福建省泉州市普通高中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题(无答案)

泉州市普通高中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷
2023.12
本试卷共20题，满分200分，共2页，考试用时150分钟。
一、填空题：本题共15小题，每小题6分，共90分。
1.设集合，，则________.
2.已知，，则________.
3.已知数列满足，，则________.
4.若，且，则________.
5.记则函数的最小值为________.
6.设，为实数，且，虚数为方程的一个根，则的最大值为________.
7.已知函数的图象关于直线对称，当时，，设，，，则，，的大小关系为________.（请用“<”连接）
8.已知的内角，，的对边分别为，，，点满足，若，，则的最大值为________.
9.过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为________.
10.在直角中，，是内的动点，则的最小值为________.
11.现有一个上部分轴截面为半籿圆的玻璃杯（如右图），其杯口内径为，深，现将一半径为的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则的取值范围为________.
12.已知函数，当时，，则实数的取值范围为________.
13.有2024个半径均为1的球密布在正四面体内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体的面相切），则此正四面体的外接球半径为________.
14.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则面积的最大值为________.
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则除以2023的余数是________.
二、解答题：本题共5小题，共110分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（20分）
将数列与的公共项从小到大依次排列得数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17.（20分）
已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）若，求；
（2）若，当最大时，求的周长.
18.（20分）
如图，内接于，是的内心，过作的垂线交于点，交于点，是的中点，连接，过作于点.
证明：（1）；
（2）、、、四点共圆.
19.（25分）
已知直线，，动点满足且到和的距离之积为.
（1）求的轨迹的方程；
（2）已知，过的动直线与交于不同两点，，若线段上有一点满足，求的最小值.
20.（25分）
已知多项式.
（1）若，且有三个正实数根，，，证明：；
（2）对一般的正整数，若，，，，证明：方程的根不全是正实数.