5.1.2 弧度制 2023-2024学年高一数学（人教A版2019必修第一册）（共18张ppt）

(共18张PPT)
5.1.2弧度制
复习导入
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生活中在度量时，会用到不同的单位制.比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制; 度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.
问题：角的度量单位是什么？换算的进制是多少？它是否也能用不同的单位制呢？是否可以用十进制的实数来度量角的大小？
新知探究
活动1：准备一张半圆纸板、一把刻度直尺、若干细线。通过小组合作,试试运用现有的实验用具, 在这张半圆纸上标出的角.
先用细线度量半圆弧长, 然后再用刻度尺，将细线分成 5 份, 其中一份弧长所对的角就是 的角.
思考：通过弧长，我们可以量出的角，那我们可以直接用弧长来衡量角的大小吗
新知探究
问题1：观察这三个扇形, 同学们发现什么
追问1：完成下表，并观察，你发现什么？
半径r r=1 r=2 r=3 r=4
圆弧长l
结果：若，则
弧长之比=所对圆心角之比
(为圆心角度数)
新知探究
追问2：其它角是否也有这一规律呢？
α=45°
半径r r=1 r=2 r=3 r=4
圆弧长l
结果：若，则
弧长之比=所对圆心角之比
(为圆心角度数)
当圆心角确定后，所对的圆弧的长与圆的半径的比值是一个定值.
新知探究
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度.
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，
追问：角度制中，1度角的大小是怎么规定的？
古巴比伦人发现地球公转周期大约为360天
新知探究
活动2：在单位圆中画出下列角度，并换算为弧度制。
2
新知探究
练习1：把下列角度化为弧度：
(1)144°； (2)300°； (3)-210°； (4)22°30
解：(1) (2)
(3) (4)22°30
新知探究
变式1-1：把下列弧度化为角度：
(1)； (2)； (3)； (4)．
解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
练习巩固
变式1-2：把下列角度与弧度进行互化.
(1)120°； (2)-32°； (3)； (4)； (5)112°30
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)112°30
练习巩固
变式1-3：把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)； (2)； (3)； (4)．
解：（1），是第四象限角；
（2），是第二象限角；
（3），是第三象限角；
（4），是第一象限角.
练习巩固
例6：写利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) (2) (3)
其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
证明：由公式可得：.下面证明(2)(3).
半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是：
将转换为弧度制，得：，于是，.
将代入上式，即得
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.
练习巩固
弧长公式：； 扇形面积公式
练习2：已知扇形的周长为10，面积为，求扇形圆心角的弧度数.
解：设扇形圆心角的弧度数为，弧长为半径为，据题意有： 解得，
当时，此时，舍去.
当时，此时，.
综上所述，扇形圆心角的弧度数为.
练习巩固
变式2-1：已知一扇形的圆心角是150°，半径为12，求扇形的面积.
解：设扇形的弧长为
∵圆心角150°
∴扇形弧长
于是，扇形的面积
练习巩固
变式2-2：扇形圆心角为，周长为，面积为，所在圆半径为.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积
（2）若，，求的值.
解：（1）设弧长为，弓形面积为，则，，，
；
（2）由已知得，解得或，
或
练习巩固
练习3：已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
(1)若，，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
解：（1）因为，，所以扇形的弧长；
（2）由扇形面积，得，则
扇形周长为，当且仅当，即时，取等号，
此时，，所以，
所以扇形周长的最小值为，此时.
小结