线合一是隐含的已知条件．
（此讲解来源于《点拨》）
1 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为(　　)
A．25°
B．60°
C．85°
D．95°
知1－练
（来自《典中点》）
2 如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是(　　)
A．180°
B．220°
C．240°
D．300°
知1－练
（来自《典中点》）
3 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC； ②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
知1－练
（来自《典中点》）
4 (中考 · 黔西南州)如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________．
知1－练
（来自《典中点》）
2
知识点
等边三角形的判定
知2－讲
1.判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三
角形；
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等
边三角形．
2.应用注意事项：判定定理1在任意三角形中都
适用，判定定理2的前提条件是等腰三角形；
因此要结合题目的条件选择适当的方法．
知2－讲
例3 如图13.3 -8，AB//CD，∠1 =∠2. 求证： AB = AC.
分析：要证AB=AC，可以设法证明∠B=
∠1，而∠1=∠2，因此只要证明
∠B=∠2.
证明：∵AB∥AC（已知）
∴∠B =∠2(两直线平行，同位角
相等）.
又∵ ∠1 =∠2(已知），
∴∠ B=∠1 (等量代换），
∴AB=AC(等角对等边).
（此讲解来源于《点拨》）
知2－讲
例4 如图13.3.9，在Rt△ABC 和Rt△ A'B'C'中， ∠ACB'= ∠A'C'B' =90°, AB = A'B'， AC = A'C'.
求证： Rt△ABC ≌ Rt△ A'B'C'.
证明：由于直角边AC = A'C'，我们移
动Rt △ABC ，使点A与点A'、
点C与点C'重合，且使点B与点
B'分别 位于A'C'的两侧.
∵ ∠ACB'= ∠A'C'B' =90°（已知），
∴∠ B'C'B = ∠ A'C'B' + ∠ A'C'B' = 180°,
即点B'、C'、B在同一条直线上.
（此讲解来源于《点拨》）
知2－讲
在△ A'B'B中，
∵ A'B' =AB = A'B (已知),
∴∠B= ∠B'(等边对等角).
在 △ ABC和 △ A'B'C'中，
∵ ∠B= ∠B'(已证)，
∠ACB= ∠ A'C'B' (已知)，
AC = A'C'(已知)，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ A'B'C' (A. A. S.).
（此讲解来源于《点拨》）
知2－讲
例5 AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB，AE⊥AC.
(1)∠C＝________，∠B＝________；
(2)求证：△ADE是等边三角形．
导引：(1)由AB＝AC，∠BAC＝120°，
可求出∠B，∠C 的度数为30°.
(2)三个角都是60°的三角形是等
边三角形．
（此讲解来源于《点拨》）
知2－讲
解：(1)30°；30°.
(2)∵AD⊥AB，AE⊥AC(已知)，
∴∠BAD＝∠EAC＝90°(垂直的定义)．
∴∠B＝∠C＝30°(已知)，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°(直角三角形的两个锐角
互余)．
∴∠ADB＝∠AEC＝∠EAD＝60°.
∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是
等边三角形)．
（此讲解来源于《点拨》）
总 结
知2－讲
证明一个三角形是等边三角形，要根据已知条件选
择适当的方法．(1)如果已知三边关系，则选用等边三角
形定义来判定．(2)若已知三角关系，则选用“三个角都
相等的三角形是等边三角形”来判定．(3)若已知是等腰
三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边
三角形”来判定．
（来自《点拨》）
如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
知2－练
（来自《典中点》）
D 　
2 下列三角形：
①有两个角都等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③
知2－练
（来自《典中点》）
D 　
3 (中考·荆门改编)如图，点A，B，C在同一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD， AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连 接PQ，BM，有下面结论：①△ABE≌△DBC； ②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形，其中结论正确的有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
知2－练
（来自《典中点》）
D 　
根据条件判定等边三角形的解题技巧：
(1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的
三角形是等边三角形”来判定．
(2)若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三
角形是等边三角形”来判定．
(3)若已知该三角形是等腰三角形，则根据“有一
个角是60°的等腰三角形是等边三角形来“判定．
（来自《典中点》）
1.必做: 完成教材P84，T3；
2.补充: 完成《典中点》剩余部分的习题.