14.2勾股定理的应用7-9
图片预览
文档简介
(共26张PPT)
14.2勾股定理的
应用
第一课时
A
B
C
勾a
股b
弦c
一. 勾股定理：
直角三角形的两条直角边的
平方和等于它斜边的平方。
那么a2 + b2 = c2
如果在Rt ABC中，∠C=90°
语言叙述：
字母表示：
如果三角形的三边长a,b,c满足
那么这个三角形是直角三角形。
二.直角三角形的判定
复习
做一做：
1. ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( )
2.直角三角形 ABC中a=6,b=8,则c=10 ( )
3. 能与3和4围成三角形的数有 个；能与3和4围成直角三角形的有 个；能与3和4组成勾股数的数有 个。
4.一个直角三角形的三边长是不大于１0的三个连续偶数，则它的周长是( )
X
√
1
24
2
无数
A
B
例1.一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. (精确到0.01cm)
C
D
一.最短路程问题
B
C
A
D
解：如图，由题意得：
在直角三角形ABC中，
CD=4，AD=20÷2=10，
根据勾股定理得：
答：最短路程为10.77厘米。
o
变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的中点O，已知底面周长为10，试求出爬行的最短路程。
A
A
B
D
C
4
3
O
解：如图，由题意得：
在直角三角形ABO中，OD=4÷2=2，AD=10 ÷2=5 ， 根据勾股定理得：
答：最短路程为 厘米。
例2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是多少？
A
B
A
B
C
2
1
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如右图）.
解：如图，由题意得：在直角三角形ABC中，
AC=1，BC=2，根据勾股定理得：
答：最短路程为 厘米。
例3.如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
3
2
1
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？
(1)经过前面和上底面;
(2)经过前面和右面;
(3)经过左面和上底面.
2
3
A
B
1
C
3
2
1
B
C
A
3
2
1
B
C
A
(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，
解:
2
3
A
B
1
C
AB＝
＝
＝
如图，最短路程为
(2)当蚂蚁经过前面和上右面时，
如图，最短路程为
3
2
1
B
C
A
AB＝
＝
＝
(3)当蚂蚁经过左面和底面时，
如图，最短路程为
AB＝
＝
＝
3
2
1
B
C
A
∴最短路程为 ㎝
例4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和
高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个
相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食
物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B
点，最短线路是多少？
A
B
C
Ｄ
解: 由题意可得：AC=5， BC=3×3+3×1=12，根据勾股定理得：AB2=AC2+BC2
答:从A点爬到B点，最短线路是13.
A
B
C
D
小 结
１、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离．
２、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题．
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
2.有 一棵树直立在地上，树高20尺，粗3尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）
A
B
C
20尺
3×7=21（尺）
1.小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？（1英寸=2.54厘米）
试一试：
1.三角形三边分别为6、8、10,那么最短边上的高为__．
2.一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是________．
3.直角三角形三边是连续整数，各边分别为＿＿＿
4.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是＿＿＿．
6.做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米,30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。
作业
5.有 一棵树直立在地上，树高20米，粗3米，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？
14.2.1勾股定理的
应用
第二课时
例1.甲船以每小时30海里的速度，从A处向正北方向航行，同时乙船从A处以每小时40海里的速度向正西方向航行，两小时后，甲、乙两艘轮船相距多少海里？
A
B
C
解：如图，在Rt ABC中，∠A=90
BC2=AB2+AC2
BC= (30×2)2+(40×2)2
=100(海里)
答：甲乙两船相距100海里。
解：
CD＝
CH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
＝
＝0.6米，
A
B
M
N
O
C
┏
D
H
2米
2.3米
如图，由题意得：OC＝1米 (大门宽度一半)， OD＝0.8米 （卡车宽度一半）在Rt△OCD中，由勾股定理得
例2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 说明理由。
A
B
C
D
2米
2.3米
D
A
B
C
例3.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解:设,则水池的深度为X米,芦苇高为 (X+1)米. 根据题意得:
AB2=BC2+AC2
(X+1)2=52+X2
X2+2X+1=25+X2
X=12
X+1 =12+1=13(米)
答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.
例4.折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,BC=10,求: (1)CF (2)EC.
