福建省连城县2023-2024学年高二上学期12月月考（二）数学试题（含答案）

连城县2023-2024学年高二上学期12月月考（二）
数学试卷
满分150分 考试时间：120分钟
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小趣给曲的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线倾斜角的大小为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2. 已知等差数列{an}中，a4 + a9 = 8，则S12 = （ ）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 96
3.在各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A. 16 B. C. 24 D.
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
5. 2023 杭州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人
分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A．48种 B．12种 C．18种 D．36种
6．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则（ ）
A．3 B．8 C．4 D．6
8.中国自古就有“桥的国度”之称，我市保留着50多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥，堪称木拱廊桥的宝库.如图是某木拱廊桥的剖面图是拱骨，是相等的步，相邻的拱步之比分别为，若是公差为的等差数列，且直线的斜率为，则（ ）
A． B. C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．
9. 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A. 抽出3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
C. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种
D. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种
10. 已知圆O：和圆M：相交于A，B两点，点C是圆M上的动点，定点P的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆M的圆心为，半径为1 B. 直线AB的方程为
C. 线段AB的长为 D. 的最大值为6
11． 若，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知点F为椭圆C：，的左焦点，过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，点M是椭圆上异于P，Q的一点，直线MP，MQ的斜率分别为，，椭圆的离心率为e，若，，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若直线与直线相互平行，则实数___________.
14．已知数列满足，，则数列的通项公式 ．
15.如图所示的五个区域中，中心区域E是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，四种颜色可以不用完.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为_______________.
16．反比例函数的图象是双曲线（其渐近线分别为轴和轴）；同样的，“对勾函数”的图象也是双曲线.设，则此“对勾函数”所对应的双曲线的焦距为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）已知等差数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18. （本题12分）已知圆，直线.
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程.
19. （本题12分）二项式展开式前三项的二项式系数和为22；
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中的常数项．
20.（本题12分）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率
分别，，求证：为定值.
21.（本题12分）设首项为2的数列的前项和为，前项积为，且满足__________.条件①：；条件②：；条件③：.请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列的前项和.
（参考公式：）
22. （本题12分） 已知椭圆，斜率为的动直线与椭圆交于A，B两点，且直线与圆相切.
（1）若，求直线的方程；
（2）求三角形的面积的取值范围.
连城县2023-2024学年高二上学期12月月考（二）
数学参考答案
1－4BCCA 5－8 DBDC 9.ACD 10.BCD 11.AD 12.BD.
8.【详解】由题可知因为
所以，
又是公差为的等差数列，所以，
所以，故选:C
12..【详解】连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得,
所以,则.
由余弦定理可得，
化简得，故，所以（负舍）
设，则，
所以，又，相减可得．
因为，所以，，所以.
故选：BD.
13.或 14． 15. 84 16.
16. 【详解】由题可得双曲线为，所以渐近线为及，渐近线夹角为,则
所以，焦点所在的直线方程为，
由,得解得或
此时，则
所以，则焦距为.
故答案为：.
17【详解】（1）方法设数列公差为，
由得， 2分
所以， 4分
所以； 5分
方法2：设数列公差为，
由得，解得，所以， 4分
所以； 5分
（2）解：由（1）， 6分
所以 7分
. 10分
18【详解】将圆C的方程配方得标准方程为，
则此圆的圆心为，半径为. 2分
（1）若直线与圆相切，则有，解得； 6分
（2）圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，可得， 9分
整理得，解得或， 11分
故所求直线方程为或. 12分
19.【详解】（1）∵展开式前三项的二项式系数和为22，
∴， 2分
∴，
∴或（舍）
故的值为6 4分
（2）由题可得：展开式中最大的二项式系数为， 5分
∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即
8分
（3）设展开式中常数项为第项，即， 9分
令，则，
∴， 11分
故展开式中的常数项为第5项，即960 12分
20【详解】（1）将点代入得，，∴抛物线的标准方程为 4分
（2）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，，5分
将联立得，
，
由韦达定理得：，，7分
， 9分
当直线AB的斜率不存在时，由直线过点,
则，，，
，11分
综上所述可知，为定值为.12分
21【答案】（1）若选择条件①：因为，所以，又， 2分
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列．4分
所以，所以．6分
若选择条件②：因为，所以．
当时，，
整理得，，2分
所以，
累乘得，，4分
当时，，符合上式，
所以．6分
若选择条件③：因为，
所以，即，2分
所以，
所以数列为常数列，4分
又，所以，即．6分
（2）证明：由（1）知：，
结合参考公式可得，
所以，8分
所以，
即11分
因为，所以， 即.12分
22.【答案】解：（1）圆，圆心为，半径；
设直线，即，则，解得，所以或；4分
（2）因为直线的斜率存在，设，，，即， 5分
则，所以，即，6分
联立，消元整理得，所以，，7分
所以
9分
所以
10分
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以，11分
当轴时，取，，则，此时，所以12分