5.5.1两角和差的正弦、余弦和正切公式(第1课时) 课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦
和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
知识探究
y
x
o
问题：根据任意角α，β的正弦、余弦，你能推出α-β的余弦吗
思考1：当α≠ β+2kπ 时，设单位圆与x轴的正半轴交于A(1,0), 以x 轴的非负半轴为半轴为始边，作出角α，β，α-β分别与单位圆交于P1, A1, P，则它们的坐标分别是多少？
由三角函数的定义得
思考2：连接A1P1，AP，若把扇形OAP绕着O点旋转β，你能得到什么结论，根据是什么？
根据圆的旋转对称性得
圆的旋转对称性：
任意一个圆绕着圆心旋转任意角度后，都与原来重合.
思考3：我们知道了 A1、P1、A和P的坐标，而 A1P1= AP，由此你能推导出什么？
思考4：当α = β+2kπ 时，上式成立吗
说明：
(1)公式的特点：
两边的符号相反;右边的积的函数同名， 且余弦在前正弦在后.
两角差的余弦公式
思考4：观察这个等式，说说它有何特点？
思考5：此公式的证明过程是怎样的？
(2)公式的推导过程：
第1步，标出问题中所涉及到的量；
第2步，利用三角函数，写出各点坐标；
第3步，根据圆的旋转对称性，得到AP=A1P1；
第4步，代入两点间的距离公式，得出两角差的余弦公式.
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例 析
练习
一般化为特殊角
先求出 cosα 和 sinβ.
例 析
思考：根据公式C(α-β) 和已知条件，要求cos(α-β)，首先需要干什么？
从角之间的关系入手.
未知结论中的 “ 角β ” 与已知条件中的两个角 “ α ” 和 “ α+β ” 具有如下关系：
思考：你认为本题应从什么地方入手？
已知表未知
第1步，确定解题需用哪个公式，如公式C(α - β).
第2步，观察题目的条件和要求的结论，看是否需要对未知结论进行变形，如角的变形；
第3步，根据公式和题目条件，看还差哪些值，需作什么准备；
第4步，由以上方案，先求值，再代入，再解决问题.
思考1：通过以上例题，请你说说应用这类公式的程序是怎样的？
思考2：还记得角的变换有哪些思路吗？
利用角与角之间的和、差、倍、分关系进行：
(1)已知表未知.
用已知条件中的角将未知结论中的角表示出来
(2)一般化特殊.
将一般角用特殊角表示出来
(3)异角化同角.
把不同的角尽可能化为相同的角
三角变换中角的变换
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练习
思考：你还能想到其它解法吗？
1.两角差的余弦公式C(α-β)是怎样的，公式有何特点，是如何证明的
2.在运算两角差的余弦公式时，注意哪些问题，你能举例说明吗？
小 结
一是同角三角函数间的关系中平方关系的正确运用，特别是开方时正负的取舍.
二是角的变换问题(配角). 如
用已知条件中的角将未知结论中的角表示出来(已知表未知);
将一般角用特殊角表示出来(已知表未知).
三是公式的逆用。
知识探究
于是得到两角和的余弦公式，简记为C(α+β)
两边的符号相反，右边的积中函数同名， 且余弦在前正弦在后.
于是得到两角差的正弦公式，简记为S(α-β)
两边的符号相同，右边的积中的函数异名， 且正弦在前余弦在后.
于是得到两角和的正切公式，简记为T(α+β)
右边的是一个分式，分子的运算符号与左边相同，分母的运算符号与左边相同.
同理或者由公式T(α+β)可得到两角差的正切公式，简记为T(α-β)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
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例析
解：
思考1：你还能说出应用公式的解决问题的程序吗？
第1步，确定解题需用哪个公式.
第2步，观察题目的条件和要求的结论，看是否需要对未知结论进行变形；
第3步，根据公式和题目条件，看还差哪些值，需作什么准备；
第4步，由以上方案，先求值，再代入，再解决问题.
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解：
解：
练习
解：
简析
解：
例析
解：
(1)和角公式、差角公式的逆用可以对三角函数式进行化简；
(2)若不能直接运用公式，应对照公式对角和三角函数进行变形。
简析
练习
1.请回顾 一下两角和、差的正弦、余弦、正切公式是怎样的
2.你能说说两角和、差的正弦、余弦、正切公式的推导路径吗
小 结
3.应用公式的解决问题的程序是怎样的？
复习与回顾
1.请回顾 一下两角和、差的正弦、余弦、正切公式是怎样的
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2.你能说说两角和、差的正弦、余弦、正切公式的推导路径吗
在学习公式的发现证明，结构特点之后，接下就应该应用公式来解决问题，数学公式的应用主要有“正用”(从左至右)，“逆用”(从右至左)，以及“变用”(公式的变形).
前面两节课我们学习了和角公式及差角公式的一些应用，本节课我们继续学习这些公式的应用.
例析
思考1：你认为本题的应从什么地方入手？
角的变换.
思考2：接下来我们应选择哪一个公式，应先求出哪些量，求出这些量的关键是什么？
解：
练习
知识探究
例析
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练习
两角和差正切公式的变形
例析
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练习
1.请你再回顾 一下两角和、差的正弦、余弦、正切公式是怎样的
2.你能说说如何逆用两角和、差的正、余弦公式来化简形如 “ asinx±bcosx ” 的式子吗
小 结
3.在应用公式T(α±β) 解决含有tanα±tanβ形式的问题时常怎样变形？
作业
3.教材P229习题5.5第12题