A
B
C
D
E
F
8
10
10
6
X
8-X
4
8-X
解：由题意得，在RtΔABF中
AF=AD=BC=10，AB=DC=8
∴FC =4cm
设EC=x，则DE=EF=(8-x)，
∵EF2=EC2+FC2
∴ （8-x）2 = x2+42
解得：x=3
四.折叠问题
1.长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？
A
B
C
D
E
F
（B）
（C）
2.如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
C
A
B
D
E
试一试
１.在运用勾股定理时，要看图形是不是直角三角形。
２.要学会根据题意画出草图，构建直角三角形。
３.考虑问题要全面，不要漏了某些情况。
1.在Rt△ABC中,斜边AB＝2，则AB2+BC2+CA2＝＿．
2.在△ABC中∠C=90°,AB=10,AC=6,则另一边BC=__，面积为___,AB边上的高为____；
3.等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿
4.一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部偏落在离旗杆底部12米处，问旗杆折断前有多高？
5. 校园操场边有两棵树，距离12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
6.在一棵树的10米高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高？
作业：
14.2.1勾股定理的
应用
第二课时
网格问题
A
B
C
例1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC三边的大小关系？
F
E
D
解：如图，由题意得： ADC,
FBC , ABE为直角三角
形，根据勾股定理得：
∴AB>AC>BC
例2.如图，在5×5的正方形网格中，每个边长都为1，按下列要求画出图形。
(1).从点A出发画一条线段AB， 使它的另一个端点B在格点上，且长度为 ；
(2).画出以AB为边的等腰三角形，另一个顶点在格点上，且长度为无理数。
●
A
B
N
M
C
D
一种当AB为底，可作 ABC， ABD
二种当AB为腰，可作 ABN， ABM
因边长为无理数，所以 ABN， ABM不合题意。
解：根据题意可得：
实数
数轴上的点
一一对应
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A B C D
-2 -1 0 1 2
点C表示
点D表示
点B表示
点A表示
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出 的点吗？
0
1
2
3
4
步骤：
A
B
C
1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点。
例3：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
你能在数轴上画出表示 的点和 的点吗？
∴点C即为表示 的点
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为
的线段.
1
1
14.2勾股定理的
应用
第一课时
A
B
C
勾a
股b
弦c
一. 勾股定理：
直角三角形的两条直角边的
平方和等于它斜边的平方。
那么a2 + b2 = c2
如果在Rt ABC中，∠C=90°
语言叙述：
字母表示：
如果三角形的三边长a,b,c满足
那么这个三角形是直角三角形。
二.直角三角形的判定
复习
做一做：
1. ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( )
2.直角三角形 ABC中a=6,b=8,则c=10 ( )
3. 能与3和4围成三角形的数有 个；能与3和4围成直角三角形的有 个；能与3和4组成勾股数的数有 个。
4.一个直角三角形的三边长是不大于１0的三个连续偶数，则它的周长是( )
X
√
1
24
2
无数
A
B
例1.一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. (精确到0.01cm)
C
D
一.最短路程问题
B
C
A
D
解：如图，由题意得：
在直角三角形ABC中，
CD=4，AD=20÷2=10，
根据勾股定理得：
答：最短路程为10.77厘米。
o
变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的中点O，已知底面周长为10，试求出爬行的最短路程。
A
A
B
D
C
4
3
O
解：如图，由题意得：
在直角三角形ABO中，OD=4÷2=2，AD=10 ÷2=5 ， 根据勾股定理得：
答：最短路程为 厘米。
例2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是多少？
A
B
A
B
C
2
1
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如右图）.
解：如图，由题意得：在直角三角形ABC中，
AC=1，BC=2，根据勾股定理得：
答：最短路程为 厘米。
例3.如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
3
2
1
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？
(1)经过前面和上底面;
(2)经过前面和右面;
(3)经过左面和上底面.
