山东省烟台市重点中学2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（含答案）

烟台市重点中学2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2.用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
3.下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.若，则角的终边所在的象限是（ ）
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
6.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（ ）
A.1 B.-1 C.±1 D.2
7.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：，，.
A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
8.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.钝角大于锐角
B.时间经过两个小时，时针转了60°
C.三角形的内角必是第一象限角或第二象限角
D.若是第三象限角，则是第二象限角或第四象限角
10.下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.下列命题正确的是（ ）
A.函数在区间上单调递减
B.函数在上单调递增
C.函数在区间上单调递减
D.函数与的图像关于直线对称
12.已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.点是角终边上一点，则_________.
14.若，且，则实数的值为________.
15.方程的实数解为________.
16.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.求值：（1）
（2）
18.已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并给予证明；
（3）求关于的不等式的解集.
19.如图，点A，B，C是圆O上的点.
（1）若，，求扇形的面积和弧的长；
（2）若扇形的面积为，求扇形周长的最小值，并求出此时的值.
20.已知函数（且）的图象过点.
（1）求a的值及的定义域；
（2）求在上的最大值；
（3）若，比较与的大小.
21.某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药1小时后血液中含药量达到峰值8μg，7小时后血液中含药量为1μg，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间，近似满足如图所示的连续曲线，其中曲线段是函数的图象，曲线段是函数（，为吸收常数，为常数，为自然对数的底）的图象.
（1）写出服药后每毫升血液中含药量C关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上8点，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
22.已知函数，，当时，恒有.
（1）求的表达式及定义域；
（2）若方程有解，求实数的取值范围；
（3）若方程的解集为，求实数的取值范围.
答案
1.C 2.B 3.A 4.D
5.D【详解】因为，所以是第一象限角，
6.B【详解】由题意得，解得.
7.D【详解】设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
由得，两边同取常用对数，得，所以，
所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
8.D【详解】由可得：，则，所以函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，又时，在上单调递增，则在上单调递减，若，则，即，所以或，解得：或，所以实数的取值范围是.
9.AD
10.AC【详解】对于A，因为在上递增，且，所以，所以A正确，
对于B，因为在上递减，且，所以，所以B错误，
对于C，因为在上递减，且，所以，所以C正确，
对于D，因为，，所以，所以D错误，
11.BCD【详解】对于A，由，解得，或，故函数定义域为，由复合函数的单调性可知该函数的减区间为，故A错；
对于B，，由于在单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，因此在上单调递增，B正确；
对于C，当时，（即）在区间上单调递增，又因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以在区间上单调递减，C正确；
对于D，由于函数与（即）互为反函数.所以两函数图象关于对称，D正确.
12.ACD【详解】当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，作出函数的部分图象，如图，
方程有四个不同的实数解，等价于函数的图象与直线有4个公共点，
观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点，
即方程有四个不同的实数解，A正确；
因为二次函数图象对称轴为，因此，B不正确；
当时，，由，，得，因此，C正确；
当时，，由，得，解得，
且，则，有，所以，D正确.
13.【详解】根据任意角的三角函数定义，得
14.12【详解】由题设，，，所以，则.
15.【详解】由，得，所以，即，即，所以或（舍去），所以.
16.【详解】在区间上单调递增所以在区间上单调递增所以对称轴，解得.当时，，解得，的取值范围是.
17.（1）（2）
【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）根据对数的运算法则及性质化简求值.
【详解】（1）
.
（2）
18.（1）；（2）函数为奇函数，证明见解析；（3）见解析.
【详解】（1）根据题意，函数，所以，解可得，所以函数的定义域为；
（2）由（1）得函数的定义域为，关于原点对称，因为函数，所以，所以函数为奇函数.
（3）根据题意，即，
当时，有，解可得，此时不等式的解集为；
当时，有，解可得，此时不等式的解集为.
所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
19.（1）面积为，弧的长为
（2），
【详解】（1）由题意知，设，所以根据扇形弧长；扇形面积；
（2）由，即，扇形的周长为当且仅当等号成立，所以由知：.
20.（1），定义域为；（2）最大值是.
【详解】（1）由已知，，，定义域为；
（2），
，，则，
所以，时取等号，最大值为；
22.（1）
（2）第二次服药最迟是当天下午13：00服药
（3）4.7μg
【详解】（1）当时，，把代入可得，
解得：，所以当时，，
当时，把、代入（k，a是常数），
得，解得，所以故.
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得：，即第一次服药后5h后服第二次药，也即下午13：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：
每毫升血液中含第二次服药后剩余量为：
所以此时两次服药剩余的量为
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg
23.（1），；（2）；（3）.
【详解】（1）∵当时，，，
即，即，.
整理得恒成立，∴，又，即，从而.
∴，
∵，∴，或，
∴的定义域为.
（2）方程有解，即，
∴，∴，∴，
∴，或，
解得或，
∴实数的取值范围.
（3）方程的解集为，
∴，∴，
∴，
方程的解集为，故有两种情况：
①方程无解，即，得，
②方程有解，
两根均在内，，
则
解得.
综合①②得实数的取值范围是.