23.4 三角线中位线 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
*
华东师大版《数学 · 九年级（上）》
§24.4.1 三角形的中位线
第一课时
*
C
B
A
F
E
D
三角形的一个顶点到对边中点的连线，叫做三角形的中线。
如：线段AF；
1.什么叫三角形的中线？
2.思考：什么叫三角形的中位线？
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
如；线段DE；
思考：一个三角形共有几
条中位线？
三条
*
区别：中位线是连结两边中点的线段（中点---中点）
中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段（顶点---中点）
1.三角形的中位线和中线有什么区别与联系呢
定义
2.三角形的中位线定义有什么含义:
(1) ∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
(2) ∵ DE为△ABC的中位线
∴ D、E分别为AB、AC的中点
C
B
A
E
D
F
联系: 一个三角形有三条中线,三条中位线,它们都在三角形的内部且
都是线段。
探索
*
结论：
数量关系：
位置关系：
DE∥BC
DE= BC.
A
B
C
D
E
问题:如图，△ABC中,若D是AB的中点时,E也是AC的中点,
则DE与BC存在何种关系
合作探究
动手：量出DE和BC 的长度，量出∠ADE
和∠B的度数；猜想DE和BC 之间有
什么关系？
思考：
如何证明这个结论？
*
A
B
C
D
E
探索论证：
∵D、E分别是AB、AC的中点
∴
∵∠A为公共角
∴△ADE ∽ △ABC
∴ ∠B=∠ADE
∴ DE∥BC且DE=1/2·BC
证明：
（ ？ ）
（ ？ ）
*
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
D
A
B
C
E
注意：三角形中位线定理有两个结论：
1.表示位置关系-----平行于第三边;
2.表示数量关系-----等于第三边的一半;
用符号语言表示：
三角形中位线定理：
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，
思考:
若E为AB中点,DE∥BC,
问D是AC的中点吗
推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
*
A
B
C
D
F
E
已知：如图，在△ABC中AD=DB，AF=FC，BE=EC
例1:求证:三角形的一条中位线与第三边的中线互相平分.
求证：AE、DF互相平分
证明：连结DE、EF
∵D、E、F分别为AB、BC、AC上中点
∴DE、EF为△ABC的中位线
∴DE∥AF、AD∥EF ( )
∴四边形ADEF是平行四边形
∴AE、DF互相平分 ( )
（平行四边形的对角线互相平分）．
（三角形中位线性质）．
*
如图1：在△ABC中，DE是中位线
1.若∠ADE=60°, 则∠B= 度,
若∠C=75°, 则∠AED= 度
2.若BC=8cm，则DE= cm，
若DE=12cm，则BC= cm
如图2：在△ABC中，D、E、F分别是各边中点B=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则△DEF的周长= cm
图1
图2
60
4
12
A
B
C
D
E
B
A
C
D
E
F
5
4
3
口答
75
24
*
A、B两点被池塘隔开，如何才能知道它们之
间的距离呢？
M
N
在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，通过测量MN去求AB的长度。
C
B
A
20
40
三角形的中位线等于第三边的一半
思考：
如果测得MN=20m，那么AB两点的距离是多少？为什么？
*
P70页练习第3题:
求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
G
H
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连结AC
∵ AE=EB、CF=FB
(三角形中位线定理)
∴EF∥AC，EF= AC
∴四边形EFGH是平行四边形
同理： HG∥AC，HG= AC
∴EF ∥HG，且EF=HG
*
思考：
（1） 顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是_________。
（2）顺次连结矩形各边中点所得的四边形是_______。
（3）顺次连结菱形各边中点所得的四边形是________。
平行四边形
菱形
矩形
变式练行四边形
矩形
菱形
*
（4）顺次连结正方形各边中点所得的四边形是___________。
（5）顺次连结梯形各边中点所得的四边形是______________。
（6）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是__________。
正方形
平行四边形
菱形
正方形
平行四边形
菱形
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归纳总结
1.对角线不相等且不垂直的四边形各边中点组成__________,
平行四边形
2.对角线互相垂直的四边形各边中点组成_____,
矩形
3.对角线相等的四边形各边中点组成_____,
菱形
4.相等且互相垂直的四边形各边中点组成______.
正方形
正方形
四边形
平行四边形
梯形
菱形
矩形
等腰梯形
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例2：如图三角形ABC的周长为18cm，这个三角形的三条中位线围成三角形DEF的周长是多少？面积为多少？
B
D
A
E
C
F
(1) △DEF的周长与 △ABC的周长有什么关系
(2) △DEF的面积与 △ABC的面积有什么关系
结论:连接三角形的三条中位线围成四个三角形全等且与原三角形相似.它们的周长是原三角形周长的一半;面积为原三角形面积的四分之一.
∵DE、DF、EF是△ ABC的中位线
解：
∴
∴△ADE∽△ABC
∴周长△ADE：周长△ABC＝1：2
S△ADE：S△ABC＝1：4
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1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，BC=10cm，则DE=______.
2.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
A
E
D
C
B
(1)
B
D
A
E
C
(2)
A
B
D
C
E
O
10
做一做
3.如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且AD=20cm，那么OE= cm。
(3)
5cm
60度
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例3:如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．
求证：　
证明 :连结ED，
∵　D、E分别是边BC、AB的中点，
∴　DE∥AC，
（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
∴　△ACG∽△DEG，
∴
∴
*
如果在图24．4．4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们
同理有 ，所以
有 ，即两图中的点G与G′是重合的．
．
三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的1/3。
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小 结：
1.三角形中位线的含义:
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2.三角形中位线性质： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.三角形的中位线与中线的区：
中位线:中点与中点的连线。中线:顶点与中点的连线。
4.能应用三角形中位线的性质解决有关计算或说理等问题。
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1、练习 第1题
2、习题24.4 第1、3、4题