2
3
A
B
1
C
3
2
1
B
C
A
3
2
1
B
C
A
(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，
解:
2
3
A
B
1
C
AB＝
＝
＝
如图，最短路程为
(2)当蚂蚁经过前面和上右面时，
如图，最短路程为
3
2
1
B
C
A
AB＝
＝
＝
(3)当蚂蚁经过左面和底面时，
如图，最短路程为
AB＝
＝
＝
3
2
1
B
C
A
∴最短路程为 ㎝
例4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和
高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个
相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食
物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B
点，最短线路是多少？
A
B
C
Ｄ
解: 由题意可得：AC=5， BC=3×3+3×1=12，根据勾股定理得：AB2=AC2+BC2
答:从A点爬到B点，最短线路是13.
A
B
C
D
小 结
１、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离．
２、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题．
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
2.有 一棵树直立在地上，树高20尺，粗3尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）
A
B
C
20尺
3×7=21（尺）
1.小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？（1英寸=2.54厘米）
试一试：
1.三角形三边分别为6、8、10,那么最短边上的高为__．
2.一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是________．
3.直角三角形三边是连续整数，各边分别为＿＿＿
4.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是＿＿＿．
6.做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米,30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。
作业
5.有 一棵树直立在地上，树高20米，粗3米，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？
14.2.1勾股定理的
应用
第二课时
例1.甲船以每小时30海里的速度，从A处向正北方向航行，同时乙船从A处以每小时40海里的速度向正西方向航行，两小时后，甲、乙两艘轮船相距多少海里？
A
B
C
解：如图，在Rt ABC中，∠A=90
BC2=AB2+AC2
BC= (30×2)2+(40×2)2
=100(海里)
答：甲乙两船相距100海里。
解：
CD＝
CH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
＝
＝0.6米，
A
B
M
N
O
C
┏
D
H
2米
2.3米
如图，由题意得：OC＝1米 (大门宽度一半)， OD＝0.8米 （卡车宽度一半）在Rt△OCD中，由勾股定理得
例2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 说明理由。
A
B
C
D
2米
2.3米
D
A
B
C
例3.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解:设,则水池的深度为X米,芦苇高为 (X+1)米. 根据题意得:
AB2=BC2+AC2
(X+1)2=52+X2
X2+2X+1=25+X2
X=12
X+1 =12+1=13(米)
答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.
例4.折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,BC=10,求: (1)CF (2)EC.
A
B
C
D
E
F
8
10
10
6
X
8-X
4
8-X
解：由题意得，在RtΔABF中
AF=AD=BC=10，AB=DC=8
∴FC =4cm
设EC=x，则DE=EF=(8-x)，
∵EF2=EC2+FC2
∴ （8-x）2 = x2+42
解得：x=3
四.折叠问题
1.长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？
A
B
C
D
E
F
（B）
（C）
2.如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
C
A
B
D
E
试一试
１.在运用勾股定理时，要看图形是不是直角三角形。
２.要学会根据题意画出草图，构建直角三角形。
３.考虑问题要全面，不要漏了某些情况。
1.在Rt△ABC中,斜边AB＝2，则AB2+BC2+CA2＝＿．
2.在△ABC中∠C=90°,AB=10,AC=6,则另一边BC=__，面积为___,AB边上的高为____；
3.等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿
4.一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部偏落在离旗杆底部12米处，问旗杆折断前有多高？
5. 校园操场边有两棵树，距离12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
6.在一棵树的10米高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高？
作业：
14.2.1勾股定理的
应用
第二课时
网格问题
A
B
C
例1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC三边的大小关系？
F
E
D
解：如图，由题意得： ADC,
FBC , ABE为直角三角
形，根据勾股定理得：
∴AB>AC>BC
例2.如图，在5×5的正方形网格中，每个边长都为1，按下列要求画出图形。
(1).从点A出发画一条线段AB， 使它的另一个端点B在格点上，且长度为 ；
(2).画出以AB为边的等腰三角形，另一个顶点在格点上，且长度为无理数。
●
A
B
N
M
C
D
一种当AB为底，可作 ABC， ABD
二种当AB为腰，可作 ABN， ABM
因边长为无理数，所以 ABN， ABM不合题意。
解：根据题意可得：
实数
数轴上的点
一一对应
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A B C D
-2 -1 0 1 2
点C表示
点D表示
点B表示
点A表示
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出 的点吗？
0
1
2
3
4
步骤：
A
B
C
1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点。
例3：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
你能在数轴上画出表示 的点和 的点吗？
∴点C即为表示 的点
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为
的线段.
1
1