数学答案
1.C 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B
8．【答案】B
【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.
【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，
由，故得，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，
故选：B
二、多选题
9．(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列选项中正确的是( )
A．a1＝－1 B．S5＝－32
C．数列{an}是等比数列
D．数列{Sn－1}是等比数列
解析 数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋1， ①
当n＝1时， a1＝－1，A正确；
当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1， ②
①－②得an＝2an－2an－1，
故an＝2an－1，
整理得＝2(常数)，
所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，C正确；
所以an＝(－1)×2n－1＝－2n－1.
Sn＝＝1－2n.
所以S5＝1－25＝－31，B错误；
由于Sn＝1－2n，所以Sn－1＝－2n.
所以＝＝2，
所以数列{Sn－1}是等比数列，D正确；
故选ACD.
10.由题意可得===,
则====3+,
由于为整数,则n+1为15的正约数,则n+1的可能取值有3,5,15,
因此,正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD.
11．(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知曲线C：mx2＋ny2＝1( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
ACD 解析：对于选项A，∵m>n>0，
∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，
∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0 y＝±x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1 y＝±，该方程表示两条直线，正确．
12.因为点(n,Sn+3)在函数y=3×2x的图象上,所以Sn+3=3×2n,即Sn=3×2n-3。当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×2n-3-(3×2n-1-3)=3×2n-1,又当n=1时,a1=S1=3,所以an=3×2n-1。设bn=b1qn-1,则b1qn-1+b1qn=3×2n-1,可得b1=1,q=2,所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1。由等比数列前n项和公式可得Tn=2n-1。综合选项可知,B,D正确。
三、填空题
15．由题意，得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理，可得＝，所以＝，所以双曲线C的离心率为.
16.解析：抛物线C的焦点为F(，0)，将x＝代入y2＝2px，解得y＝±p.不妨设P(，p)，则kOP＝＝2.因为PQ⊥OP，所以kPQ＝－，所以直线PQ：y－p＝－(x－)．令y＝0，得x＝.由|FQ|＝6，得－＝2p＝6，所以p＝3.故C的准线方程为x＝－.
17．等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或 .
（2）.
【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
18.（12分）已知抛物线上的点到焦点的距离为6．
（1）求抛物线的方程
（2）过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求直线方程．
【解析】：（1）由题设，抛物线准线方程为，抛物线定义知：，可得，
．
（2）由题设，直线的斜率存在且不为0，
设：，
联立方程，得，整理得，
则，又是线段的中点，，可得，即，
故：．（12分）
19．(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*。
(1)求证:是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式。
解 (1)证明:由已知,得an+1-=an-=。因为a1=,所以a1-=,所以是以为首项,为公比的等比数列。
(2)由(1)知是以为首项,为公比的等比数列,所以an-=×,所以an=×+。
20.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-3。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3an,Tn为数列{bn}的前n项和,求数列的前n项和。
解 (1)因为2Sn=3an-3 ①,当n=1时,2a1=3a1-3,即a1=3。当n≥2时,2Sn-1=3an-1-3 ②。由①-②,得2an=3an-3an-1,即an=3an-1。所以数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列。所以an=3×3n-1=3n。
(2)由(1),知bn=log33n=n,Tn=,所以==2,所以数列的前n项和为Rn=2++…+=2=。
21.在①2Sn+1=Sn+1,②a2=,③Sn=1-2an+1这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,并完成解答。
已知数列{an}的前n项和为Sn,满足 , ,正项等差数列{bn}满足b1=2,且b1,b2-1,b3成等比数列。
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn。
注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分。
解 易知条件①③等价,故不能同时选择。
选择①②,解答过程如下:
(1)当n≥2时,由2Sn+1=Sn+1,得2Sn=Sn-1+1,两式相减,得2an+1=an,那么=(n≥2)。当n=1时,有2S2=S1+1,即2(a1+a2)=a1+1,所以a1=,所以=,所以{an}为首项为,公比为的等比数列,所以an=。设等差数列{bn}的公差为d,d≥0,因为b1,b2-1,b3成等比数列,所以b1·b3=(b2-1)2,即2(2+2d)=(1+d)2,解得d=3(-1舍去),所以bn=3n-1。
(2)由cn=an·bn=,得Tn=++…+,Tn=++…++,所以Tn=1+3-=-,所以Tn=5-。
选择②③,解答过程如下:
(1)当n≥2时,由Sn=1-2an+1,得Sn-1=1-2an,两式相减,得an=2an-2an+1,即2an+1=an,以下解法同选择①②。
(2)同选择①②。
22．已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）方法一：设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.
【详解】（1）由题意可得：，解得：，
故椭圆方程为：.
(2)［方法一］：通性通法
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,代入整理可得：
，
所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，
所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.
此时直线过点.
令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得为定值.永宁县重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考（二）
数学试卷
班级： 姓名： 学号：
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1.已知数列{bn}是等比数列,b9是1和3的等差中项,则b2b16= ( )
A.16 B.8 C.4 D.2
2.在数列{an}中,a1=1,数列{an}是以3为公比的等比数列,则log3a2023等于 ( )
A.2020 B.2 021 C.2022 D.2 023
3．点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为 ( )
A． B． C． D．
4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
5．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则 ( )
A．2 B． C．3 D．
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则S9等于 ( )
A. B.- C. D.
7．在等差数列{an}中,S16>0,S17<0,当其前n项和取得最大值时,n = ( )
A.17 B.16 C.9 D.8
8．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列选项中正确的是( )
A．a1＝－1 B．S5＝－32 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn－1}是等比数列
10．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则使得为整数的正整数n的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.14
11.已知曲线C：mx2＋ny2＝1 ( )
A．若m >n >0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n >0，则C是圆，其半径为
C．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn+3)(n∈N*)在函数y=3×2x的图象上,等比数列{bn}满足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n项和为Tn ，则下列结论正确的是 ( )
A.Sn=2Tn B.Tn=2bn-1 C.Tn>an D.Tn三、填空题（每道题5分，共20分）
______.
—————.
15．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为 ．
16．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴
垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为 ________．
四、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。
17．（本小题满分10分）
等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
18．（本小题满分12分）已知抛物线上的点到焦点的距离为6．
（1）求抛物线的方程
（2）过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求直线方程。
19．（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*。
(1)求证:是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式。
20．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-3。
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log3an ，Tn为数列{bn}的前n项和,求数列的前n项和。
21．（本小题满分12分）在①2Sn+1=Sn+1,②a2=,③Sn=1-2an+1这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,并完成解答。
已知数列{an}的前n项和为Sn,满足 , ,正项等差数列{bn}满足b1=2,且b1,b2-1,b3成等比数列。
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn。
22．（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
